Le modèle de demandes exogènes

Le modèle de demandes exogènes considère que les hypothèses suivantes caractérisent pleinement le comportement de choix des clients :

1. Chaque client choisit toujours son produit favori parmi N. La probabilité qu’un client choisisse un produit j est notée pj avec :

Â

j2N[{∆}

pj =1

2. Si le produit favori j n’est pas disponible, le client choisit son deuxième produit favori k avec une probabilité d et une proba- bilité 1 d de décider ne pas l’acheter. La probabilité que j soit

substitué par k est définie par akj.

Dans le cas où le second produit favori n’est pas non plus disponible, l’opération se répète. La probabilité que le client n’achète pas (1 d)

et la probabilité de substitution peuvent rester les mêmes pour chaque tentative répétée ou bien être spécifiée différemment. Ce modèle consi- dère qu’il n’y a pas de comportement sous-jacent du consommateur. Il est le plus couramment utilisé dans la littérature sur la gestion des stocks de produits substituables. La probabilité de substitution (akj) est déterminée par une matrice de probabilité. La forme de cette

matrice définit le mécanisme probabiliste utilisé pour calculer la sub- stitution entre produits (e.g. matrice de substitution adjacente, matrice de substitution proportionnelle, etc.) [84].

2.2 état de l’art : planification de l’assortiment 21

L’avantage du modèle de demandes exogènes est de pouvoir dif- férencier des catégories de produits avec des taux de substitution faibles et élevés avec un seul paramètre d. Chaque matrice suppose des contraintes différentes entre les catégories. Seule la matrice de substitution proportionnelle a des propriétés cohérentes avec le mo- dèle MNL. En effet, c’est la seule matrice de substitution qui considère qu’un magasin ne contient pas tous les produits (S✓ N). Cela signifie qu’un consommateur qui ne trouve pas son produit favori dans le magasin est plus susceptible d’acheter un substitut à mesure que l’en- semble des substituts potentiels augmente. Le modèle de demandes exogènes suppose ainsi finalement qu’il n’y a plus de tentatives de substitution. Soit le produit de remplacement est disponible dans le magasin et la vente est conclue, soit la vente est perdue. Des études démontrent que limiter le nombre de tentatives de substitution n’est pas restrictif [4,82].

Si ce modèle s’est autant répandu, c’est parce qu’il dispose de plus de degrés de liberté que le modèle MNL. Étant donné que les options de l’ensemble de choix sont supposées être homogènes, le modèle MNL n’est pas en mesure de saisir les types de substitution adjacente, la substitution d’un produit ou la substitution au sein d’un sous- groupe. Dans le modèle MNL, les taux de substitution dépendent de l’utilité relative des options. C’est à la fois un avantage et un inconvénient pour le modèle MNL.

L’avantage est qu’il permet d’intégrer facilement des variables mar- keting telles que les prix et les promotions dans le modèle de choix. L’inconvénient est qu’il ne peut pas faire de différence entre le choix initial et le comportement de substitution. Contrairement au modèle MNL, le modèle de demandes exogènes peut différencier les catégories qui peuvent avoir la même demande initiale pour la catégorie mais des taux de substitution différents par le choix des consommateurs. Par conséquent, le modèle MNL ne peut pas traiter les substitutions basées sur l’assortiment et les ruptures de stock de manière différente. En revanche, il est possible d’utiliser des matrices de probabilités de substitution différentes pour les substitutions basées sur l’assortiment et les ruptures de stock dans le modèle de demandes exogènes [84].

Des modèles de planification d’assortiments exploitant le modèle de demandes exogènes ont été proposés. En 1996, N. Agrawal et S.A. Smith ont constaté que les données de ventes dans la distribution s’accordaient très bien avec la distribution binomiale négative (NBD) (Negative Binomial Distribution) [3]. Ils proposent d’identifier des bornes inférieures et supérieures au problème. Ces bornes permettent de formuler une heuristique spécifiant le sous-ensemble de produits optimal pour un magasin. Le modèle de Smith et Agrawal considère que le niveau des stocks évolue à chaque nouveau client. Pour un assortiment S donné, une fonction fj définit le niveau de service

produit k est disponible pour le client m. La probabilité que le mime

client achète un produit j est notée gj(S, m):

gj(S, m) =dj+

Â

dkakj+

Â

dkakj(1 Ak(S, m))

où dj correspond aux taux de demande moyens pour le produit j

(dj = lpj). La complexité de la fonction gj(S, m)oblige à exploiter les

propriétés des distributions binomiales négatives [84]. Ils considèrent que la demande de chaque produit devrait suivre la NBD. Le modèle de Smith et Agrawal rejoint le modèle proposé par van Ryzin et Maha- jan en posant un problème d’optimisation visant à maximiser le total des profits d’une catégorie (cf. équation 1). Cependant ils ajoutent une fonction de profit. Ce problème d’optimisation se transforme en pro- blème de programmation d’entier non linéaire et l’intégration d’une nouvelle contrainte est triviale (coûts de détention, contrainte budgé- taire, espace en rayon . . . ). Les chercheurs proposent de résoudre le problème en utilisant une approche de relaxation lagrangienne1_pour

supprimer des contraintes complexes en les intégrant dans la fonction objectif suivi d’une recherche unidimensionnelle sur la variable duale qu’il désigne. En théorie de l’optimisation, les problèmes peuvent être vus selon deux perspectives : le problème primal ou le problème dual. La solution du problème dual apporte une borne supérieure à la solution du problème primal. Cependant, les valeurs optimales des problèmes primal et dual ne sont pas systématiquement égales (saut de dualité).

Ce modèle est mis en application et enrichi dans de nombreux travaux de recherche [96,132,155]. Notamment au travers du modèle de Kök et Fisher [83].