Modèle fluide/structure

Les observations expérimentales ont montré que les performances des na- geurs sont fortement liées à leur cinématique de déformation, et que cette der- nière est d’autre part très dépendante de la longueur du filament ainsi que du for- çage imposé. Dans cette section, nous cherchons à comprendre les mécanismes impliqués dans la dynamique de déformation des nageurs ; le but étant d’être ca- pable de prédire quel serait le résultat pour un forçage donné, et inversement, quel serait le forçage à imposer pour parvenir à une cinématique donnée.

Le nageur est modélisé par une poutre élancée forcée à l’une de ses extremités (voir Figure 4.9). Cette poutre est de longueur L, de section circulaire S =πd2/4 (avec d son diamètre), de masse linéiqueµ et de rigidité en flexion B . Elle est

immergée dans écoulement fluide de masse volumiqueρ et de vitesse uniforme U , fixée par la vitesse de propulsion du nageur. Nous négligeons dans ce modèle

tout effet lié à l’interface eau-air en considérant un filament complétement im- mergé dans l’eau. Les déplacements latéraux de la poutre sont décrits par l’équa- tion d’Euler-Bernoulli introduite dans le Chapitre 2 (voir Eq. 2.9) :

µ∂2_tr + B∂4_sr −∂s(T ∂sr) + f = 0, (4.20)

où s est la coordonnée curviligne, r(s, t ) = (x, y) décrit la position de la poutre, T est une tension qui permet d’imposer la condition d’inextensibilité ||∂sr|| = 1, et f

FIGURE4.9: Modèle de poutre élancée, immergée dans un écoulement de vitesse

U , et forçée à l’une de ses extremités. Le mouvement imposé en s = 0 est la com-

binaison d’une translation et d’une rotation déphasées.

correspond aux forces exercées par le fluide sur la poutre. L’extremité de la poutre en s = L est libre, c’est à dire :

∂3y ∂s3(L, t ) =

∂2y

∂s2(L, t ) = 0. (4.21)

Comme il a été introduit dans la Section 4.3, le mouvement imposé à la tête du nageur est la combinaison d’une translation et d’une rotation sinusoidales de pul- sation angulaireωf :

y(0, t ) = Afcos(ωft ) et ∂y

∂s(0, t ) =θfcos(ωft +φ), (4.22)

avec Af l’amplitude de battement à la tête,θf l’angle maximal de rotation, etφ le déphasage entre les mouvements de translation et de pivotement de la tête.

Il reste maintenant à définir la façon dont le fluide environnant agit sur la poutre. Comme discuté dans le Chapitre 2, les interactions entre un fluide et un so- lide déformable peuvent s’avérer complexes ; cependant, dans la limite des struc- tures élancées (c’est à dire pour d ≪ L), on a montré qu’il était possible de décou- pler les équations régissant la dynamique de l’eau et du nageur en trouvant une expression analytique qui traduit l’action du fluide sur le solide. Dans le cas d’un écoulement potentiel, Lighthill (1971) a montré que la force exercée sur la poutre provient de la réaction du fluide qui a été accéléré par les mouvements du nageur. Cette force, que l’on appelle force réactive, s’écrit aux premiers ordres (voir les dé- veloppements du Chapitre 2) : fr= −M µ ∂ ∂t(unn) − ∂ ∂s(unutn) + 1 2 ∂ ∂s(u 2 nt) ¶ (4.23)

où M =ρS est la masse ajoutée de fluide par unité de longueur, et unet ut sont les composantes normale et tangentielle (portées respectivement par n et t) des vitesses locales de la poutre par rapport à l’écoulement fluide uniforme. Ces der- nières sont définies de la même façon qu’au Chapitre 2, c’est-à-dire telles que

∂r

∂t−U = unn + utt. (4.24)

L’étude expérimentale de la déformation des nageurs a montré que l’amplitude de l’onde qui se propage dans le filament n’est pas conservée. Pour prendre en compte cette perte d’énergie le long du nageur, on ajoute à la force réactive de Lighthill une autre contribution du fluide. Dans cette expérience, les nombres de Reynolds transversaux (basés sur la vitesse latérale caractéristique Afωf et le dia- mètre du filament d ) sont de l’ordre :

Ret=

Afωfd

ν ≈10 − 140; (4.25)

on donne donc à la force fluide additionelle la forme quadratique classique (Taylor (1952); Nayfeh & Mook (1979); Eloy et al. (2012); Eloy (2013)) :

fd= − 1

2ρdCd|un|unn. (4.26) Cette force fd tient compte des effets de décollement de couche limite associés aux mouvements transversaux de chaque section de la poutre (effets qui ne sont pas inclus dans le modèle de Lighthill). Cdest le coefficient de traînée associé. La force exercée par le fluide sur la poutre est donc modélisée par la combinaison d’une force réactive, et d’une force de trainée latérale qui permet de prendre en compte les effets dissipatifs le long du nageur : f = fr+fd.

On suppose maintenant que les déformations du filament restent faibles, c’est à dire que y ≪ L et∂sy ≪ 1. Dans cette approximation, nous avons montré au Chapitre 2 que l’Eq. 4.20 décrivant la dynamique de la poutre pouvait être réécrite sous la forme faiblement non-linéaire (voir les Eqs. 2.22 et 2.54) :

µ ¨y + B y′′′′+fr+fd+O(y3) = 0, (4.27) avec fr=M ( ¨y + 2U ˙y′+U2y′′) + O(y3), (4.28) et fd= 1 2ρdCd ¯ ¯y +U y˙ ′ ¯ ¯( ˙y +U y′). (4.29) Les points et primes désignent respectivement les dérivées par rapport au temps et par rapport à la coordonnée x. L’Eq. 4.27 est adimensionnée en utilisant la lon- gueur et le temps caractéristique L et L2

q_µ

FIGURE4.10: Transformée de Fourier temporelle des déformations d’un nageur de longueur 5.5cm forcé à 8H z. La réponse du filament se fait majoritairement à la fréquence d’actionnement, et les harmoniques plus hautes peuvent être négligées.

la longueur finie du milieu dans lequel se propage l’onde de flexion ainsi que ses propriétés. L’équation s’écrit alors :

(1 + ˜m) ¨˜y + ˜y′′′′+m˜£2 ˜U ˙˜y′+ ˜U2y˜′′¤ + ˜α¯¯ ˙y + ˜˜ U ˜y′ ¯

¯( ˙˜y + ˜U ˜y′) = 0. (4.30) Les grandeurs adimensionnées sont notées avec des tildes ;

˜

U = U Lpµ/B (4.31)

est la vitesse réduite de l’écoulement, ˜

m = M /µ (4.32)

le rapport de masse comparant la masse de fluide accéléré relativement à la celle du solide et :

˜

α =1

2ρdCdL/µ, (4.33)

le coefficient d’amortissement adimensionné. On note que ˜α dépend de L, ce qui

reflète le fait que plus le filament est long et plus l’effet de dissipation est pro- noncé.