Le modèle de Hammerstein en parallèle

Dans de nombreux cas, un dommage conduit une structure à présenter une réponse non li- néaire. Le processus de contrôle santé intégré peut être considérablement amélioré si l’on prend en compte ces effets non linéaires lorsqu’on extrait les caractéristiques sensibles au dommage des données mesurées [80]. Il est ainsi très important d’avoir une manière de modéliser et de mesurer ces non linéarités dans la gamme de fréquences souhaitée. Le modèle de Hammerstein en parallèle s’inscrit dans le cadre de ce qu’on appelle "l’identification des systèmes non linéaires" [114] et permet de décrire et/ou de mesurer plusieurs types de non linéarités. De par sa généralité, ce modèle est simple à estimer.

Modèle : Les systèmes non linéaires peuvent être classiquement représentés par les séries de Volterra [94] ou par des approches "sandwich" [65]. Le modèle de Hammerstein en paral- lèle [117] est une sous-classe du modèle de Volterra et peut être utilisé pour représenter des systèmes ayant des noyaux de Volterra diagonaux, ce qui est le cas d’une grande majorité des systèmes étudiés dans ce travail de thèse. Ce modèle est composé de N branches en parallèle (N ∈ N∗ _{étant l’ordre du modèle). Chaque branche comprend une non linéarité polynomiale}

statique suivie d’un filtre linéaire hn(t)(Figure 4.8).

e(t) .3 s(t) .4 .2 ... h2(t) h4(t) h3(t) h1(t) +

Figure 4.8 – Représentation du modèle de Hammerstein en parallèle

Mathématiquement, la relation entre l’entrée e(t) et la sortie s(t) d’un tel système est donnée par l’équation (4.20), où le symbole ” ∗ ” désigne le produit de convolution :

s(t) =

N

X

n=1

hn∗ en(t) (4.20)

Dans ce modèle, chaque réponse impulsionnelle hn(t)est convoluée au signal d’entrée élevé à sa

nème _{puissance et la sortie s(t) est la somme de tous ces produits de convolution. La première}

réponse impulsionnelle h1(t) représente la réponse linéaire du système. Les réponses impul-

sionnelles hn(t), n ∈ {2...N} modélisent les non linéarités. La famille {hn(t)} , n ∈ {1...N}

est appelée noyaux du modèle. Ces noyaux sont supposés intégrables [97]. Par ailleurs, le modèle de Hammerstein en parallèle est entièrement représenté par ces noyaux. Comme le montre l’équation (4.20), le modèle de Hammerstein est linéaire dans les paramètres à esti- mer, c’est-à-dire la sortie du système est une combinaison linéaire des noyaux {hn(t)}_n∈{1...N}.

Une approche naïve consiste à identifier le modèle par la méthode des moindres carrés, telle que proposée pour les systèmes de Volterra [107]. Ainsi, l’erreur quadratique moyenne entre la sortie réelle du système y(t) et la sortie estimée par le modèle s(t) (équation (4.20)) peut être minimisée par rapport aux coefficients de h1(t), h2(t),...,hN(t) et la solution est donnée

par : arg min h1(t),h2(t),...,hN(t) X t ||y(t) − s(t)||2 (4.21)

Cependant, la méthode des moindres carrés nécessite l’inversion d’une matrice de taille MN × M N, où N est l’ordre du système et M est le nombres d’échantillons des réponses impulsion- nelles hn(t). Cette matrice peut être mal conditionnée étant donné qu’elle est fonction de

l’exposant (jusqu’à N) du signal d’entrée. Il en résulte des erreurs dans l’estimation des pa- ramètres, surtout en présence de bruit. En outre, l’inversion de cette matrice est coûteuse et limitée dans les cas pratiques par la mémoire du système. Certaines méthodes numériques sont cependant disponibles pour contourner ces points (voir par exemple [57, 145]). Par ailleurs, des méthodes alternatives ont également été développées pour surmonter ces inconvénients. Gallman [117] et Hawksford [106] ont proposé une approche pour estimer les noyaux du mo- dèle de Hammerstein en utilisant comme entrée un bruit gaussien à différentes amplitudes. Les procédures d’estimation employées sont fortement fondées sur la connaissance de l’ordre du modèle, ce qui est inconnu dans des cas pratiques. En outre, ces méthodes d’identification des noyaux à partir des mesures sont également coûteuses en termes de calcul. Farina [6] a proposé une autre approche basée sur une excitation du système de type "sweep exponentiel" (exponential chirp en anglais). Une limite supérieure de l’ordre de non linéarité du modèle doit être supposée. Cette méthode permet uniquement la séparation des différents ordres de non linéarité et non pas une identification complète des noyaux. Novak et al. [8] et Rébillat et al. [97] ont proposé une méthode permettant une identification directe de tous les noyaux {hn(t)}n∈{1...N} associés aux différents ordres de non linéarité. L’avantage principal de l’ap-

proche proposée par Rébillat et al. par rapport à la méthode des moindres carrés, est qu’elle fournit une évaluation directe des N réponses impulsionnelles. C’est cette méthode d’identi- fication que nous adoptons dans ce travail. Un bref aperçu de la méthode est donné dans ce qui suit.

Identification : L’approche d’identification proposée par Rébillat et al. est basée sur une procédure initialement introduite par Farina [6]. Afin de couvrir la gamme de fréquences dans laquelle le système doit être identifié, un signal sinusoïdal dont la fréquence varie dans le temps 73

est couramment utilisé. Lorsque la fréquence instantanée de e(t) = Acos[φ(t)] augmente expo- nentiellement de f1 à f2sur un intervalle de temps T , le signal est appelé "Sweep exponentiel".

Il a été démontré [97] que si l’on choisit T = (2m − 1 2) ln(f2/f1) 2f1 , avec m ∈ N ∗_{, on obtient :} ∀k ∈ N∗ cos[kφ(t)] = cos[φ(t) + ∆tk] (4.22) avec ∆tk = _ln(fT ln(k)_2/f1)

L’équation (4.22) indique que pour un signal de type sweep exponentiel, multiplier la phase par un facteur k revient à prendre le même signal, avancé dans le temps par ∆tk. En utilisant

les polynômes de Tchebychev associés à cette propriété, ei_{(t)est réécrit comme dans l’équation}

(4.26). ei(t) = Aicosi(t) (4.23) = Ai i X k=1 C(i,k)cos[kφ(t)] (4.24) = Ai i X k=1 C(i,k)cos[φ(t) + ∆tk] (4.25) = Ai−1 i X k=1 C(i,k)e(t + ∆tk) (4.26)

Ainsi, en choisissant un "sweep exponentiel" comme signal d’entrée et en combinant les équa- tions (4.20) et (4.22), nous obtenons la relation suivante :

s(t) = N X n=1 (gn∗ e)(t + ∆tn) (4.27) avec gn(t) = An−1Pn_k=1C(k,n)hk(t)

Chaque gn(t)est la contribution des différents noyaux à la nème harmonique. Afin d’identifier

chaque noyau hn(t)séparément, un signal z(t) opérant comme l’inverse, au sens de la convo-

lution, du signal d’entrée e(t) est tout d’abord construit [97]. La convolution de la sortie du modèle de Hammerstein en parallèle donnée par l’équation (4.27) et du filtre inverse z(t) nous donne : (z_{∗ s)(t) =} N X n=1 gn(t + ∆tn) (4.28)

Comme ∆tn∝ ln(n) et que f2> f1, plus l’ordre de non linéarité n est élevé, plus gnest avancé

dans le temps. Ainsi, de (4.22) si T est suffisamment long , les différents gn ne se chevauchent

pas dans le temps et peuvent être séparés en procédant à un simple fenêtrage temporel. En utilisant l’équation (4.29), la famille {hn(t)}n∈{1...N} des noyaux de Hammerstein est

complètement identifiée.

[h1(t)...hN(t)]T = D ˜CT[g1(t)...gN(t)] (4.29)

avec D =       1 0 . . . 0 0 A−1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . A1−N      

Dans l’équation (4.29), ˜CT représente la transposée de la matrice de Tchebychev C dont la première colonne et la première ligne ont été supprimées (Voir [97]).