adaptée. Les résultats numériques seront comparés à ceux du modèle de Keller-Miksis.
2.2 Modèle compressible
On choisit de décrire le uide par les variables macroscopiques que sont la masse volumique ρ, la vitesse u et l'énergie interne e, dépendant de la variable d'espace x ∈ Rd, d = 1,2 et3 et du temps t ∈ R+. L'évolution dynamique du uide obéit aux principes de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. En négligeant les eets de dissipation thermique et visqueuse et la gravité, on obtient le système d'équations d'Euler :
2 +eest l'énergie totale du uide.
An d'identier les phases gazeuse et liquide, on introduit la quantitéϕ, indi-catrice de la région liquide, telle que :
ϕ(x, t) =
0, dans la phase gazeuse,
1, dans la phase liquide. (2.24) L'interface se déplaçant à la vitesse du uide, la quantité ϕsatisfait donc l'équa-tion :
∂t(ρϕ) + div(ρϕu) = 0, (2.25) qui assure qu'il n'y a pas de transfert de masse entre les phases. Une relation supplémentaire est nécessaire pour clore le système. On y ajoute une loi d'état, dénissant la pression
Π(ρ, e, ϕ) = (γ(ϕ)−1)ρe−γ(ϕ)π(ϕ), (2.26) avec
γ(0) =γvap, γ(1) =γliq, π(0) =πvap= 0, π(1) =πliq.
Ainsi la phase gazeuse suit une loi de gaz parfait tandis que la phase liquide est décrite par une loi de gaz raide.
Remarque 2.2.1. Ces lois d'état seront plus détaillées au chapitre 7.
Les coecients γ(ϕ) et π(ϕ) dépendent de la thermodynamique du uide et sont en général déduits de l'expérience. On pose ensuite :
p(x, t) = Π (ρ(x, t), e(x, t), ϕ(x, t)). (2.27) Puisque l'on s'intéresse à la dynamique d'une bulle sphérique, il est plus commode de se placer en géométrie sphérique donc en d= 3. Considérant le changement de variable :
(x1, x2, x3)7→(r, θ, ψ), (2.28)
22 Chapitre 2 : Méthode Lagrange-projection tel que
r =p
x21+x22+x23, x1 =rsinθcosψ, x2 =rsinθsinψ, x3 =rcosθ, puis en supposant l'écoulement invariant par rotation, on dénit les fonctions
ρ(r, t) =e ρ(x1, x2, x3, t), u(r, t) =e u(x1, x2, x3, t), p(r, t) =e p(x1, x2, x3, t), ϕ(r, t) =e ϕ(x1, x2, x3, t), E(r, t) =e E(x1, x2, x3, t).
On a alors :
Proposition 2.2.2. Le système (2.23) s'écrit de façon équivalente :
Par souci de lisibilité, on s'aranchit désormais dese·.
Propriétés mathématiques
On s'intéresse maintenant aux propriétés mathématiques de ce modèle et au problème de Riemann associé, qui s'avérera utile pour la construction du schéma numérique. On considère le système (2.29) exprimé comme
∂tW +∂rf(W) =S(W, r) (2.30)
On rappelle brièvement quelques dénitions concernant l'hyperbolicité (pour plus de détails, on se réfererra à [GR91], [GR96], [LeV92]).
Dénition 2.2.4. Si les valeurs propres de la matrice jacobienne du ux A(W) =
∂fi
∂Wj(W)
1≤i,j≤4
sont réelles et A est diagonalisable, le système est dit hyperbolique.
2.2 Modèle compressible 23 Proposition 2.2.5. Muni de la loi d'état (2.26) le système (2.30) est hyperbolique quand
p+π(ϕ)≥0.
Démonstration. Soients=s(ρ, e, ϕ) l'entropie s= p+π(ϕ) ργ(ϕ) , etc la vitesse du son d'un gaz raide
c= s
γ(ϕ)p+π(ϕ)
ρ . (2.32)
On introduit le vecteur de variables primitivesY = (ρ, u, s, ϕ)T et le changement de variables bijectifY =Y(W). Le système (2.30) admet une formulation équiva-lente :
Alors, la matrice jacobienne du ux admet pour valeurs propres :
λ1 =u−c, λ2 =u, λ3 =u+c, λ4=u, (2.35) et pour vecteurs propres :
r1 =
Les valeurs propres sont réelles si et seulement sic≥0 i.e. si p+π(ϕ)≥0.
Remarque 2.2.6. Le modèle thermodynamique autorise les pressions négatives (ou tensions) ce qui n'est pas physiquement exclu (cf. [F+95]).
24 Chapitre 2 : Méthode Lagrange-projection Rappels concernant la solution du problème de Riemann monodimen-sionnel
La construction d'un solveur de type Godunov nécessite de connaître la solution du problème de Riemann. On rappelle ici brièvement le cadre mathématique et un résultat énoncé dans [Rou00] et [BHR03] (pour plus de détails, on renvoie les lecteurs aux ouvrages [GR96], [LeV92]). Considérons le problème de Riemann associé au système (2.30) et (2.26) :
On s'intéresse aux solutions faibles au sens des distributions du problème qui sont autosimilairesW(r, t) =Rr
t, WL, WR
. Le principe de construction de la solu-tion repose sur l'hyperbolicité du système. La solusolu-tion est constituée de diérentes ondes dans le plan(r, t) qui correspondent aux vitesses caractéristiques. La don-née des vecteurs propres et des valeurs propres nous permet de caractériser les 4 champs caractéristiques. Les champs 2 et 4 sont linéairement dégénérés, i.e.
(∇λ2,4)·r2,4 = 0.
Les champs 1 et 3 sont vraiment non linéaires : (∇λ1,3)·r1,3 6= 0.
La solution du problème de Riemann correspond à la juxtaposition d'états cons-tants séparés par des ondes de détentes, de chocs ou des discontinuités de contact, i.e. Le schéma 2.2.1 illustre la répartition des ondes dans l'espace (r, t). Si λ−i <
λ+i , la i-onde vraiment non linéaire est une détente. Les invariants de Riemann étant constants dans une détente, on en déduit la solution R(ξ, WL, WR), pour λ−i < ξ < λ+i . Si la i-onde est une discontinuité de vitesse σ, les relations de Rankine-Hugoniot s'écrivent
σ(Wa−Wb) =f(Wa)−f(Wb),
les indices (a) et (b) désignant les états constants de part et d'autre de la dis-continuité. On introduit la vitesse relative vi = ui−σ, i = a oub. Alors on a
2.2 Modèle compressible 25
Fig. 2.2.1 Ondes de la solution du problème de Riemann (2.38).
Si M = 0, les masses volumiques ρa et ρb étant non nulles, les vitesses va et vb sont nulles. Les valeurs u etp sont constantes et ϕ peut être discontinue. L'onde est une discontinuité de contact se propageant à la vitesseva=vb =σ. SiM 6= 0, il s'agit d'une onde de choc : la quantité ϕ est constante à la traversée de l'onde vraiment non linéaire.
Remarque 2.2.7. Les quantitésu etϕne pouvant être simultanément disconti-nues, la dernière équation du système non conservatif (2.33) est bien dénie.
Rappelons que les indices 1 et 2 désignent les états intermédiaires de la solution du problème de Riemann. On a donc :
p1 = p2=p∗, (2.44)
ϕ1 = ϕL, (2.45)
ϕ2 = ϕR, (2.46)
et en absence de vide :
u1=u2 =u∗. (2.47)
On introduit la fonction (pour a=L ouR) Ξa(p∗) =
Φa(p∗) si p∗ ≥pa, Ψa(p∗) si p∗ ≤pa, avec
Φa(p∗) = p
(p∗−pa)(1/ρa−ha(p∗)), Ψa(p∗) = 2
γa−1 rγa
ρa(pa+πa)
p∗+πa pa+πa
γa−1
2γa −1
, ha(p∗) = 1
ρa
(γa+ 1)(pa+πa) + (γa−1)(p∗+πa) (γa+ 1)(p∗+πa) + (γa−1)(pa+πa).
26 Chapitre 2 : Méthode Lagrange-projection Alors on a :
u1=uL−ΞL(p∗), (2.48)
u2=uR+ ΞR(p∗). (2.49)
Le problème de Riemann est résolu dès lors que l'on connaîtp∗.
Théorème 2.2.8. [Rou00] Le problème de Riemann admet une unique solution à densité positive si les états WL et WR satisfont :
uR−uL≤ −ΞR(p)−ΞL(p), (2.50) oùp= inf(πL, πR). La pressionp∗≥ −p est l'unique solution de
uL−ΞL(p∗) =uR+ ΞR(p∗). (2.51) Si l'inégalité (2.50) est fausse, on introduit une zone de vide :
Théorème 2.2.9. [Rou00] SiuR−uL>−ΞR(p)−ΞL(p),le problème de Riemann admet encore une solution entropique. Par exemple, si p = πL, on a p∗ = −p, ρ1 = 0, u∗2 =uR+ ΞR(p∗), u∗1 =uL−Ξ(p∗) et en général u∗1 6=u∗2.