Modèle Mobile-Immobile (MIM)

Dans les milieux poreux, les hétérogénéités structurales et texturales introduisent une distribution non uniforme des vitesses d’écoulement à l’échelle macroscopique de mesure (Butcher et al., 1995; Angulo-Jaramillo et al., 1996). Sous l’effet de la pression capillaire, la mésoporosité et la macroporosité peuvent être alors plus conductrices que la microporosité, voire avoir un écoulement dans la microporosité très lent et négligeable face aux deux autres (Gaudet et al., 1977; Gerke and Van Genuchten, 1993) . D’autre part, lorsque les écoulements préférentiels existent, l’eau s’écoule rapidement dans les macropores et mésopores sans échange de soluté vers les micropores ; on parle alors d’écoulement « bypass » (Gupta et al., 1999). Dans ce cas, l’histoire hydrique du sol peut favoriser l’apparition d’écoulements préférentiels (Flury et al., 1994; Angulo-Jaramillo et al., 1996; Shipitalo and Edwards, 1996). En outre, une partie de l’eau peut être piégée dans les pores fermés. Pour décrire les écoulements dans ces milieux, en se basant sur l’hypothèse d’une régionalisation de l’eau au sein du milieu poreux, le modèle MIM (Mobile-Immobile solute transfert model) a été développé (van Genuchten and Wierenga, 1976). Ce modèle repose sur l’hypothèse d’un fractionnement de l’eau en :

- Une fraction mobile dont le soluté est seulement transférée par la convection-dispersion. L’écoulement du soluté est identique au modèle CDE.

- Une fraction immobile dont le soluté est seulement transférée par diffusion moléculaire. Ce transfert de masse entre la fraction mobile et immobile suit une cinétique de 1^er ordre.

A partir du principe de conservation de la masse, le modèle MIM s’écrit pour l’écoulement unidirectionnel de la manière suivante :

� ��^{(����+������) =−} � ��^{(���) +} � �� ��^��� ��� �� � ^(1-78) où : Cm [ML^-1] est la concentration dans la phase mobile,

Cim [ML^-1] est la concentration dans la phase immobile,

θm [L³L^-3] est la teneur volumique en eau dans la phase mobile, θim [L³L^-3] est la teneur volumique en eau dans la phase immobile, Dm [L²T^-1] est le coefficient de dispersion.

En état d’écoulement permanent et uniforme, θm, θim, q et Dim sont constants, l’équation devient : ��� �� ⁺ ��� �_� ^× ���� �� ^{= −��} ��� �� ^+�� �2�� ��2 (1-79)

où vm [LT^-1] est la vitesse de pore, �_� = ^�

�_�.

La relation liant les deux concentrations mobile et immobile s’écrit :

�����_��

�� ^{=�(��− ���) (1-80)}

où : α [T-1

] est le coefficient cinétique d’échange.

Le bilan de masse impose alors la relation : � = ��⁺���, ou en considérant l’effet d’exclusion anionique, �_{�����} =�_�+�_��.

Paramètres caractéristiques du modèle MIM

Dans le modèle MIM, il y a trois paramètres importants à déterminer : la fraction d’eau mobile, le coefficient cinétique d’échange et le coefficient de dispersion. Ces paramètres sont interdépendants et dépendent des caractéristiques intrinsèques du milieu, de la teneur volumique en eau totale et de la vitesse d’écoulement.

La fraction d’eau mobile f [-] représente la proportion de l’eau dans l’eau totale du milieu poreux qui participe à l’écoulement de l’eau et du soluté :

� =^�_�^� (1-81)

Lorsque f = 1, l’écoulement n’est pas régionalisé, le modèle MIM devient le modèle CDE. Dans des sables peu structurés à texture fine, la fraction d’eau mobile augmente proportionnellement avec l’augmentation du degré de saturation (Gaudet et al., 1977; Padilla et al., 1999) et la vitesse de pore (Nkedi-Kizza et al., 1983; Pang and Close, 1999).

Le coefficient cinétique d’échange α représente la vitesse de diffusion entre la fraction d’eau mobile et immobile (van Genuchten and Wierenga, 1976). Une valeur élevée de α implique un échange rapide qui tend vers l’uniformisation de la concentration dans les deux fractions d’eau. Ceci favorise un étalement du soluté dans la courbe d’élution. Inversement, si α est très faible, le soluté se propage principalement dans la fraction mobile. Le transfert est effectué par la convection-dispersion comme dans le modèle CDE mais avec une vitesse plus rapide (le modèle CDE suppose que toute l’eau dans le milieu poreux participe au transfert de soluté). Comme la fraction d’eau mobile f, la valeur de ce coefficient accroît avec l’augmentation de la vitesse de pore et de la teneur volumique en eau (Bajracharya and Barry, 1997; Padilla et al., 1999). Cependant, il n’y a pas une relation significative entre f et α ainsi que entre f et la dispersivité λ (Pang and Close, 1999) mais α a une forte corrélation inverse avec la dispersivité λ.

Le coefficient de dispersion du modèle MIM correspond à celui de la dispersion hydrodynamique Dm de la fraction d’eau mobile (on suppose que Dim = 0). Il est calculé de la même manière que celui du modèle CDE :

�_� =��_� (1-82)

où v_m [LT^-1] est la vitesse de pore dans la fraction d’eau mobile, �_� = ^�

�_�.

I.4.3 Temps caractéristiques

L’écoulement de l’eau et du soluté représenté par l’un des modèles CDE ou MIM peut être caractérisé pas des temps caractéristiques propres (Sardin et al., 1991). La comparaison de ces temps caractéristiques permet de déterminer le rôle de chaque phénomène dans l’écoulement.

Le temps de séjour, ts [T], représente le temps moyen nécessaire à une molécule de soluté pour passer au travers du milieu poreux. En théorie, le temps de séjour, ts théorique [T], est calculé par la formule :

�� �ℎé������ ⁼ ��

� ^(1-83)

où L [L] est la distance à parcourir.

En effet, le temps de séjour réel, ts, est calculé à partir du moment de 1^er ordre de la méthode des moments (Cf. Chapitre 2). Le rapport entre la valeur réelle et la valeur théorique représente le facteur de retard R [-] :

� =_� ^��

� �ℎé������ (1-84)

Le temps convectif moyen, tconv [T], représente le temps moyen nécessaire à une molécule de soluté pour passer au travers du milieu poreux, sous l’effet unique de la convection. Ce temps s’écrit :

�_����= �

� ^(1-85)

où v [LT^-1] est la vitesse de pore de la fraction d’eau mobile (donc v pour le modèle CDE ou vm pour le modèle MIM).

Le temps caractéristique d’échange, tα [T], représente le temps nécessaire au soluté pour atteindre un état équilibré de la concentration entre les deux fractions mobile et immobile. Ce temps est estimé sous l’effet unique de la diffusion. Il correspond au rapport entre la fraction d’eau immobile et le coefficient cinétique d’échange :

�_� =�_��

� ^(1-86)

I.4.4 Simulation de transfert d’eau et de soluté dans un modèle physique réduit