1.2 Modélisation d’un matériau granulaire
1.2.2 Modèle de Drucker-Prager Cap
Pour arriver à simuler le procédé de mise en forme des poudres métal-liques, des lois de comportement de la mécanique des sols ont été utilisées en raison de certaines similitudes entre les matériaux étudiés. Il est couramment admis que le comportement des poudres pendant la compression à froid est un comportement élasto-plastique. Les déformations élastiques sont suppo-sées petites devant les déformations plastique, cette hypothèse est validée dans les travaux de Pavier et al. [69]. À l’heure actuelle, plusieurs modèles plus ou moins compliqués sont utilisés pour simuler la compression à froid des poudres métalliques. Le modèle le plus utilisé dans l’industrie des poudres [33, 55] est le modèle isotrope qui intègre une loi de comportement avancée de
1.2. MODÉLISATION D’UN MATÉRIAU GRANULAIRE. 17 type Drucker-Prager modifiée avec un Cap et qui est basée sur une approche de matériau continu.
Généralement ce modèle est nommé Drucker-Prager Cap mais en réalité, le nom de Drucker-Prager Cap ne représente pas un modèle de comportement mais simplement la forme des surfaces de charge.
Le modèle de Drucker-Prager Cap [28, 27] est basé sur l’approche de l’élasto-plasticité développée ci-dessus. La représentation de ce modèle est gé-néralement faite dans le plan axisymétrique de l’espace des contraintes prin-cipales (plan qui correspond aux chargements axisymétriques, par exemple, σ2 = σ3) qui est défini par l’axe des contraintes isotropes p et l’axe des contraintes déviatoire q.
La contrainte isotrope p également nommée contrainte hydrostatique ou moyenne est exprimée comme suit :
p = 1 3I1 =
1
3tr(σ) (1.6)
où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy et I1 = tr(σ) est le premier invariant et qui est une fonction des contraintes principales.
La contrainte déviatoire q vient de la décomposition du tenseur σ en une partie sphérique et une partie déviatoire de telle sorte que :
σ = 1
3tr(σ)I + s (1.7)
où s est le tenseur déviateur des contraintes dont la trace est nulle (tr(s)= 0). Par la suite, la contrainte déviatoire q est déterminée par l’équation sui-vante :
q =p3J2 (1.8)
avec J2 est le second invariant pour le tenseur déviateur s
J2 = 1 2tr s
2
Si on remplace (1.9) dans (1.8), la contrainte déviatoire devient : q = r 3 2tr(s 2) (1.10)
La surface de charge de ce modèle est décrite par deux parties essen-tielles : une première surface de forme elliptique dite "Cap" (associée aux modes de chargements contractant, entraînant une diminution du volume de l’échantillon et une augmentation de la densité), et une deuxième surface dite droite de rupture de Drucker-Prager (correspond aux modes de charge-ment dilatants, entraînant une augcharge-mentation du volume de l’échantillon et une diminution de la densité) (figure 1.8). Une troisième surface de transition entre les deux premières est parfois définie afin de rendre la surface de charge régulière.
Figure 1.8 – Surface de charge et de rupture correspondant à la modélisation Drucker-Prager Cap.
L’évolution des surfaces de charge (écrouissage) dépend d’une seule va-riable d’histoire, la déformation volumique plastique qui est reliée directe-ment à la densité relative. Cette déformation est définie par :
εplv = Z
dεplv = Z
tr dεpl (1.11)
Ainsi, la surface de charge est indépendante du chemin suivi et ne dépend que de la densité relative courante. L’évolution de la surface est décrite par les trois paramètres d, β et Pbvisible sur la figure 1.8, qui sont respectivement
1.2. MODÉLISATION D’UN MATÉRIAU GRANULAIRE. 19 la contrainte limite de cohésion, l’angle de la droite de rupture et la fonction d’écrouissage.
Ce modèle est disponible dans les codes commerciaux d’éléments finis comme ABAQUS [1, 2]. Il permet de prédire les distributions de densité et de contrainte pendant la phase de compression et les contraintes résiduelles. Plusieurs travaux ont utilisé la méthode des éléments finis intégrant le mo-dèle de Drucker-Prager pour simuler la mise en forme des pièces [3, 53, 37].
De nombreuses variantes de ce modèle existent, on trouve par exemple le modèle proposé par Chtourou et al. [20, 19] où la ligne de rupture de Drucker-Prager est remplacée par deux surfaces (f1 et f2). Une autre diffé-rence identifiée est que la ligne de Drucker-Prager utilise un potentiel non-associé alors que les surfaces de charge f1 et f2 utilisées par Chtourou et al. [20, 19] correspondent à des lois de comportement associées où la règle de normalité des composantes de la déformation est appliquée.
L’équation de la surface Cap du modèle de Chtourou at al.[20] est iden-tique à celle utilisée pour la loi de Cap modèle pré-intégrée dans ABAQUS où la règle de normalité est appliquée. Ainsi, la formule du potentiel correspond à celle de la surface de charge.
La loi phénoménologique macroscopique de Drucker-Prager Cap prédit avec précision la distribution de densité en fin de compression [33, 34]. Cette loi de comportement assure des simulations assez rapides ce qui la positionne comme un outil de première analyse [53, 12]. Les surfaces de Drucker-Prager Cap possèdent la propriété d’être symétriques par rapport à l’axe hydro-statique. Mais des campagnes de mesures expérimentales ont montré les fai-blesses de ce modèle [4, 80] (le paragraphe 1.3.1 développera cette idée) parce qu’il ne reproduit pas correctement l’évolution des efforts au cours du charge-ment, ni l’asymétrie des surfaces de charge par rapport à l’axe hydrostatique en compression en matrice (figure 1.9.b) qui est le procédé de compression industrielle le plus utilisé (figure 1.10).
La seule variable d’écrouissage (densité relative) que ce modèle intègre est incapable de prendre en compte l’histoire de chargement. Pour arriver à détecter l’anisotropie de la structure en fonction du chemin de chargement, Pavier [69] a montré qu’il est nécessaire d’ajouter au moins une autre variable d’écrouissage qui caractérise le chemin.
Figure 1.9 – Chargement couramment utilisés. (a) Compression hydrosta-tique. (b) Compression en matrice.
Figure 1.10 – L’incapacité des surfaces de Drucker-Prager Cap à reproduire l’influence du chemin de chargement peut mener à des erreurs importantes sur les valeurs de contraintes ou de déformations calculées avec des chemins de chargements complexes.
1.3 Méthodes de caractérisation du
comporte-ment du matériau.
1.3.1 Approche expérimentale.
Produire des résultats de simulations identiques aux mesures expérimen-tales obtenues directement sur des presses de laboratoire instrumentées, est le résultat vers lequel la communauté scientifique veut tendre le plus effica-cement possible.
Pour arriver à développer et à valider des lois de comportement de la litté-rature, il est inévitable de connaître un maximum de données expérimentales sur le comportement mécanique de la poudre soumise à des sollicitations va-riées. Cependant, la complexité de l’approche expérimentale rend l’étude de
1.3. APPROCHES DE CARACTÉRISATION DES POUDRES. 21