CHAPITRE 2 : Modélisation et analyse du phénomène physique d'un atterrissage
2.2. Modélisation analytique
2.2.2. Modèle linéaire
Le démonstrateur est modélisé de la manière suivante [LOP 06b] :
On considère quatre degrés de liberté (ddl) qui sont les suivants : - Zq , déplacement absolu de la masse poutre de queue (mq).
- Zms, déplacement absolu de la masse suspendue (ms).
- Zmns, déplacement absolu de la masse non suspendue (mns).
- Zp , déplacement absolu du point bas P (point de contact) du pneumatique.
En considérant le déplacement du point bas du pneumatique, cela permet en posant une condition sur celui-ci de différencier la phase de chute de la phase de contact au sol lors des simulations du comportement du système.
En effet on pose les conditions suivantes :
- Si Zp 0> , on se trouve dans une phase de chute.
- Si Zp 0≤ , on se trouve dans une phase d’évolution du système au sol.
En effet nous avons que pour Zp>0, le système chute. Le pneumatique ici modélisé par le ressort de raideur kp n’exerce aucun effort sur la masse non suspendue (mns).
Nous divisons le démonstrateur en trois systèmes. Chaque sous-système représentant un ensemble de l’hélicoptère considéré. Les valeurs des masses et des raideurs de chaque sous- système ont été sélectionnées afin que les rapports entre les différentes masses du démonstrateur soient similaires aux rapports entre les masses considérées sur l’appareil et que les fréquences des systèmes soient similaires à celles de l’appareil. De plus les différents éléments ont été choisis en fonction des contraintes dimensionnelles du banc d’essai et des éléments que l’on peut trouver sur catalogue tels que les ressorts. Les valeurs des masses et des raideurs sont détaillées dans le Tableau 1 au chapitre 3. Nous considérons les sous- systèmes suivants :
Sous-système poutre de queue :
La poutre de queue de l’hélicoptère est modélisée par un système masse ressort de raideur kq et de coefficient d’amortissement cq. Les paramètres du système poutre de queue sont les suivants :
mq, masse du système équivalent à la poutre de queue de valeur numérique 7,3 kg. Gq, centre d’inertie du système poutre de queue.
lq0, longueur à vide du ressort de poutre de queue de raideur kq. kq, raideur de la poutre de queue de valeur numérique 15130 N/m. cq, coefficient d’amortissement de la poutre de queue.
Pour le système poutre de queue, on choisit un taux d’amortissement structural, noté α , q égal à 3% et fixé à partir du taux d’amortissement structural de l’appareil considéré. Le taux d’amortissement s’exprime de la manière suivante :
q
cq 2 kq mq α =
⋅ ⋅ (2.4)
Compte tenu des valeurs de la masse et de la raideur, la fréquence propre du système poutre de queue du démonstrateur est égale à 7,25 Hz. La fréquence propre de la poutre de queue de l’appareil considéré est égale à 7 Hz. Une tolérance de ± 1 Hz autour de cette fréquence était permise par les spécifications techniques définies par le bureau d’étude de l’hélicoptériste.
Sous-système cabine (masse suspendue) et suspension :
La cabine de l’hélicoptère avec l’atterrisseur est modélisée par un système masse ressort de raideur ks et de coefficient d’amortissement cs. Comme nous le verrons dans la suite de ce document au cours du chapitre 3, sur le démonstrateur afin de mieux étudier l’influence de chacun des paramètres d’un train d’atterrissage et pour des raisons de commodité expérimentale, on découple la raideur réalisée par des ressorts hélicoïdaux mécaniques, considérés linéaires dans leur plage de fonctionnement utile sur le démonstrateur, et l’amortissement réalisé par un amortisseur hydraulique. On utilise une masse généralisée, appelée masse suspendue, qui inclut la masse cabine et les masses des éléments de la suspension liées à la cabine. Les paramètres du système cabine et atterrisseur (suspension) sont les suivants :
ms, masse suspendue de valeur numérique 200 kg. Gms, centre d’inertie de la masse suspendue.
ls0, longueur à vide du ressort de la suspension de raideur ks.
ks, raideur du ressort de suspension de valeur numérique 20000 N/m. cs, amortissement général de la suspension.
ahms, distance séparant Gms du point d’application de l’effort de raideur de la poutre de queue sur la masse suspendue.
abms, distance séparant Gms du point d’application de l’effort de raideur de la suspension sur la masse suspendue.
Le taux d’amortissement d’une suspension est différent pour la phase de compression et la phase de détente. Les taux d’amortissement en compression et en détente s’expriment respectivement à partir des expressions (2.5) et (2.6) suivantes :
comp comp cs 2 ks ms α = ⋅ ⋅ (2.5) det det cs 2 ks ms α = ⋅ ⋅ (2.6)
Avec respectivement cscomp et cs , les coefficients d’amortissements en compression et det
en détente. Nous avons choisi un taux d’amortissement de 60% en compression et de 90% en détente. Ces taux d’amortissement ont été sélectionnés à partir de l’analyse des lois d’amortissement utilisées sur les trains d’atterrissage de l’appareil étudié et en fonction des masses mises en œuvre sur le démonstrateur afin d’éviter un rebond du système après impact au sol. La configuration initiale de l’amortisseur utilisé sur le démonstrateur adoptera ces valeurs de coefficients d’amortissement.
Sous-système fusée (masse non suspendue) et roue :
L’ensemble fusée du train d’atterrissage et roue est modélisé par un système masse ressort de raideur kp. On utilise une masse généralisée, appelée masse non suspendue, qui inclut la fusée du train d’atterrissage et la roue dont la masse principale est la jante. On néglige l’amortissement du pneumatique. Les paramètres du système sont :
mns, masse non suspendue de valeur numérique 70 kg. Gmns, centre d’inertie de la masse non suspendue.
lp0, longueur à vide du pneumatique, modélisé par un ressort linéaire de raideur kp. kp, raideur du pneumatique.
ahmns, distance séparant Gmns du point d’application de l’effort de raideur de la suspension sur la masse non suspendue.
abmns, distance séparant Gmns du point d’application de l’effort du à la compression du pneumatique sur la masse non suspendue.
mp, masse ponctuelle liée au point P de valeur nulle.
Pour la raideur du pneumatique, nous avons pris une raideur moyenne de celui-ci caractérisant son fonctionnement linéaire.
● Mise en équations :
Par application du principe fondamental de la dynamique appliqué à chaque centre d’inertie des différentes masses, nous obtenons les équations décrivant le comportement du démonstrateur :
(
0)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 amort _ susp ms Zms ms g kq Zq Zms lq cq Zq Zms ks Zms Zmns ls F ⋅ = − ⋅ + ⋅ − − + ⋅ − − ⋅ − − + (2.8)(
0)
amort _ susp(
0)
mns Zmns⋅ = −mns g ks Zms Zmns ls⋅ + ⋅ − − −F −kp Zmns Zp lp⋅ − − (2.9)(
0)
mp Zp⋅ = −mp g kp Zmns Zp lp⋅ + ⋅ − − (2.10)Avec Famort _ susp, effort d’amortissement de la suspension. L’expression de celui-ci dépend
de la phase de fonctionnement dans laquelle se trouve l’amortisseur. En effet, nous avons deux phases de fonctionnement de celui-ci qui sont : une phase de compression et une phase de détente. Le fonctionnement en compression ou en détente de l’amortisseur est fonction du signe de la vitesse de débattement de la suspension. La vitesse de débattement de la
suspension, notée vsusp, s’exprime de la manière suivante :
(
)
susp
v = Zms Zmns − (2.11)
Le comportement de l’effort d’amortissement se décrit de la manière suivante : - pour
(
Zms− Zmns)
<0, l’amortisseur est dans une phase de compression, on a :(
)
amort _ susp comp
F =cs ⋅ Zms Zmns − (2.12)
- pour
(
Zms− Zmns)
≥0, l’amortisseur est dans une phase de détente, on a :(
)
amort _ susp det
F =cs ⋅ Zms Zmns − (2.13)
A partir des équations (2.7), (2.8), (2.9) et (2.10), nous construisons un modèle Matlab/Simulink qui nous permet d’effectuer les simulations de chute du démonstrateur. La méthode d’intégration pour l’exécution des simulations, est une méthode de Runge-Kutta (2,3) avec un pas de calcul variable auto adaptatif au fur et à mesure des intégrations afin d’optimiser le temps de calcul.
Les configurations d’atterrissage sont définies par les conditions initiales des positions absolues des différents centres d’inertie des masses par rapport au sol et des vitesses initiales nulles. En effet utilisant la chute libre, la vitesse d’impact au sol, notée vimpact, est directement proportionnelle à la hauteur de chute du système qui correspond à la hauteur du point P, notée
chute
h . La vitesse d’impact au sol est directement calculable par la relation suivante :
impact chute
Dans notre étude, les vitesses initiales des différentes masses sont nulles. De plus nous nous plaçons dans la même configuration qu’un appareil en phase d’approche. C'est-à-dire le train d’atterrissage détendu (tige amortisseur sortie) et la poutre de queue soumise à son propre poids. Ainsi comme nous le verrons dans le chapitre 3, en configuration initiale avant lâcher, le démonstrateur est maintenu par la masse suspendue (ms), la suspension étant complètement détendue et la hauteur du ressort du système poutre de queue sera à sa hauteur statique , noté lq . stat
Les résultats des simulations de chutes seront présentés et analysés dans la suite de ce chapitre au cours de la partie 2.4.
Nous venons de développer et de présenter une modélisation analytique linéaire du démonstrateur étudié lors de nos travaux de recherche. Toutefois les éléments utilisés sur le démonstrateur sont non linéaires, tels que le pneumatique, la raideur générée par les chambres de gaz présentes dans l’amortisseur et l’amortisseur. Afin de modéliser au mieux le démonstrateur, il est nécessaire de développer une modélisation non linéaire de celui-ci.