Le modèle de plectre

L’intérêt de notre modèle réside dans la prise en compte de la géométrie réelle du plectre dans les équations. Pour commencer, puisque le mouvement de la corde est ramené au mouvement plan d’un tronçon de celle-ci, seule la géométrie de la poutre modélisant le plectre en contact avec la corde est à prendre en compte. Deux méthodes ont été envisagées : la première consiste à inclure dans les équations classiques de flexion d’une poutre la description géométrique du plectre, la seconde consiste à utiliser un modèle éléments finis du plectre, permettant d’approcher au mieux sa géométrie.

Modèle de poutre à section variable

La méthode et les hypothèses utilisées pour établir le modèle de flexion du plectre sont proches de celles exposées dans [Perng, 2012]5. Nous rappelons ici les hypothèses utilisées :

• le matériau du plectre est élastique et isotrope, • la largeur W de la poutre est constante,

• la hauteur h de la poutre est variable,

• le plectre est sollicité en flexion pure dans un plan, • la flexion est causée par une force ponctuelle,

• les frottements entre le plectre et la corde sont négligés,

• les déformations et les contraintes locales restent faibles au sein du plectre.

L’absence de frottement entre la corde et le plectre implique que la direction de l’effort ponctuel ~Fsp est toujours normale à la fibre neutre du plectre. L’hypothèse sur les déformations et les contraintes locales permet d’effectuer des approximations dans les calculs qui restent valables dans le cas de petites déformations et de grands déplacements. La figure 4.9 présente le plectre encastré dans le sautereau.

Nous cherchons maintenant à établir les équations de flexion d’un plectre en fonction de sa géométrie. Nous commençons donc par isoler un tronçon de poutre de longueur initiale dl pour effectuer le bilan des actions mécaniques s’exerçant sur celui-ci, comme le montre la figure 4.10. Les actions exercées sur ce tronçon sont le moment en O, − ~M , l’effort ~F sur la face de gauche, le moment ~M + d ~M en O^′ et l’effort ~F sur la face de droite. Nous notons dφ l’angle formé entre les deux faces du tronçon. Étant donné que l’on suppose un faible état de déformation au sein du plectre, l’angle dφ est très faible. Nous pouvons ainsi supposer que la fibre neutre est rectiligne et dirigée par le vecteur unitaire ~t. Nous complétons le repère de Frenet attaché à la fibre neutre en construisant un vecteur ~n normal à ~t. Par définition, nous avons donc :

 _ section de poutre déformée plectre sa ut er ea u fibre neutre VUE DE DÉTAIL section de poutre avant déformation

Fig. 4.9 Schéma du modèle mécanique du plectre. L’angle φ est le même angle que celui défini dans la figure 4.8. Il s’agit de l’angle de flexion de la fibre neutre du plectre.

n = dt dl

||^dt_dl|| ^(4.18)

Le dernier vecteur du repère est calculé par le produit vectoriel n ∧ t = x. tronçon de poutre

fibre neutre

Fig. 4.10 Tronçon de poutre en équilibre quasistatique

En écrivant maintenant la somme des moments exercés sur le tronçon de plectre au point O, nous obtenons :

− M + M + d M + dlt ∧ F = 0 =⇒ d M

dl = _{F ∧ t}

(4.19) Les hypothèses de départ permettent de simplifier directement le membre de droite de l’équa-tion 4.19. En effet, comme nous supposons que l’effort de flexion F_spest normal à la fibre neutre, l’étude de l’équilibre des tronçons successifs de la poutre permet de montrer que F = F_sp= Fspn. Nous avons donc _{F ∧t = F}spn∧t = Fspx. Pour exprimer le moment M= M +d M , nous suivons la méthode décrite dans [Perng, 2012], et nous considérons que le moment M exprimé en O

4.3. Détermination des différents modèles résulte de la somme des moments d ~M′ exercés par chaque filament en état de traction ou de compression autour de la fibre neutre, comme le montre la figure 4.11.

tronçon de poutre

fibre neutre filament

Fig. 4.11 Calcul du moment M’, résultante des moments élémentaire d ~M′ de chaque filament du tronçon de plectre.

Le moment d ~M′ calculé en O′ s’exprime comme le produit d’une force élémentaire d ~F_n par la distance entre le filament et la fibre neutre :

d ~M^′ = −z~n ∧ d ~Fn (4.20)

La force d ~F_n provient de l’état de déformation du filament. La contrainte au sein de celui-ci est σ_n~t = dFn

dS~t, où dS = W dz est la section du filament. L’élongation du filament de longueur initiale dl étant zdφ, nous pouvons écrire :

d ~F_n= E^zdφ

dl ^{dS~t (4.21)}

où E est le module de Young du matériau du plectre. Le moment exercé par le filament en O′ est alors : d ~M′ = −Ez2 dφ dldS~n ∧ ~t d ~M′ = −Ez2 dφ dldS~x (4.22) Il ne reste plus qu’à sommer les moment d ~M′ pour obtenir le moment ~M′ :

~

M^′ =^Z d ~M^′ = −E^Z z²dS^dφ

dl^{~x (4.23)}

La quantité R

z²dS est le moment quadratique d’inertie du tronçon de poutre au point O′, que l’on note I_l. Cette quantité dépend de la variable l, et permet de prendre en compte la

variation de la hauteur h du plectre sur sa longueur. En un point d’abscisse curviligne l du plectre, sa valeur6 est Il=^R_h/2^h/2z²W dz = ^h(l)₁₂^3W.

En reprenant l’équation 4.19 et en substituant le membre de gauche par le résultat obtenu dans l’équation 4.23, et en projetant dans la direction ~x, nous obtenons l’équation de flexion du plectre : d dl  −EIl dφ dl  = Fsp (4.24)

Le plectre est encastré en l = 0 et d’extrémité libre en l = L, les conditions aux limites permettant de résoudre l’équation 4.24 s’écrivent donc :

       dφ dl(L) = 0 φ(0) = 0 (4.25)

Le calcul de la primitive de Fsp en fonction de l donne :

Rl Ldl^d  −EIl^dφ_dl  dl = ^Rl LF_sp dl EI_l^dφ_dl dl = F_sp(L − l) (4.26)

Puis nous procédons à une seconde intégration selon l et nous obtenons :

Rl 0 ^dφdl dl = Rl 0 Fsp(L−l) EIl dl φ(l) = ^Fsp E Rl 0 L−l Il dl (4.27)

Dans le cas où I_lest constant par morceaux sur toute la longueur du plectre, le calcul de φ est possible analytiquement. La forme du plectre est donc prise en compte pour chaque pas de calcul. Pour les autres cas, φ est calculé numériquement, en remplaçant l’intégrale de l’équation 4.27 par une somme discrète, et ainsi le plectre est approché par une poutre de section Il variant à chaque pas de calcul.

Enfin, les coordonnées (y_p, z_p) des points de la déformée du plectre se calculent de la manière suivante :        y_p = Rsin φdl zp = ^Rcos φdl (4.28)

Cette formulation permet de respecter l’hypothèse de grands déplacement et a déjà été utilisée dans le modèle présenté dans [Perng, 2012].