2.1.2.1. Modèle analytique

Chapitre II. Interconnexions Flip-Chip

II. 2.1.2.1. Modèle analytique

La nécessité d’implémenter un nouveau modèle pour les MWCNT provient de deux

éléments principaux :

- Dans un MWCNT, toutes les parois n’ont pas le même diamètre, il n’est donc pas

possible de simplifier le modèle comme dans un paquet de SWCNT.

- Les parois sont beaucoup plus proches que dans un paquet de SWCNT

entraînant des interactions entre ces parois.

Le modèle analytique d’un DWCNT ressemble à celui d’un SWCNT puisque l’on peut

considérer un DWCNT comme deux SWCNT en parallèle. Et comme le diamètre de chaque

paroi est suffisamment petit, leurs circuits RLC équivalents sont identiques. On rajoute à ce

modèle les interactions entre les deux parois. Ces interactions incluent :

- Une capacité inter-paroi

- Un effet tunnel entre les parois

- Un couplage magnétique entre les parois se traduisant par une inductance

mutuelle

De plus, dans une configuration de ligne parallèle à un plan métallique, seule la paroi

extérieure démontre une capacité électrostatique.

La capacité inter-paroi provient d’une différence de potentiel entre les parois. En effet,

dans la version approfondie du modèle de ligne d’une paroi de MWCNT, les différents

éléments du circuit RLC de la paroi dépendent du diamètre de la paroi. En l’occurrence, si

une paroi fait plus de 3 nm de diamètre alors le nombre de canaux de conduction devient :

𝑁

𝑐𝑎𝑛𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖

⁄

= 𝑎 ⋅ 𝐷 + 𝑏

Pour chaque paroi d’un MWCNT, on réintroduit ce nombre de canaux dans les

équations déterminant les éléments du circuit RLC distribués de la paroi. Néanmoins dans le

cadre de cette thèse, les deux parois du DWCNT seront supposées métalliques. Il reste

pertinent d’envisager un cas plus généraliste. Il faudra alors reprendre l’équation donnée par

A. Naeemi et al. dans le cadre de paroi de diamètre inférieur à 6nm [40] :

𝑁

𝑐𝑎𝑛𝑎𝑢𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖

⁄

= 𝑁

𝑐𝑎𝑛𝑎𝑢𝑥 𝑆𝑊𝐶𝑁𝑇

⁄

× ℙ(𝑚) = 2/3

Où ℙ(𝑚) est la probabilité que la paroi soit métallique.

Cette capacité de couplage inter-paroi peut s’apparenter à une capacité

électrostatique. La valeur de cette capacité sera très élevée du fait de la proximité des deux

parois. La capacité inter-paroi par unité de longueur 𝐶

_𝑆

peut être calculée à l’aide de la

formule de la capacité électrostatique dans une ligne coaxial :

𝐶

_𝑆

= ^2𝜋𝜀

ln (^𝐷_𝐷

^𝑜𝑢𝑡 𝑖𝑛

)

= ^2𝜋𝜀

ln (_𝐷 ^𝐷

^𝑜𝑢𝑡 𝑜𝑢𝑡

− 2𝑑⁾

Où 𝐷

_𝑜𝑢𝑡

est le diamètre de la paroi extérieure et 𝐷

_𝑖𝑛

est le diamètre de la paroi

intérieure, 𝑑 vaut 0.34 nm et 𝜀 la permittivité du milieu séparant les deux parois.

Un autre effet important au sein d’un MWCNT est l’effet tunnel entre deux parois

adjacentes. Cette composante est sujet à débat puisque pour Collins, P. G. et al. elle serait

négligeable [166]. Des analyses théoriques de Yoon, Y. G. et al. vont également dans ce

sens, leur étude montre que le courant inter-paroi d’un MWCNT sans défaut tend à être très

faible [167]. Néanmoins des mesures de Bourlon, B. et al. font état d’une conductance entre

deux parois de 10 kΩ

-1

.µm

^-1

[168]. Ce qui donne une résistivité radiale de 1 Ω.m. Notons que

cette valeur n’est valable que pour un espacement entre les deux parois de d=0.34 nm.

Cependant, l’effet tunnel dépend exponentiellement de l’espacement entre les parois.

Néanmoins, dans le cadre d’un MWCNT, on peut supposer d=0.34nm ce qui permet

d’introduire une conductivité par effet tunnel normalisée (𝜎) qui inclut la dépendance à

l’espacement entre les parois. La valeur de cette conductivité peut être calculée basé sur les

mesures de Bourlon, B. et al. [168]. On obtient 𝜎 = 0.3(μΩ. cm

)

⁻¹

[39]. La conductance par

effet tunnel entre deux parois adjacentes et par unité de longueur est [39]:

𝐺

_𝑇

= 𝜎 ⋅ 𝜋𝐷

Où

𝜎 est la conductivité par effet tunnel normalisée pour d=0.34nm,

𝐷 le diamètre de la paroi la moins large.

La conductance par effet tunnel est proportionnelle au diamètre de la paroi la moins

large. L’explication de cette proportionnalité est simple puisque plus une paroi a d’atomes de

carbone, plus il y a de chance qu’un électron traverse la paroi par effet tunnel.

Le dernier effet dont nous discuterons est le couplage magnétique entre deux parois

du MWCNT. Puisque l’épaisseur de la paroi est négligeable par rapport à son diamètre, on

peut considérer une paroi comme étant une surface cylindrique idéale sans épaisseur.

L’inductance mutuelle par unité de longueur entre deux parois est alors donnée par [39] :

𝑀

_{𝑝𝑎𝑟𝑜𝑖}

= ^𝜇

2𝜋^(ln

4𝐿

𝐷 ^{− 1 +}

𝐷

_𝑜𝑢𝑡

+ 𝐷

_𝑖𝑛

𝜋𝐿 ⁾

Où

𝐿 est la longueur de la paroi,

𝐷

_𝑜𝑢𝑡

et 𝐷

_𝑖𝑛

sont respectivement le diamètre de la paroi externe et interne de la

structure coaxial considérée,

𝜇 est la perméabilité du milieu entre les parois.

De cette équation on obtient une valeur de 2 pH/µm ce qui est bien plus faible que

l’inductance cinétique des parois (de l’orde du nH/µm). L’inductance mutuelle sera par

conséquent négligée au cours des analyses suivantes.

Ces derniers éléments analytiques permettent d’établir le circuit équivalent d’un

MWCNT, voir figure 56. Le circuit est divisé entre une partie distribuée et une partie fixe.

Dans la partie distribuée se trouve :

- La résistance de la paroi, R

sur la figure ou R

_CNT

, résultante de la dispersion des

électrons,

- L’inductance cinétique, L

, résultante du déplacement des électrons dans la paroi,

- L’inductance magnétique, L

, résultante de la géométrie de la ligne,

- La capacité quantique, C

, résultante de la capacité de stockage en énergie de la

paroi,

- La capacité électrostatique, C

sur la figure ou C

_ES

, entre la paroi extérieure et le

plan métallique.

Toutes ces composantes ont été étudiées dans la partie I.1.3.. Sont rajoutés à ces

composantes distribuées, les trois éléments vus précédemment :

- La capacité inter-paroi, C

, résultante d’une différence de potentiel entre deux

parois adjacentes,

- La conductance par effet tunnel, G

, résultante de la fuite d’électrons par effet

tunnel,

- L’inductance mutuelle entre deux parois adjacentes, M, résultante de la proximité

de ces parois.

A cette partie distributive se rajoute une partie localisée composée de :

- La résistance de contact quantique, R

, qui représente l’énergie nécessaire pour

un électron de rentrer dans l’un des canaux de conduction de la paroi,

- La résistance de contact imparfait, R

dans la figure ou R

, résultante du contact

entre l’embout des parois et le métal de la ligne support.

Figure 56 : Schéma du circuit équivalent d’un MWCNT [39].

Dans le document Nanostructures de carbone dédiées aux interconnexions hautes fréquences (Page 94-97)

Chapitre II. Interconnexions Flip-Chip

II. 2.1.2.1. Modèle analytique

La nécessité d’implémenter un nouveau modèle pour les MWCNT provient de deux

éléments principaux :

- Dans un MWCNT, toutes les parois n’ont pas le même diamètre, il n’est donc pas

possible de simplifier le modèle comme dans un paquet de SWCNT.

- Les parois sont beaucoup plus proches que dans un paquet de SWCNT

entraînant des interactions entre ces parois.

Le modèle analytique d’un DWCNT ressemble à celui d’un SWCNT puisque l’on peut

considérer un DWCNT comme deux SWCNT en parallèle. Et comme le diamètre de chaque

paroi est suffisamment petit, leurs circuits RLC équivalents sont identiques. On rajoute à ce

modèle les interactions entre les deux parois. Ces interactions incluent :

- Une capacité inter-paroi

- Un effet tunnel entre les parois

- Un couplage magnétique entre les parois se traduisant par une inductance

mutuelle

De plus, dans une configuration de ligne parallèle à un plan métallique, seule la paroi

extérieure démontre une capacité électrostatique.

La capacité inter-paroi provient d’une différence de potentiel entre les parois. En effet,

dans la version approfondie du modèle de ligne d’une paroi de MWCNT, les différents

éléments du circuit RLC de la paroi dépendent du diamètre de la paroi. En l’occurrence, si

une paroi fait plus de 3 nm de diamètre alors le nombre de canaux de conduction devient :

𝑁

= 𝑎 ⋅ 𝐷 + 𝑏

Pour chaque paroi d’un MWCNT, on réintroduit ce nombre de canaux dans les

équations déterminant les éléments du circuit RLC distribués de la paroi. Néanmoins dans le

cadre de cette thèse, les deux parois du DWCNT seront supposées métalliques. Il reste

pertinent d’envisager un cas plus généraliste. Il faudra alors reprendre l’équation donnée par

A. Naeemi et al. dans le cadre de paroi de diamètre inférieur à 6nm [40] :

𝑁

= 𝑁

× ℙ(𝑚) = 2/3

Où ℙ(𝑚) est la probabilité que la paroi soit métallique.

Cette capacité de couplage inter-paroi peut s’apparenter à une capacité

électrostatique. La valeur de cette capacité sera très élevée du fait de la proximité des deux

parois. La capacité inter-paroi par unité de longueur 𝐶

peut être calculée à l’aide de la

formule de la capacité électrostatique dans une ligne coaxial :

𝐶

= 2𝜋𝜀

ln (𝐷𝐷

)

= 2𝜋𝜀

ln (𝐷 𝐷

− 2𝑑)

Où 𝐷

est le diamètre de la paroi extérieure et 𝐷

est le diamètre de la paroi

intérieure, 𝑑 vaut 0.34 nm et 𝜀 la permittivité du milieu séparant les deux parois.

Un autre effet important au sein d’un MWCNT est l’effet tunnel entre deux parois

adjacentes. Cette composante est sujet à débat puisque pour Collins, P. G. et al. elle serait

négligeable [166]. Des analyses théoriques de Yoon, Y. G. et al. vont également dans ce

sens, leur étude montre que le courant inter-paroi d’un MWCNT sans défaut tend à être très

faible [167]. Néanmoins des mesures de Bourlon, B. et al. font état d’une conductance entre

deux parois de 10 kΩ

.µm

[168]. Ce qui donne une résistivité radiale de 1 Ω.m. Notons que

cette valeur n’est valable que pour un espacement entre les deux parois de d=0.34 nm.

Cependant, l’effet tunnel dépend exponentiellement de l’espacement entre les parois.

Néanmoins, dans le cadre d’un MWCNT, on peut supposer d=0.34nm ce qui permet

d’introduire une conductivité par effet tunnel normalisée (𝜎) qui inclut la dépendance à

l’espacement entre les parois. La valeur de cette conductivité peut être calculée basé sur les

mesures de Bourlon, B. et al. [168]. On obtient 𝜎 = 0.3(μΩ. cm

)

[39]. La conductance par

effet tunnel entre deux parois adjacentes et par unité de longueur est [39]:

𝐺

= 𝜎 ⋅ 𝜋𝐷

Où

𝜎 est la conductivité par effet tunnel normalisée pour d=0.34nm,

𝐷 le diamètre de la paroi la moins large.

La conductance par effet tunnel est proportionnelle au diamètre de la paroi la moins

large. L’explication de cette proportionnalité est simple puisque plus une paroi a d’atomes de

carbone, plus il y a de chance qu’un électron traverse la paroi par effet tunnel.

Le dernier effet dont nous discuterons est le couplage magnétique entre deux parois

du MWCNT. Puisque l’épaisseur de la paroi est négligeable par rapport à son diamètre, on

peut considérer une paroi comme étant une surface cylindrique idéale sans épaisseur.

L’inductance mutuelle par unité de longueur entre deux parois est alors donnée par [39] :

𝑀

= ^2𝜋𝜀

ln (^𝐷_𝐷

= ^2𝜋𝜀

ln (_𝐷 ^𝐷

− 2𝑑⁾

= ^𝜇

2𝜋^(ln

𝐷 ^{− 1 +}

𝜋𝐿 ⁾