Modèle d'Hystérésis de Jiles-Atherton (JA) a- Loi de Comportement Anhystérétique

Tout d'abord, on définit le champ effectif vu par les domaines. Celui-ci est similaire au champ effectif vu par les moments magnétiques individuels dans un même domaine comme présenté dans la théorie du champ moléculaire de Weiss. Nous conserverons la même notation qu'au premier chapitre pour ce champ effectif. La réponse d'un matériau isotrope sous l'action d'un champ effectif He (He = H+α Man) peut être exprimée de manière générale par :

Man = Ms f(He) (1.55) La fonction f s'annule pour He = 0 et tend vers 1 pour He → ∞. Dans cette expression, on ne prend en compte que la réponse au champ magnétique et l'interaction moyenne de chaque domaine avec le reste du solide. En fait, on représente uniquement la distribution statistique des domaines qui correspond à l'état d'énergie minimal sans prendre en compte les caractéristiques intrinsèques du matériau telles que les impuretés ou les inclusions non magnétiques.

Ainsi, cette loi décrit le comportement d'un matériau ferromagnétique en l'absence de phénomène d'hystérésis, c'est-à-dire sans l'existence du retard des variations de l'aimantation M par rapport aux variations du champ magnétique H qui est dû, en autre, aux obstacles rencontrés par les parois de Bloch lors de leurs déplacements.

Le choix de l'équation qui décrit au mieux ce type de comportement est très délicat puisque les matériaux étudiés présentent une grande disparité dans leurs caractéristiques magnétiques (structure en domaines, couplage inter-domaines, nature des atomes ou molécules magnétiques, etc ...). Afin de se rapprocher au mieux d'un comportement physique, le choix s'est porté sur l'équation de Langevin modifiée [3] :

 paramètre de couplage inter-domaines et H le champ appliqué. On voit apparaître ici les trois premiers paramètres à identifier qui sont Ms, α et a.

Chapitre I : Formulation des Problèmes Magnétothermiques

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b- Composante irréversible de l'aimantation

Tout d'abord, nous considérons des parois de Bloch planes et rigides (figure 1.7) qui, lors de leurs déplacements, subissent le processus d'accrochage-décrochage sur les sites d'ancrage. La densité d'énergie dissipée par ce processus est ensuite calculée pour une densité uniforme de sites d'ancrage de même nature [12].

Figure 1.7 - Saut brusque de paroi sous l'action d'un champ extérieur.

L'expression de l'énergie magnétisante est obtenue à partir de la différence entre l'énergie associée au comportement anhystérétique et les pertes dues au processus d'ancrage des parois.

Par conséquent, après quelques calculs algébriques [12,13], la susceptibilité différentielle associée au processus irréversible de l'aimantation peut être écrite sous la forme suivante :

 k

M M dH

dM _{an irr}

e

irr 

 (1.57)

Où la constante k est lié à la densité d'énergie moyenne d'ancrage des parois. Le paramètre δ prend la valeur +1 quand dH/dt > 0 et la valeur-1 pour dH/dt < 0.

c- Processus d'aimantation réversible

Dans la description précédente les parois restent rigides lors de leurs déplacements. Si maintenant nous considérons que les parois peuvent se déformer sur les sites d'ancrage sous l'influence du champ extérieur (figure 1.8), une nouvelle contribution est à ajouter au

Chapitre I : Formulation des Problèmes Magnétothermiques

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processus d'aimantation. Ainsi, la déformation des parois est associée au processus réversible de l'aimantation.

Figure 1.8 - Déformation réversible d'une paroi sous champ extérieur [12].

Après quelques considérations énergétiques sur la déformation d'une paroi [12] et pour de petits déplacements, Jiles et Atherton montrent que l'aimantation réversible est proportionnelle à la différence (Man - Mirr) :

M_rev c(M_an M_irr) (1.58)

Où c est un coefficient de réversibilité tel que c  [0,1].

d- Aimantation totale

L'aimantation totale est la somme des composantes réversibles et irréversibles M = Mrev

+ Mirr, avec Mirr et Mrev définis par les expressions (1.57) et (1.58). En recombinant l'équation (1.58) dans l'expression de l'aimantation totale, nous pouvons écrire :

M M^irr c(M^an M^irr)(1c)M^irr cM^an (1.59) Enfin, en différenciant cette expression par rapport à H et sachant que :



 



 

 dH

M d dH

dM dH

dM

e an

an 1 

Chapitre I : Formulation des Problèmes Magnétothermiques

Nous obtenons l'équation différentielle suivante :

e

Il s'agit de l'équation différentielle du modèle de Jiles-Atherton M(H). L'expression de dMirr

/dHe est donnée par l'équation (1.57) et la dérivée de l'aimantation anhystérétique par rapport au champ effectif est :

 comportement M(B) [14]. Ainsi, comme pour le modèle précédent et en utilisant le fait que Be

=μ0 He, l'expression de l'aimantation totale (1.59) est dérivée par rapport à B :

Dans les deux cas, cinq paramètres c, a, k, α et Ms doivent être déterminés à partir de mesures expérimentales. Il est important de noter que les paramètres du modèle de Jiles-Atherton sont théoriquement les mêmes quelque soit le modèle utilisé (M(H) ou M(B)). On résume les significations physiques des paramètres :

 Ms (A/m) : L'aimantation spontanée à saturation du matériau.

 a (A/m) : Paramètre caractérisant la variation de Man en fonction de He.

 (sans unité) : Le facteur de correction de Weiss représentant le couplage entre moments magnétiques.

Chapitre I : Formulation des Problèmes Magnétothermiques

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 k (A/m) : Coefficient d'épinglage représentant la densité des sites d'épinglage et caractérisant la largeur du cycle.

 c (sans unité) : Le facteur de réversibilité caractérisant la composante réversible de l'aimantation.

L'application d'un tel algorithme pour la détermination des cycles d'hystérésis suppose la connaissance des différents paramètres Ms, a, k, α et c. La figure (1.9) montre le cycle majeur d'un matériau caractérisé par les paramètres Ms=1,7.10⁶ A/m, k=2000 A/m, a=1000 A/m, α=0.001, c=0.1, [13].

a- Aimantation irréversible b- Aimantation réversible

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 10⁴ -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10⁵

H [A/m]

Mrev [A/m]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 10⁴ -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x 10⁶

H [A/m]

Mirr [A/m]

Chapitre I : Formulation des Problèmes Magnétothermiques

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c- Aimantation anhystérétique d- Cycle Majeur

Figure 1.9 - Cycle d'hystérésis deJiles-Atherton

Remarque :

 Le cycle d'hystérésis du modèle de JA est très sensible à la variation de ses paramètres.

 Les paramètres du modèle sont interdépendants, et par conséquent la variation de l'un d'eux entraîne la variation des autres, suivant [12].

Donc il faut tenir compte de cette sensibilité lors de l'identification des paramètres à partir des cycles mesurés, et cela pour ne pas perdre l'allure des cycles.

I.4.3.3 Comportement Thermique du Phénomène d'Hystérésis

Pour étudier ce phénomène, il faut certainement se baser sur la structure microscopique ainsi que sur la composition chimique des matériaux. Les travaux effectués dans ce domaine montrent qu’il peut y avoir une multitude de comportements thermiques de l’aimantation selon l’intensité du champ appliqué. En effet E.M. Terry montre que pour le fer l’aimantation diminue lentement puis plus rapidement en fonction de la température si le matériau est soumis à un champ intense, mais s’il est soumis à un champ faible l’élévation de température augmente l’aimantation (figure (1.10), (C3), (C4)). Dans le cadre de cette étude on s’intéresse

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 10⁴ -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10⁶

H [A/m]

Man [A/m]

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 10⁴ -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x 10⁶

H [A/m]

M [A/m]