Dans ce paragraphe, nous présentons les différents modèles des observations d’un réseau de capteurs. En effet, la plupart des méthodes dans ce domaine utilisent un modèle simplifié, pour lequel des approximations en champ lointain sont utili- sées [40]. Néanmoins, ce modèle n’est plus valable lorsque les sources se situent en champ proche. En conséquence, le modèle général est développé à partir du rayon- nement électromagnétique. Les modèles simplifiés sont présentés à partir du modèle général et des approximations appropriées. Un premier paragraphe explicite les bases physiques et les différentes hypothèses qui justifient ces différents modèles approchés.
2.2.1
Hypothèses de travail
En première approximation, cette étude traite du problème de la localisation de sources dans un espace bi-dimensionnel (2D). Tous les éléments (émetteurs, récep- teurs, réflecteurs, etc.) sont supposés coplanaires. Une position peut être alors décrite par deux paramètres : l’angle et la distance. Les hypothèses dans ce document sont définies ci-dessous :
– Les objets à localiser sont supposés ponctuels ;
– Les signaux émis sont statistiquement stationnaires, de puissance unitaire et mu- tuellement incohérents ;
– Le milieu de propagation est linéaire, homogène et isotrope ;
– Le bruit est additif, gaussien avec une moyenne nulle, spatialement et temporel- lement blanc ;
– Le réseau de capteurs est en configuration linéaire ; – Tout capteur est omnidirectionnel avec un gain unitaire ; – Les coordonnées des capteurs sont connues1;
– Le nombre de capteurs est supérieur au nombre de sources.
Les autres hypothèses sont spécifiées selon le contexte de travail.
2.2. MODÈLE DES OBSERVATIONS 19 k T k r Source k m 1 (m-1)d x y , m k r M Source
Fig. 2.1 – Réseau de M capteurs
2.2.2
Modèle général
Nous considérons un réseau de M capteurs séparés d’une distance inter-capteurs égale à d, comme illustré sur la figure (2.1). Le premier capteur est pris comme l’origine du système de coordonnées.
Rappelons qu’un signal à bande étroite peut être écrit sous la forme ej2πf ts (t), avec
f la fréquence porteuse et s (t) le signal en bande de base. Le signal reçu du m-ième capteur xm(t) est écrit comme la somme des signaux des différentes sources dans le
milieu, à laquelle est additionné un bruit :
xm(t) = K
X
k=1
cmkej2πf (t−tmk)sk(t − tmk) + nm(t) (2.1)
avec les notations suivantes :
– K : nombre de sources ;
– sk(t) : signal de la k-ième source ;
– tmk : retard temporel dû à la propagation de la k-ième source au m-ième capteur ;
– cmk : atténuation du signal reçu par le m-ième capteur et émis par la k-ième
source ;
– nm(t) : bruit additif, blanc, gaussien de moyenne nulle et de variance σ2du m-ième
Dans notre hypothèse où les sources sont ponctuelles, l’atténuation cmk est obtenue
à partir de la fonction de Green (1.7). Elle s’écrit sous la forme suivante :
cmk =
1 4πrmk
(2.2)
avec rmk la distance entre la k-ième source et le m-ième capteur.
Le retard tmk s’écrit : tmk = rmk c0 (2.3) avec c0 = √1
0µ0 la vitesse de la lumière dans le vide.
Supposons que les atténuations sont invariantes pour l’ensemble des capteurs du réseau2, nous pouvons ignorer c
mk dans le modèle (2.1). D’ailleurs, sous l’hypothèse
de sources à bande étroite, nous avons les approximations suivantes [40] :
sk(t − t1,k) ≈ sk(t − t2,k) ≈ · · · ≈ sk(t − tM,k) ≈ sk(t) (2.4)
En considérant l’origine comme le point de référence de phase, nous pouvons simpli- fier l’équation (2.1) avec les approximations précédentes. Le signal reçu du m-ième capteur xm(t) s’écrit donc sous la forme suivante :
xm(t) = K X k=1 ejτmks k(t) + nm(t) (2.5)
où τmk représente le déphasage du signal reçu du m-ième capteur et émis par la
k-ième source. A partir des équations (2.1) et (2.3), la phase τmk est donnée par :
τmk = 2πf c0 q r2 k+ (m − 1) 2 d2− 2r k(m − 1) d cos θk− rk . (2.6)
La forme matricielle du modèle (2.5) s’écrit donc :
x (t) = As (t) + n (t) (2.7)
2Pour la plupart des études effectuées dans ce domaine, les atténuations des signaux reçus
sont normalisées et supposées invariantes pour l’ensemble des capteurs du réseau de réception. La variation des atténuations est étudiée au chapitre 5.
2.2. MODÈLE DES OBSERVATIONS 21 k T k r Source k M 1 m (m-1)d k T
Fig. 2.2 – Déphasage inter-capteurs dans le contexte de champ lointain
avec les notations suivantes :
– x (t) = [x1(t) , x2(t) , . . . , xM(t)]T : vecteur des observations temporelles de di-
mension (M, 1) ;
– s (t) = [s1(t) , s2(t) , . . . , sK(t)] T
: vecteur des signaux émis temporels de dimen- sion (K, 1) ;
– A = [a1, a2, . . . , aK] : matrice de transfert de dimension (M, K) ;
– ak = [1, . . . , ejτM k] T
: vecteur de transfert de la k-ième source de dimension (M, 1) ; – n (t) = [n1(t) , n2(t) , . . . , nM(t)]T : vecteur du bruit de dimension (M, 1).
2.2.3
Modèle de champ lointain
Ce paragraphe a pour objet de présenter le modèle approché pour la situation de sources en champ lointain. Ce modèle utilise une série géométrique pour décrire les déphasages inter-capteurs. De nombreuse techniques rapides sont développées à partir de ce modèle [40].
Dans l’hypothèse où les sources sont loin du réseau de réception, les fronts d’onde incidente sont considérés comme étant parallèles (Figure 2.2). L’équation (2.6) peut être simplifiée approximativement sous la forme suivante :
τmk ≈ −
2πf c0
Le vecteur de transfert (ou bien le vecteur directionnel dans le contexte de champ lointain) devient donc :
a (θ) =h1, e−j 2πf c0 d cos θ, . . . , e−j 2πf c0 (M −1)d cos θ iT . (2.9)
Dans cette situation, les signaux reçus d’un réseau linéaire peuvent être considérés comme des échantillons spatiaux du signal émis par la source. L’intervalle de cet échantillonnage (fréquence d’échantillonnage) dépend de la fréquence, de la direction d’arrivée du signal et de la distance inter-capteurs du réseau. La fréquence spatiale est définie en combinant les trois paramètres :
fs=
f c0
d cos θ (2.10)
Cette transformation permet de mettre en évidence l’équivalence entre les méthodes d’analyse spectrale et les méthodes pour estimer les directions d’arrivée des sources.
2.2.4
Matrice de covariance
En pratique, les signaux reçus sont toujours noyés au bruit. Afin de minimiser l’in- fluence du bruit, la plupart des méthodes de traitement du signal à haute résolution sont formulées à partir de la matrice de covariance des signaux reçus [40].
Dans cette partie, l’expression de cette matrice ainsi que ses principales propriétés sont présentées. La matrice de covariance du vecteur des signaux reçus x (t) est définie par :
R = Ex (t) xH(t) (2.11)
où la matrice R est de dimension (M, M ) et l’opérateur E [.] représente l’espérance mathématique.
A partir des équations (2.7) et (2.11), les deux matrices peuvent s’écrire sous la forme :
R = ARsAH + σ2IM (2.12)
avec Rs = Es (t) sH(t) la matrice de covariance des sources et E n (t) nH(t) =
σ2I