Le modèle Elie

pi−^−p→f/A_f 2 2m ^(4.9)

où i est l’indice courant sur les nucléons composant le fragment f, −→_{pi et −p}→_{f sont respectivement les} impulsions du nucléons i et fragment f. Enfin, m et Af sont la masse d’un nucléon et du fragment f.

Cette énergie Ef

int permet alors de calculer la quantité x_f pour chaque fragment f, représentant la part d’énergie d’excitation que ce dernier va se voir attribuer :

xf = E^f_int/A_f P f^E f int/A_f (4.10) Dès lors, l’énergie d’excitation du fragment f est calculée comme :

E^∗_f = x_f.E∗

H (4.11)

Enfin, après avoir réparti la totalité de l’énergie d’excitation, il est nécessaire de procéder à la désexcitation des fragments et de les propager. Pour cela, Hipse utilise le code de désexcitation Simon [81]. Ce dernier propage et désexcite les fragments dans le champ coulombien global, depuis les premiers instants de la collision (50 fm/c) jusqu’à plusieurs milliers de fm/c.

4.1.2 Le modèle Elie

Le modèle Elie [73] que nous présentons maintenant est quant à lui séparé en deux grandes étapes : la voie d’entrée et la voie de sortie.

Préparation des noyaux et traitement de la collision noyau-noyau

Les noyaux projectile et cible sont générés dans l’espace des impulsions, dans leur état fon-damental, selon une distribution de Fermi-Dirac. Les expériences étant réalisées sur cible fixe, le noyau projectile est accéléré à la vitesse du faisceau afin de pourvoir réaliser la simulation dans le

92 4.1. Présentation des modèles utilisés référentiel du centre de masse. Dans le cadre du modèle Elie, aucune dissipation dans la voie d’entrée n’est considérée et c’est donc dans le cadre de l’approximation soudaine qu’est réalisée la collision. La définition du quasi-projectile, de la quasi-cible et de la zone participante est faite comme dans le cadre du modèle Hipse selon le scénario participant-spectateur. Ainsi, tous les nucléons ne se trouvant pas dans la zone de recouvrement entre le projectile et la cible formeront le QP (resp. la QC) s’ils proviennent du projectile (resp. de la cible), tandis que les autres formeront la ZP. Collisions nucléon-nucléon

Dans le cadre du modèle Elie, les nucléons de la zone participante peuvent également subir les collisions nucléon-nucléon. Ces dernières ont pour effet de dissiper une partie de l’énergie dis-ponible apportée par le projectile. Pour cela, le nombre de collisions nucléon-nucléon est déterminé à partir de la valeur de la section efficace σ∗

NN dans le milieu. Cette valeur est estimée en deux étapes. La première consiste à prendre en compte les effets du milieu comme :

σ^∗_NN fPauli

= ν× ρ^−2/3 (mb) (4.12)

où ν est un paramètre reflétant l’impact de l’environnement nucléonique sur la section efficace et ρ est la densité (en fm−3) dans la ZP, ces paramètres étant ajustés afin de reproduire au mieux les données. La seconde étape consiste à prendre en compte le principe d’exclusion de Pauli et ainsi obtenir la section efficace dans le milieu corrigée. Dans Elie, la quantité fPauli est donc déterminée à l’aide de la formulation de Kikuchi & Kawai (cf. chapitre2, équation (2.11)). Ainsi, la section efficace de collision nucléon-nucléon utilisée dans le modèle est formulée comme suit :

σ^∗_NN= f_Pauli× ν × ρ^−2/3 (mb) (4.13)

C’est donc à partir de cette relation qu’est calculé le nombre de nucléons éligibles pour les collisions nucléon-nucléon, en s’appuyant sur l’approche rows on rows (cf. chapitre 2, section2.3.1).

Génération des fragments

Les collisions nucléon-nucléon étant traitées, il faut générer la partition de fragments. Les nu-cléons présents dans la ZP sont alors utilisés pour construire séquentiellement les fragments. La méthode mise en place dans Elie consiste à choisir aléatoirement un nombre de masse Ai com-pris entre 1 et Adisp où Adisp est le nombre de nucléons disponibles au moment de la formation. Ai= Ni+ Zinucléons sont ensuite aléatoirement choisis dans la ZP. A cet instant de la procédure, deux conditions d’existences sont vérifiées pour le fragment formé : une condition d’existence et une autre cinématique. La condition d’existence est simple et consiste à accepter le fragment produit s’il est présent dans la table de masse. La seconde condition dépend quant à elle de la taille du fragment formé, dont le traitement est différent pour les petits fragments (Z 6 2) et les plus lourds (Z > 2).

Pour les noyaux légers (Z 6 2 et A 6 4), la condition cinématique est donnée par la formula-tion (3.19) utilisée au chapitre 3, basée sur l’oscillateur harmonique (OH). Ainsi, l’intégration de cette relation permet d’obtenir pour chaque valeur de A une valeur de l’énergie cinétique moyenne du fragment notée hEOH

cini (A) (ces valeurs sont données dans le tableau 3.2). Pour le fragment f de masse A_i il vient alors la condition cinématique suivante :

hE^fcini 6 hE^OHcini  ρ ρ0 2/₃ (4.14)

Chapitre 4. Étude du transport de l’isospin à l’aide de modèles 93 où hEf

cini est l’énergie cinétique moyenne du fragment formé, déduite de celle des nucléons qui le composent. Le facteur _ρ

ρ0

2/₃

permet ici de prendre en compte les effets de compression dans la voie d’entrée.

Dans le cas où le fragment f de masse Ai est plus lourd (Z > 2), l’énergie totale de ce dernier est :

E^f_tot= E^f_cin+ Epot (4.15)

L’énergie cinétique Ef

cin du fragment calculée à partir des énergies cinétiques respectives des nu-cléons qui le composent et l’énergie potentielle est calculée à l’aide d’un potentiel effectif de Skyrme. Afin de tester l’existence du fragment f, une limite basse Ef

min et une limite haute Ef

max sont considérées pour Ef

tot, dont les expressions sont :

Emin(ρ) = E^gaz_cin(ρ) + Epot(ρ) (4.16)

Emax(ρ) = E^gaz_cin(ρ) + Epot(ρ) + E^∗_max (4.17) Dans les expressions (4.16) et (4.17), E^gaz_cin = ^h

2(3π2ρ)^2/3

2m représente l’énergie cinétique du fragment f dans le cadre d’une description de ce dernier comme un gaz de fermions sans interaction, où m est la masse d’un nucléon. La quantité Epot(ρ) est l’énergie potentielle d’interaction entre les nucléons calculée à l’aide du potentiel de Skyrme mentionné ci-avant. Enfin, E∗

max = a.T2 max est l’énergie d’excitation maximale que peut avoir le fragment f, avec a = A_i/10 MeV−1 et Tmax = 5, 5 MeV/nucléon qui est une température limite fixée à partir d’observations expérimentales [82]. Ainsi, la condition d’existence à respecter pour le fragment f est donc :

Emin(ρ) 6 E^f_tot 6 Emax(ρ) (4.18)

La procédure décrite ci-dessus est réalisée de manière itérative jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de nucléons disponibles.

Traitement des nucléons libres

La procédure de formation séquentielle des fragments conduit à la production de nucléons libres. Pour qu’un nucléon puisse s’échapper de la ZP, il faut qu’il respecte la condition suivante :

Eⁿ_cin> E^ZP_pot(ρ) (4.19)

où En

cinest l’énergie cinétique du nucléon considéré et EZP

pot(ρ)est l’énergie potentielle d’interaction du nucléon avec tous ceux présent dans la ZP, calculé à l’aide d’une interaction de type Skyrme. Si cette condition est respectée alors le nucléon sera considéré comme libre et l’excédent d’énergie Eⁿ_exc = Eⁿ_cin− E^ZP_pot(ρ) sera réparti entre tous les nucléons dans le milieu. Enfin, dans le cas où les nucléons ne respectent pas la condition et ne s’échappent pas du milieu, ils sont aléatoirement réabsorbés par les fragments déjà formés.

Configuration du freeze-out

Le freeze-out correspond à l’instant de la réaction où l’ensemble des fragments a été formé, mais lorsque la propagation et la désexcitation n’ont pas encore eu lieues. Dans Elie, cette étape

94 4.1. Présentation des modèles utilisés permet de retrouver dans l’espace des positions R, la totalité des traitement précédents ayant été réalisés dans l’espace des impulsions P uniquement. Le volume dit de freeze-out est donc la région de l’espace dans lequel vont être placés les fragments générés et les nucléons libres. Avec AZP le nombre de masse des espèces de la zone participante, le rayon de la zone de freeze-out Rfoest définit comme :

Rfo= k.r0 ³

p

AZP (4.20)

où k = 3 est un paramètre du modèle ajusté en utilisant les distributions d’énergie cinétique des fragments et r0 = 1, 2 fm est le rayon moyen d’un nucléon. Les fragments produits ainsi que les nucléons libres sont ensuite placés aléatoirement dans le volume de freeze-out Vfo= ^4πR3fo

3 . Enfin, le quasi-projectile et la quasi-cible sont placés aléatoirement et de manière tangentielle au volume de freeze-out.

Bilan en énergie et phase de désexcitation

Une fois la phase de placement dans l’espace des positions terminée, il est nécessaire de procéder à la propagation des fragments et des particules, ainsi que de leur attribuer une énergie d’excitation. Concernant les termes répulsifs impliqués dans la propagation, ils sont au nombre de deux : un terme de répulsion coulombienne et un terme d’expansion. Le terme d’énergie coulombienne Ecoul

est calculé entre tous les participants (QP, QC, fragments et nucléons libres), en considérant leur charges respectives et leurs distances. Le terme d’expansion Eexp est lui lié à la phase de compres-sion lors de la collicompres-sion et ne concerne que les particules et fragments issus de la zone participante. Dans le modèle Elie, cette énergie est calculée à l’aide d’une équation d’état telle que :

Eexp=^X f E^f_exp = AZP.^K 18^.  ρ − ρ0 ρ0 2 (4.21) où ρ0 est la densité de saturation de la matière nucléaire, ρ est la densité du milieu nucléaire atteinte lors de la phase de compression et K est le module de compressibilité (ici K = 240 MeV). Cette énergie est répartie entre tous les fragments en utilisant un terme répulsif dépendant de la position du fragment f dans le volume de freeze-out tel que :

−−→

v^f_exp= λ.−→_{ri (4.22)}

où ri est la position du fragment f dans le volume de freeze-out. La valeur de la constante λ est alors determinée à l’aide de l’égalité suivante :

Eexp =^X

i∈f

1 2^.mi.λ

2.−→_ri2 (4.23)

où i est l’indice courant sur tous les fragments de la partition et miest la masse du fragment i. Ainsi, l’égalité existante entre les relations (4.21) et (4.23) permet d’observer que la valeur de λ reflète sur chaque fragment de la partition, l’effet de la phase de compression/expansion de la réaction.

En ce concerne l’énergie d’excitation du fragment f, elle est calculée selon la relation E∗ = a.T2. C’est donc la température qui est attribuée au fragment, selon une relation dépendante du paramètre d’impact. T bb^=    Tmax si bb 6¹/2 2.Tmax×^1 − bb si bb >¹/2 (4.24)

Chapitre 4. Étude du transport de l’isospin à l’aide de modèles 95 où bb = _b^b

max est le paramètre d’impact réduit avec bmax le paramètre d’impact maximal pour le système considéré.

Enfin, avant de procéder à la désexcitation des fragments excités, il est nécessaire de vérifier la conservation de l’énergie totale. Dans Elie, cette dernière est vérifiée à l’aide d’un algorithme échangeant aléatoirement les énergies cinétiques de deux nucléons (protons, neutrons) entre tous les fragments, l’objectif étant de minimiser la quantité :

χ =       A_C Z_C∆ +^AP Z_P ∆ + EP Ecoul+ Eexp+^P_f A_f Z_f∆ + Ef cin+ Ef∗       ^(4.25) où A

Z∆est l’excès de masse tabulé du noyau (A, Z).

Finalement, la désexcitation des fragments est réalisée comme dans le cadre du modèle Hipse grâce au code Simon. Il faut néanmoins mentionner que d’autres codes de désexcitation peuvent être utilisés comme par exemple GEMINI++ [83,73].