Mise en place des simulations

2-1- P i ipe de i i isatio de l e gie des i te fa es ... 94 2-1-2 Extension aux problèmes de capillarité ... 95

2-2 Hypothèses de simulation ... 95

2-3 Les modes de déplacements ... 97

2-3-1 Translation horizontale (shift) ... 98 2-3-2 Translation verticale (lift) ... 100 2-3- ‘otatio d a e e ti al t ist ... 101 2-3- ‘otatio d a e ho izo tal tilt/ oll ... 102 2-3-6 Les modes couplés ... 104

2-4 Simulation du débordement ...

105

2-5 _{Mod le a e p ise e o pte de l tale e t et a o he de la goutte}

... 106 2-5-1 Implémentation du modèle numérique ... 106 2-5- A al se de la a iatio d e gie du s st e ... 107 2-5-3 Analyse du comportement « dynamique » de la puce ... 107 2-5-4 Simulations des défauts de mouillabilité ... 109

2-5- _{Co pa aiso e t e si ulatio et o se atio e p i e tale d u p o essus d auto-} alignement ... 110

2-6 Bilan des simulations

... 111

3) _G

_{alisatio de l tude à des formes de puces variables ... 111}

3-1 Généralisation du principe d_{alig e e t à différents polygones pour la translation}

111

83

3-1-2 Cas des polygones réguliers convexes ... 114 3-1-3 Cas des polygones réguliers non convexes ... 116 3-1-4 Calcul des forces de rappel pour les forts désalignementsen fonction de la direction de translation ... 117

3-2 Comparaison avec les simulations Surface Evolver

... 118 3-2-1 Energie et forces de rappel en fonction de la forme ... 119 3-2-2 Impact de la direction de translation ... 120 3-2-3 Application sur des structures avec cavités ... 121

3-3- Généralisation du principe _{d alig e e t à diff e ts pol go es pou la t a slatio}

verticale

... 124

3-4- Généralisation du principe _{d alig e e t à diff e ts pol go es pou la otatio}

.... 124

4) Récapitulatifs et conclusion ... 125

Glossaire ... 129

84

1) Principes physiques de base – Energie et Tension de surface

Le premier mécanisme de base à comprendre est celui basé sur la notion de tension de surface. Cette notion découle directement des travaux menés par Gibbs [Gibbs 1961] et repris par Rowlinson [Rowlinson 1982] et De Gennes [De Gennes 1985].

1-1 Principes physiques appliqués à une goutte

1-1-1 Tension et énergie de surface

La tension de surface, également nommée tension superficielle ou encore énergie de surface, est à l o igi e de o eu ph o es apillai es o ip se ts à l helle illi t i ue. O peut à tit e d e e ple ite la oales e e des gouttes ou e o e l i p g atio des at iau po eu . Les molé ules d u e phase o de sée (solide ou liquide) sont en effet soumises à des forces cohésives avec leurs voisines. Créer une interface revient donc à perdre une partie de cette énergie de cohésion. Cette énergie à payer correspond à _{l énergie de surface notée} . Cette énergie est alors propo _{tio elle à l ai e de l i te fa e A et à un coefficient dénommé tension de surface [}3.01] :

[3.01]

La tension de surface correspond à une e gie pa u it de su fa e et s e p i e e J. -2

“i l o o sid e u goutte su u e su fa e pla e, o se retrouve alors avec la présence de trois phases distinctes (liquide, air, solide) comme le présente la figure (3.01). Trois tensions de surface, liées aux différentes interfaces entre les phases, peuvent être considérées : (solide-liquide), (liquide-gaz) et (solide-gaz). Le point reliant les trois phases entre-elles est nommé la ligne triple ou encore la ligne de contact. L a gle ue fo e la goutte a e la su fa e est ua t à lui o angle de contact.

Figure 3.01 : Représentation des tensions de surfaces des différentes interfaces pou u e goutte à l’ uili e.

L uatio de You g [Young 1805] fournie u e elatio e t e l a gle de o ta t de la goutte à l uili e ) et la tension de surface de chaque interface [3.02] :

[3.02]

L uatio de You g peut da s e as-là être interprétée comme un équilibre mécanique de la ligne triple. La tension de surface est alors équivalente à une force par unité de longueur agissant sur la lig e t iple et s e p i e alo s e N.m.

Il e iste d aut es faço s d i te p te la loi de You g et le ph o e de te sio de su fa e. D u point de vue thermodynamique, la tension de surface peut être vue comme la somme des forces ol ulai es et peut t e d fi i o e l e gie de Gibbs (G pa u it de su fa e d u e i te fa e

séparant 2 phases [Toshev 2006] ; “i l o se pla e du poi t de ue de la a i ue, la te sio de surface peut être vue comme la résultante des forces normales par unité de longueur le long de

85

l i te fa e. Ces fo es p e e t leu sou e da s le st esse a isot ope au oisi age de l i te fa e [Kirkwood 1949].

1-2 Les méthodes de confinements _{– Obtention de surfaces hydrophobes}

Nous allons maintenant regarder comment les spécificités des surfaces (rugosité, topologie, affinité hi i ue de la su fa e a e l eau,… i pa te t le o po te e t de la goutte et o e t o sid e ces interactions dans un modèle analytique.

Comme le phénomène de force capillaire que nous souhaitons modéliser repose en grande partie sur des mécanismes de confinement, il est essentiel de comprendre comment se comporte une goutte e p se e d u e dis o ti uit de su fa e. Pa le te e « discontinuité », on entend un changement de propriétés (physiques ou chimiques) e t e e t lo alis da s l espa e et s effe tua t de a i e uasi-i sta ta e da s l espa e. Il e iste deu t pes de dis o ti uit s ue l o diff e tie pa leu atu e ph si ue ou hi i ue .

1-2-1 Topologie et contraste de mouillabilité

Le premier type de discontinuité est assimilé à une variation physique de la su fa e, est e ue l o o e da s la suite u e dis o ti uit e pa « topologie ». Dans le cas le plus courant il peut s agi d u e a he, d u e o d, d u t ou ou d u e variation abrupte de la planéité de la surface [Leger 1992], [Ondarçuhu 2005], [Mastrangeli 2010]. Les mécanismes mis en jeu lorsque la goutte arrive à proximité de ce type de discontinuité seront explicités par la suite (1-2-1a).

Le deuxième type de discontinuité est assimilé à une variation chimique de la su fa e, est e ue l o o e a da s la suite u e dis o ti uit pa « contraste de mouillabilité ». Il s agit d u e odifi atio de l affi it de la su fa e a e l eau. L affi it de la su fa e a e l eau est a a t is e pa l a gle ue fo e la goutte a e la su fa e, o o e et a gle l a gle de o ta t (figure 3.02).

Figure. 3.02 : Schéma représentant l’a gle de o ta t d’u e goutte su u e su fa e ho og e et lisse pou différentes valeurs d’a gle de o ta t.

Lorsque la goutte présente un angle de contact inférieur à 90°, la surface est dite hydrophile. Par oppositio lo s ue l a gle de o ta t est sup ieu à °, la su fa e est dite h d opho e. La otio de contraste de mouillabilité découle de la juxtaposition de zones présentant des affinités différentes a e l eau.

a) Les forces capillaires

Il est nécessaire dans un premier temps de comprendre quelles sont les forces misent en jeu lors de l i te a tio e t e u e goutte et u e su fa e. A l helle de la goutte, la fo e p do i a te est la force capillaire exercée sur la ligne triple (ligne reliant les trois phases : liquide-solide-gazeux). Cette

86

fo e s e e ça t sui a t la o ale e t ieu e à la lig e t iple, Il est possi le d e p i e la fo e sulta te e i t g a t l e se le des fo es pa u it de lo gueu de la lig e t iple, o pa le alors de force linéique. La force capillaire linéique exercée sur une ligne triple s e p i e via la relation de Young :

fcosn [3.03]

Où n est la normale à la ligne triple et . Cette force linéique est orientée suivant la

normale extérieure, comme le montre la figure (3.03) ci-dessous.



n

f



_LGcos







dl

Figure 3.03 : Vue s h ati ue d’u e lig e t iple et de la fo e li i ue apillai e.

La force capillaire totale dans une direction donnée est donc l i t g ale des p oje tio s de la fo e capillaire linéique. Pour une ligne triple schématisée sur la figue (3.03), la force capillaire totale est donc : F



fdl



ndl     cos [3.04]

La résultante dans une direction donnée, par exemple la direction x, est donc donnée par la projection suivant le vecteur

i

d a e de [3.04] et s it :

F_x



fdl .i



f.idl



cos n.idl             [3.05]

La figure (3.04) présente la projection des forces linéique dans une direction pour un segment de la ligne triple.

87

L uatio [3.05] se simplifie en considérant la projection de la normale locale sur la direction x :









       e x nidl nidl dl dl F 0 ' cos cos cos . cos . cos           [3.06]

Et on obtient le résultat suivant :

F_x e



cos



[3.07]

Cette dernière équation montre que la résultante de la force sur une ligne triple dans une direction donnée ne dépend pas de la forme de la ligne triple, mais uniquement de la distance entre les deux extrémités de la ligne suivant la normale à la direction de projection [Berthier 2012].

b) Confinement par topologie

Co sid o s ai te a t l tale e t d u e goutte su u e su fa e lisse et hi i ue e t ho og e. A l tat d uili e, l i te fa e li uide, fo e du o tou et de la su fa e de la goutte, forme un cercle parfait su la su fa e. “upposo s ai te a t la p se e d u e dis o ti uit physique au sein de la surface. Cette discontinuité a pour effet de modifier localement la forme de la lig e t iple, et pa o s ue e la fo e de l i te fa e li uide. Le o fi e e t pa topologie est basé su l utilisatio de ette d fo atio de la lig e t iple pou lo alise et ai te i spatiale e t la goutte à un endroit prédéfini.

Le confinement par topologie est basé sur le phénomène de canthotaxis [Ondarçuhu 1995]; [Langbein 2002]; [Berthier 2010], et les forces mises en jeu sont localisées au niveau de la ligne triple (figure 3.05 . La uptu e a upte de la su fa e, li e à la p se e d u e a he, e ge d e u changement de milieu. Lorsque la ligne triple arrive au niveau de la ma he, elle passe d u ilieu solide la su fa e à u ilieu gazeu l ai .

Figure 3.05 : “ h a illust a t la diff e e de ilieu ue pa la goutte e p se e d’u e dis o ti uit pa

topologie. Le poi t ouge ote l’a a e e t de la lig e t iple lo s de l’ tale e t ou du d pla e e t de l’i te fa e fluide.

Il est possible via la relation de Young [3.02] d e t ai e u e o ditio d a age de la lig e t iple su la dis o ti uit . Lo s ue l o o sid e u e i te fa e fluide en déplacement ui s appuie sur une ligne triple, l a gle de o ta t est d fi i pa deu a gles espe ti e e t o a gle d a a e )

88

et angle de retrait (R), suivant que la ligne triple avance ou au contraire recule. Dans le cas de notre

étude, seul les phénomènes d tale e t ous i t esse t, la lig e t iple e peut pas e ule . Afi de simplifier—sans affecter le raisonnement—nous allons considérer que l a gle d a a e ) est égal à un angle statique noté .

Qua d la lig e t iple attei t l a te, elle s i obilise temporairement ou définitivement, on parle alo s d a age de la lig e t iple figu e 3.06).L i te fa e este a e su l a te aussi lo gte ps ue l a gle de o ta t e d passe pas la aleu , où est l a gle des deu pla s de pa t et d aut e de l a te.

Figure 3.06 : A age d’u li uide su u e dis o ti uit : l’i te fa e este a e ta t ue l’a gle de o ta t _

est da s l’i te alle d fi ie pa l’a gle de You g _ et la valeur Au-delà de ette aleu , l’i te fa e se

déplace sur le solide au-delà de l’a gle et le li uide o ti ue sa progression.

La condition pour avoir ancrage est donc :



[3.08]

Où est l a gle e t e l i te fa e et la su fa e pla e. “i les deu pla s de pa t et d aut e de l a te, ont une chimie de surface différente, et si les angles de contact de Young sont notés _and la

o ditio d a age de ie t :

1 2 [3.09] Les intervalles définis dans les inégalités [3.08] ou [3.09] réfèrent au phénomène de canthotaxis. Un aiso e e t si ple as su l uatio de You g pe et d e pli ue le ph o e de a thota is. Co sid o s l i te fa e p se ta t u a gle  “i l a age est o pu, l interface se décale de l a te figure 3.07). La résultante des forces capillaires sur le plan où se situe la ligne triple est alors :

F_x _SG_SL_LGcos [3.10]

E faisa t appel à la loi d You g, la sulta te Fx est alors :

89

Quand> , la résultante Fxest di ig e e s l a te, et la lig e t iple ejoi t l a te. I e se e t, quand < , la résultante Fxest di ig e da s la di e tio oppos e à l a te et l a age est pe du : la lig e t iple uitte le oisi age de l a te.

Figure 3.07 : Schéma des fo es agissa t su l’i te fa e ua d elle- i est l g e e t d al e de l’a te. Pour> , la résultante Fx est dirigée dans la direction opposée à l’a te, et l’a age est pe du. Le fluide

mouille au-delà de la discontinuité.

c) Confinement par contraste de mouillabilité

Regardons maintenant le phénomène de confinement obtenu en utilisant une surface présentant des zones hétérogènes en termes de chimie de surface (i.e. des zones hydrophiles juxtaposées avec des zones hydrophobes).

U e faço si ple d e t ai e u e o ditio de o fi e e t o siste à utilise la o ditio [3.09] o te u da s la pa tie p de te et à o sid e ue l a gle α (angle entre les deux plans) est égal à 0 (figure 3.08). On obtient alors la condition suivante pour avoir un ancrage :



₁ 







₂ [3.12]

Conclusion:

 Il est do possi le d e t ai e des o ditio s, [3.08] et [3.09], représentant le phénomène d a age dû à la p se e d u e topologie. L o je tif ta t d o te i le o fi e e t de la goutte, il appa ait esse tiel ue l a gle e t e la su fa e et le fla de la marche (α soit le plus g a d possi le. U e solutio alte ati e o siste ait à odifie lo ale e t l a gle de o ta t du flanc de la marche (_ da s l uatio [3.09].

 Il est i po ta t de appele ue es o ditio s so t do es pou l a age d u e goutte seule o o t ai te. Da s l appli atio ue ous iso s, l i te fa e li e devra supporter la présence et le poids de la puce supérieure, ce qui aura pour effet de déformer le ménisque de la goutte.

90

Figure 3.08: A age d’u li uide sur une discontinuité chimique: la ligne triple este a e ta t ue l’a gle

de contact est da s l’i te alle défini par l’a gle de You g _ et l’a gle de You g _{}Au-delà de cette valeur,

l’i te fa e fluide se déplace sur le solide au-delà de la zone de contraste et le liquide continue sa progression.Il

est ide t ue ette o ditio d’a age ’est ai ue si 

1-2-2 Les états de Cassie / Wenzel

Co e ous e o s de le oi , les o ditio s d a age so t fo te e t o l es à la diff e e d a gle de o ta t e t e les zo es où l o souhaite o se e la goutte et les zo es où l o souhaite « interdire » sa présence. Il est donc important de chercher à obtenir entre ces deux zones un

o t aste de ouilla ilit a e l eau le plus g a d possi le.

De nombreuses études ont été menées sur l o te tio de su fa es p se ta t des a a t es super-hydrophobe ou super-hydrophile [Zhang 2012], [Kulkarni 2007]. La création de surfaces super- h d opho es, s appuie su le ph o e de st u tu atio de su fa e. L a gle de o ta t ta t modifié par la ugosit de la su fa e, l appli atio d u e te tu e o t ôl e ou a o phe te d généralement à rendre une surface intrinsèquement hydrophobe encore plus hydrophobe. Deux od les e de t o pte de ette aug e tatio de l a gle de o ta t : le modèle de Cassie et le modèle de Wenzel.

a) Le modèle de Wenzel

Dans le modèle de Wenzel [Wenzel 1936], on suppose que la goutte va épouser la rugosité de la surface (figure 3.09. O lo s ue l o g e de la ugosit , o aug e te pa e iais l ai e de o ta t liquide-solide de la surface. On distingue alors la surface apparente du solide de la surface réelle, et on nomme « R » le rapport entre ces deux surfaces [3.13].

 1 Appa r ente Réelle S S R [3.13] Du point de vue des énergies de surface, cela revient à considérer que les énergies des interfaces solide-vapeur et solide-liquide sont R_SG et R_SL et non plus _SG et _SL o e est le as pou la surface intrinsèque. E s appu a t su e aiso e e t, ous pou o s di e :

91

Avec θ∗

_,

_{l a gle de o ta t appa e t, θ l a gle de o ta t el et ‘ le appo t e t e la su fa e elle} et la surface apparente.

Figure 3.09 : Illust atio de l’ tat de We zel- L’i te fa e li uide-solide de la goutte suit la rugosité de surface.

Bie ue e od le e d ie o pte de l aug e tatio de l a gle de o ta t θ∗_{> θ) pour θ>90°,} son application demeure problématique dans certains cas. Suivant le type de surface mise en jeu, da s le as d u e su fa e p se ta t u e t s fo te ugosit pa e e ple, e od le p oit la possibilité d i dui e des t a sitio s e s des tats supe h d opho es, oi des ph o es de démouillage complet de la surface (θ∗_>180°).

b) Le modèle de Cassie

Un deuxième modèle a été établit en 1944 par Cassie [Cassie 1944]. Ce modèle suppose que le fluide pouse pas totale e t la ugosit de la su fa e, ais u il epose su le so et des aspérités de surface (figure 3.10). On peut alors calculer la fraction de la surface en contact avec le fluide, notée



S. O suppose ue le este de la su fa e du fluide est e o ta t a e l ai θair = 180°). E po d a t ha ue f a tio de la su fa e a e l a gle de o ta t ui lui o espo d, o o tie t la relation suivante :







_S

cos(1

_S

)

[3.15]

Figure 3.10 : Illust atio de l’ tat de Cassie- L’i te fa e liquide-solide de la goutte ne suit pas la rugosité de

surface.

Cette relation est différente d_{e elle de We zel a si l aug e tatio de l a gle de o ta t} apparent est bien observé θ∗ > θ), on voit que la valeur ultime θ∗ _{= 180° ne peut être atteinte, à} cause de la fraction solide supportant la goutte.

c) Bilan

Ces deu od les o espo de t à deu tats diff e ts ue l o i age ette e t lo s ue l o t a e la o espo da e e t e la aleu de l a ge appa e t e fo tio de l a gle el pou les deu modèles (figure 3.11. Il e iste u e zo e da s la uelle l tat de Cassie est métastable (trait en pointillé) [Quéré 2005].

92

Figure 3.11 : Somme des états super-hydrophobes suivant le modèle de Cassie et le modèle de Wenzel [Quéré2005].

Comme nous allons le voir dans le chapitre IV, les surfaces que nous allons utiliser dans les expérimentations présentent un angle de contact très faibles (<5°) et une surface la plus lisse possible (rugosité RMS < 0.5 nm). Nous avons donc un rapport entre la surface réelle et la surface apparente (R) très proche de 1, ce qui induit de se placer dans un état de Wenzel.

Il est pas essai e d alle plus loi da s les d eloppe e ts th o i ues car notre objectif ici était de o p e d e su uels a is es epose l effet d auto-alignement (mécanismes d a o he . Les tudes su le comportement micro-fluide couvrant un large spectre de phénomènes p se t à des helles ultiples alla t du a o t e à l helle a os opi ue , il est diffi ile d t e exhaustif.

Il se ait i t essa t de pousse l tude à la o p he sio et à la prise en compte des phénomènes sp ifi ue e t li s au d pla e e t de la lig e t iple à l helle ato i ue, o e pa e e ple les effets de films précurseurs [Snoeijer 2008], [De Gennes 1985], [Deegan 1997], [Snoeijer & Eggers 2010]. L a gle de o ta t a oscopique est en effet déterminé par des mécanismes présents à l helle ato i ue figu e 3.12).

Figure 3.12 : P ofile de l’i te fa e fluide h lo s du d pla e e t de la lig e t iple su u su st at pla .

L’i te fa e à p o i it de la lig e de o ta t ta t i u e, l’a gle de o ta t appa e t à l’ helle

macroscopique θap est eau oup plus le ue l’a gle de contact réel θe p op e à l’ helle a o t i ue. Entre

ces deux échelles, le comportement du fluide est régi par les effets de viscosité et de tension de surface. [Bonn 2009]

93

U e aut e app o he pe etta t la o p he sio des ph o es à l helle ato i ue est la théorie cinétique moléculaire (MKT en anglais pour « Molecular Kinetics Theory »). Ce domaine de recherche cible la modélisation du comportement fluidique à partir des molécules constituant le dit fluide. Le déplacement de la ligne triple est alors considéré comme un processus activé thermiquement (par les fluctuations thermiques).On peut notamment citer les travaux de Black sur ce sujet [Blake 2006], [Blake & De Coninck 2011].

2) Mise en place des simulations

Dans cette partie nous allons a o de la ise e pla e des si ulatio s de l auto-asse lage. L outil permettant la réalisation de ces simulations étant déjà identifié dans le cadre de travaux précédents (Thèse F. Grossi), nous allons voir comment il est possible de compléter les études menées au p ala le et da s uelle esu e il est possi le d i pl e te de ou eau ph o es afi de se

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