Il a été vu que le modèle ADNR présenté dans la partie précédente était à une dimension. Il ne modélise qu’une force axiale, et ne prend en compte ni la rotation, ni les efforts tangentiels. Pour pouvoir prendre en compte ces effets, Glauert [1935] fonde la Blade Element Momentum (BEM), pour l’étude des hélices. Cette méthode a alors de nouveau été généralisée pour être appliquée à l’éolien. Aujourd’hui, elle est sûrement la plus utilisée dans les logiciels de dimen- sionnement aéro-élastiques. Pour des temps de calcul faibles, elle offre des résultats satisfaisants sous certaines conditions.
Elle propose de découper une pale en un ensemble de sections profilées, comme l’illustre la figure3.12. En les considérant sous deux dimensions (2D), les efforts qu’elles subissent sont entièrement déterminés par l’évaluation des conditions de l’écoulement de l’air (densité, champ de vitesse) et la connaissance des coefficients aérodynamiques (portance et traînée). La somme de ces efforts permet alors de connaître les forces et moments globaux qui s’appliquent sur la pale. La rotation étant considérée, ce modèle porte le nom d’“Actuator Disk Rotatif” (ADR).
Section 2D
Fig. 3.12 : Illustration du principe de la théorie de l’élément de pale
Encore une fois, nous soulignerons que l’état de l’art des couplages numériques effectués avec cette théorie sera dressé plus tard, dans le chapitre 4 qui détaille ce sujet, notamment en partie4.3.1p.61. Ici, seul l’aspect théorique est traité.
3.4.2 Hypothèses
L’ajout de cette théorie a pour but d’améliorer la méthode, par un examen plus approfondi des forces qui agissent sur les pales. Encore une fois, certaines hypothèses doivent d’abord être établies.
L’éolien et sa modélisation
Elles invitent à considérer que le fluide est : — homogène et uniforme,
— en écoulement 2D le long des profils, — en écoulement incompressible.
L’hypothèse de fluide homogène revient à garantir que l’ensemble des caractéristiques propres au fluide (masse volumique, viscosité, ...) sont invariantes dans l’espace. Cette dernière approximation reste acceptable dans les régions proches de la pale.
L’hypothèse d’un écoulement 2D pour le calcul des efforts ne permet pas de prendre en compte les écoulements longitudinaux (le long de la pale). Cela suggère alors que les variations de pression sont très faibles d’un profil à l’autre, et ne permet pas de simuler des cas avec d’importants gradients de pression longitudinaux. Ce problème est d’autant plus embêtant pour une comparaison avec des résultats expérimentaux issus de tests en soufflerie. En effet, les éoliennes y tournent très vite, et il est courant d’apercevoir des écoulements transverses le long des pales.
Comme nous l’avons vu, l’hypothèse d’un écoulement incompressible suppose des vitesses relativement faibles. Lors de la création de cette théorie au début du 20ème siècle, l’écoulement compressible était encore très mal connu. Pourtant, les chercheurs étaient déjà conscients de l’importance de cette approximation, et de l’enjeu que pourrait apporter les nouveaux progrès [Glauert and Tenot,1947].
3.4.3 Les repères de l’ADR
Avant d’établir toute expression mathématique, il semble important de définir les repères associés à cette modélisation. La sous-partie qui suit tentera de détailler cette étape.
Pour cette étude, trois repères ont été utilisés : (a) Le repère Global
(b) Le repère Cylindrique (c) Le repère Element
𝑒𝑥𝑔
𝑒𝑦𝑔
𝑒𝑧𝑔
(a) Repère Global
𝑒𝑟𝑐𝑦𝑙 𝑒𝑥𝑐𝑦𝑙 𝑒𝑡𝑐𝑦𝑙 (b) Repère Cylindrique 𝑒𝑥𝑒𝑙𝑚𝑡 𝑒𝑦𝑒𝑙𝑚𝑡 (c) Repère Element
Le repère Global
Le repère Global est celui qui est fixe à l’échelle du parc éolien. Plus particulièrement, il sera attaché au domaine étudié : c’est le repère de Meso-NH. Nous pouvons le qualifier, sans trop d’abus, de “terrestre”.
— L’axe −e→zg s’oppose à la gravité, en restant colinéaire à celle-ci. — L’axe −→exg est colinéaire au vent dominant, de l’amont vers l’aval. — L’axe −e→yg respecte le trièdre direct.
Le repère Cylindrique
Le repère cylindrique est attaché au rotor. Il trouve son origine au centre du moyeu. — L’axe −−→excyl est parallèle à −→exg. En effet, pour l’instant, nous considérons les éoliennes axées
par rapport au vent (le yaw est constamment nul). — L’axe −−→ercyl est radial : il suit le quart de corde de la pale.
— L’axe −−→etcyl respecte le trièdre direct : c’est la composante tangentielle, située dans le plan de rotation de l’éolienne.
Le repère Élément
Le repère Element est propre à chaque élément discrétisé des pales. Son origine est placée au centre de poussée, où la résultante des moments est nulle, estimé au quart de corde d’après la théorie des profils minces.
— L’axe −−−→eyelmt est colinéaire à la corde du profil, se dirigeant du bord d’attaque au bord de fuite.
— L’axe −−−→exelmt est perpendiculaire à la corde, allant de l’intrados vers l’extrados. — L’axe −−−→ezelmt respecte le trièdre direct.
La figure3.13illustre les précédents propos. La figure (c) est une coupe de la pale. Les axes bleu et orange seront conservés sur chaque schéma.
3.4.4 Application de la théorie de l’élément de pale Détermination de Urel
Comme l’illustre la figure3.14, la vitesse résultante−−→Urel, ou relative, est inclinée d’un angle
ϕ par rapport au plan de rotation. β est l’angle de calage de l’élément par rapport au plan de
rotation. L’angle d’incidence du profil est α = ϕ − β.
Notons −→U = (U1, U2, U3)g la vitesse de vent dans le repère global. Et − →
U = (UX, UR, Uθ) ce même vecteur exprimé dans le repère cylindrique. UX désigne la vitesse axiale de l’air vue par le profil. En considérant que l’éolienne est axée par rapport au domaine global, nous avons directement :
UX = U1. (3.25)
Nous retrouvons ici U1 = U∞(1 − a). De plus, la vitesse tangentielle de l’air vue par le profil
−→
Uθ est une composition de la vitesse tangentielle de vent environnant−U→tet de la vitesse de rotation de la pale. En notant −→Ω = Ω−−→excyl la vitesse de rotation de l’éolienne et r une position radiale, nous obtenons : −→ Uθ = − → Ut− Ω−−→excyl∧ r−−→ercyl, (3.26)
L’éolien et sa modélisation
𝒆
𝒚𝒆𝒍𝒎𝒕𝒆
𝒙𝒆𝒍𝒎𝒕𝒆
𝒙𝒄𝒚𝒍=
𝒆
𝒙𝒈𝒆
𝒕𝒄𝒚𝒍𝑼
𝑿𝑼
𝒓𝒆𝒍α
𝑼
θ= 𝑼
𝒕− Ω𝒓
𝜑 𝛽 Plan de rotationFig. 3.14 : Triangle de vitesses associé à sa section
avec :
Ut=
q
U22+ U32. (3.27)
La norme de la vitesse relative est alors :
Urel= s U12+ q U22+ U32− Ωr 2 . (3.28) Détermination de α
L’angle de calage β est connu : c’est la somme du twist χ de la pale et du pitch ξ fixé. De plus, grâce aux relations trigonométriques, nous pouvons donner une expression de l’angle ϕ. Nous avons alors :
α = ϕ − β = tan−1 U X Uθ − χ − ξ . (3.29)
Détermination des efforts dans le repère élément
L’angle d’attaque α permet de connaître les coefficients de portance CL et de traînée CD tabulés (pour un nombre de Reynolds donné, défini plus tard). Nous pouvons alors exprimer, grâce à la théorie de l’élément de pale, l’effort de traînée−−→dFD (qui s’oppose à la vitesse relative) et de portance −−→dFL (perpendiculaire à la vitesse relative) d’une section de surface portante S :
𝒆𝒙𝒄𝒚𝒍 𝒆𝒕𝒄𝒚𝒍 𝑼𝒓𝒆𝒍 𝜑 Plan de rotation 𝒅𝑭𝑫 𝒅𝑭𝑳 𝒅𝑭 dFL= 1 2CLρSU 2 rel dFD = 1 2CDρSU 2 rel. (3.30)
En considérant que la section est de longueur dr et de corde c, nous avons S = cdr. Détermination des efforts dans le repère cylindrique
En passant dans le repère cylindrique, décalé d’un angle ϕ, nous pouvons exprimer l’effort normal dFXCyl et tangentiel dFθCyl :
𝒆𝒙𝒄𝒚𝒍 𝒆𝒕𝒄𝒚𝒍 𝑼𝒓𝒆𝒍 𝜑 Plan de rotation 𝒅𝑭𝑵𝑪𝒚𝒍 𝒅𝑭 𝒅𝑭𝑻𝑪𝒚𝒍
dFNCyl = dFLcos(ϕ) + dFDsin(ϕ),
dFTCyl = dFLsin(ϕ) − dFDcos(ϕ). (3.31)
Détermination des efforts dans le repère global
En passant dans le repère global, en notant θ l’azimut de la pale (où l’angle 0◦ désigne une position verticale haute), nous pouvons exprimer les efforts tels que :
dFxg = dFNCyl, dFyg = −dFTCylcos(θ), dFzg = −dFTCylsin(θ). (3.32) Discrétisation du disque
Les sections, en mouvement relatif par rapport au vent, sont soumises à des forces portantes, qui dépendent de la circulation autour du profil. La variation de circulation le long de la pale conduit à la formation de tourbillons qui s’en échappent, notamment en pied et bout de pale, où ils sont les plus importants. Ainsi, l’écoulement relatif qui attaque la section étudiée devrait prendre en compte les vitesses induites par ces tourbillons détachés.
L’évaluation de ce phénomène reste complexe, du fait de la périodicité de l’écoulement causée par le nombre fini de pales. Pour palier cette difficulté, un écoulement moyen est considéré sur un disque dessiné par une infinité de pales. Cela équivaut alors à supposer qu’il est possible de remplacer l’effort de traction et de couple, normalement exercé sur un ensemble fini de sections de pale, par une “répartition uniforme de la traction et du couple sur toute la circonférence du cercle de même rayon” [Glauert and Tenot,1947].
L’éolien et sa modélisation
Fig. 3.15 : Discrétisation physique de l’ADR
Découpons le disque en éléments annulaires d’arc ∆θ et d’épaisseur dr, comme l’illustre la figure 3.15.Glauert and Tenot [1947] invitent donc à considérer que l’effort total appliqué par un anneau complet (pas encore découpé) de surface 2πrdr, est le produit de la force élémentaire d’une section 2D (portance ou traînée) par le nombre de pale Npales= 3. Dès lors, l’expression de l’effort de l’ensemble des sections de pales contenues dans un anneau, appliqué par un élément annulaire de surface r∆θdr, est donnée en ramenant la surface portante S à la surface apparente
Sapp telle que :
Sapp= NpalesS
r∆θdr
2πrdr = Npales
cdr∆θ
2π . (3.33)
Expression finale des efforts
Nous obtenons finalement l’expression des efforts de l’Actuator Disk Rotatif, appliqué par chaque élément annulaire dans le repère global :
dFxg = 1 2ρSappU 2
rel[CLcos(ϕ) + CDsin(ϕ)] ,
dFyg = 1
2ρSappU
2
rel[CLsin(ϕ) − CDcos(ϕ)] cos(θ),
dFzg = 1
2ρSappU
2
rel[CLsin(ϕ) − CDcos(ϕ)] sin(θ).
(3.34)
Ces efforts dépendent alors de la surface apparente du disque, de la vitesse relative, et des angles géométriques. Les coefficients de portance CL et de traînée CD sont connus à partir du couple (α, Re) et des données d’entrée.