Redondance des résultats

Dans l’étape de renforcement d’hypothèses, de nouvelles hypothèses peuvent être créées depuis une même hypothèse générée à l’étape précédente, en fonction des courbes image ajoutées. Nous posons la propriété suivante : si à une hypothèsehest ajouté une courbeapuis une courbebl’hypothèse obtenue est identique à celle obtenue à partir deha qui nous ajoutonsbpuisa. De ce fait, nous pouvons observer une redondance dans les résultats obtenus selon le moyen utilisé pour ajouter des courbes à une hypothèse.

Actuellement, deux approches ont été prises en compte lors de l’ajout, à une hypothèse h, d’une nouvelle courbe issu d’un ensemble de courbesE.

La première, prend les nouvelles courbes une par une. Elle ajoute une de ces courbes à l’hypothèseh générant du même coup une nouvelle hypothèseh⁰(sih⁰est viable). Ainsi, si nous disposons d’un ensemble Ede taille nde courbes candidates, nous pouvons avoirnnouvelles hypothèsesh⁰, toutes se basant surh.

Ensuite, chaque nouvelle hypothèse va, à nouveau, considérer son voisinage, en extraire le nouvel ensemble E⁰ de courbes à ajouter (avecE⁰ pouvant être égal àE), et réitérer l’étape de renforcement d’hypothèses.

Nous générons, alors, comme un arbre d’hypothèses à partir de h de toutes les combinaisons obtenues à partir deE. Carhgénèreh⁰₁,h⁰₂,etc.avec chaque courbe deE puis pour chaqueh⁰ nous réitérons avecE⁰ ce qui nous donne desh⁰⁰, nous obtenons, ainsi un arbre d’hypothèses. Mais nous générons aussi beaucoup de doublons car, par exemple, nous allons générer une hypothèse pour l’ensemble de courbes{1,2,3}mais aussi pour l’ensemble{3,2,1}. Le résultat de la méthode avec les courbes illustrées par la figure 4.8.a est présenté sur la figure4.9.

La deuxième méthode, ajoute la première courbe bez de l’ensembleE⁰ àh(avec E⁰ initialisé à E) et si l’hypothèse est viable, recommence ce cycle d’ajout en sélectionnant la première courbe deE⁰ avec E⁰ =E⁰− {bez}jusqu’à ce queE⁰soit vide (i.e.nous avons obtenu une feuille de l’arbre dont l’hypothèse est valide) ou bien que l’hypothèse générée ne soit pas viable. Lorsque que l’hypothèse générée n’est pas viable ou queE⁰est vide, nous remontons dans l’arbre des hypothèses jusqu’à la dernière hypothèse générée viable et continuons le procédé avec leE⁰ utilisé par cette dernière hypothèse viable. Et nous supprimons deE⁰ l’élémentbezà l’origine de notre sous-arbre (E⁰=E⁰− {bez}). Les résultats de la méthode avec les

courbes illustrées par les figures4.8.a,b,c sont présentés sur les figure4.10,4.11et4.12.

Les résultats des deux méthodes sont présentés sur les figures 4.8 à 4.12. La figure 4.8 illustre les configurations de courbes utilisées. Sur cette figure, les courbes du haut sont celles qui ont permis la géné-ration de la première hypothèse (cf. section 4.1), de plus, deux modèles de feuille différents peuvent être adaptés selon les courbes image choisies (en pointillés sur la figure 4.8.a). La notation employée dans les nœuds des arbres est la suivante :

{courbes employées dans l’hypothèse}{courbes restantes}

a)

2 1

5

3 4

b)

1 2

5

3 4

c)

3 1

4

2 5

FIG. 4.8 – Courbes testées avec les deux méthodes.À gauche, les objets feuille que nous pouvons extraire avec ces courbes. a), b) et c) Figures servant de support aux graphes, les courbes sont les mêmes, seul change l’ordre d’ajout dans l’hypothèse. Les courbes du haut (traits continus) initialisent l’hypothèse.

4.2.4.1 Méthode gloutonne

Le premier arbre (cf. figure4.9) n’est représenté que partiellement car il est trop grand et qu’une partie permet de représenter les désavantages de la première méthode. En effet, cette méthode génère beaucoup de doublons car il n’y a pas une mémoire de ce qui a déjà été traité. De plus, le parcours de l’arbre se faisant en largeur, nous allons aussi bien tester l’hypothèse{1,2,3}{4,5}que{3,1,2}{4,5}, alors qu’elles représentent le même objet. Ces désavantages sont compensés dans la deuxième méthode en ordonnant les courbes et ainsi, en conservant une mémoire du travail déjà effectué.

4.2.4.2 Méthode ordonnée

Les trois autres arbres représentent les différents résultats obtenus par la deuxième méthode appliquée sur les trois configurations de courbes (figures 4.8.a, b et c). Sur l’arbre illustré en figure 4.10, les cadres, utilisant le même type de pointillé, représentent les schémas dans l’arbre qui se répètent. Il découle de l’observation de ces cadres semblables que :

• l’ensemble de courbes employées pour générer les hypothèses d’un cadre à droite est un sous-ensemble ayant servi pour son semblable à gauche (i.e.E_d ⊂E_g,E_detE_gdésignent les ensembles utilisés pour générer le cadre dedroite et degauche).

• un cadre de droite est un ‘oncle’ du cadre de gauche.

De ces observations nous pouvons éviter la génération de doublons en limitant l’exploration de cer-taines branches de l’arbre si nous détectons une branche similaire déjà calculée. En effet, siEd ⊂ Eg,i.e.

{2,3}{F} ⊂ {1,2,3}{F}, alors nous pouvons dire que l’hypothèseh_d issues deE_d est, au moins, aussi bonne que l’hypothèse hg issue deEg. Car, cette méthode, de par le fait qu’elle retire progressivement les courbes du même ensemble, génère un type d’ordre sur ces courbes et évite, ainsi, d’explorer les mêmes hypothèses. Ainsi, siE_d ⊂ E_g,h_d eth_g sont valides, alorsh_d est moins contrainte que h_g et, donc, a au moins un meilleur score. De ce fait, il ne sera pas utile de générerhd.

De plus, si hg n’est pas valide mais que hd est valide (ou vice-versa), alors les sous-arbres sont différents et il nous faudra continuer l’exploration du sous-arbre de droite. Et, nous pouvons remarquer une dernière propriété intéressante : si la branche la plus à gauche issue deEd est similaire à la branche la plus à gauche issue deEg, alors le sous-arbre issus deE_dest similaire à celui issu deEget les frères deE_dsont similaires à ceux deE_g. L’exploration deE_det de ses frères n’est plus nécessaire. Par exemple, sur la figure 4.11, seules les hypothèses{1,2,5}{φ}et{2,3,4,5}{φ} ont besoin d’être générées, toutes les autres sont des copies de l’une de ces deux hypothèses.

Les trois arbres illustrés sur les figure4.10,4.11et4.12sont obtenus à partir du même jeu de courbes, seul l’ordre est différent. Il est intéressant d’observer que les résultats ne sont pas les même d’un ordre à l’autre et que l’arbre de la figure 4.11 permet d’éviter l’exploration d’une bonne partie de l’arbre (i.e.le sous-arbre issu de la courbe 1 est suffisant) alors que, sur la figure 4.10, l’exploration du sous-arbre issu de la courbe 1 n’empêche pas l’exploration du reste. Ainsi, il serait intéressant de pouvoir déterminer un critère permettant de calculer l’ordre limitant, au maximum, les explorations dans l’arbre. Néanmoins, ce critère peut être difficilement réalisable car il nécessite de connaître, à l’avance, le résultat de l’exploration des sous-arbres pour déterminer le meilleur ordre. L’ordre utilisé actuellement est celui issu de l’ordre de construction des courbes et du graphe de distance.

{1}{2,3,4,5}{2}{1,3,4,5}{3}{1,2,4,5}{4}{1,2,3,5}{5}{1,2,3,4} {1,2}{3,4,5}{1,3}{2,4,5}{1,4}{2,3,5}{1,5}{2,3,4} {1,2,3}{4,5}{1,2,4}{3,5}{1,2,5}{3,4} {1,2,5,3}{4}{1,2,5,4}{3}

{1,3,2}{4,5}{1,3,4}{2,5}{1,3,5}{2,4} {1,3,4,2}{5}{1,3,4,5}{2}{1,3,5,2}{4}{1,3,5,4}{2}

{1,4,2}{3,5}{1,4,3}{2,5}{1,4,5}{2,3} {1,4,3,2}{5}{1,4,3,5}{2}{1,4,5,2}{3}{1,4,5,3}{2} } {1,5,2}{3,4}{1,5,3}{2,4}{1,5,4}{2,3} {1,5,2,3}{4}{1,5,2,4}{3}{1,5,3,2}{4}{1,5,3,4}{2}{1,5,4,2}{3}{1,5,4,3}{2}

............PSfragreplacements

{φ}{1,2,3,4,5} {1,3,4,5,2}{φ}{1,3,5,4,2}{φ}{1,4,3,5,2}{φ}{1,4,5,3,2}{φ}{1,5,3,4,2}{φ}{1,5,4,3,2}{φ} ×

× ×

××× ×

× ×

×

× ×

× ×

×

× ××

×× FIG.4.9–Arbredeshypothèsesgénérées:aveclescourbesdelafigure4.8.aselonlapremièreméthode.Lesnœudscolorésontgénéréunbonrésultat. {1}{2,3,4,5}{2}{3,4,5}{3}{4,5}{4}{5} {1,2}{3,4,5}{1,3}{4,5}{1,4}{5} {1,2,3}{4,5}{1,2,4}{5}{1,3,4}{5}

{2,3}{4,5}{2,4}{5}{3,4}{5}

PSfragreplacements{φ}{1,2,3,4,5} {1,2,5}{φ} {1,3,4,5}{φ}

{1,3,5}{φ}{1,4,5}{φ}

{1,5}{φ}{2,5}{φ} {3,4,5}{φ}

{3,5}{φ}{4,5}{φ}

{5}{φ} √ √√ √

√√ √√ √

√

×× ×× FIG.4.10–Arbredeshypothèsesgénérées:aveclescourbesdelafigure4.8.aselonladeuxièmeméthode.

{1}{2,3,4,5}{2}{3,4,5}{3}{4,5}{4}{5} {1,2}{3,4,5}{1,3}{4,5}{1,4}{5} {1,2,3}{4,5}{1,2,4}{5}

{2,3}{4,5}{2,4}{5} {2,3,4}{5}

{3,4}{5}

PSfragreplacements {φ}{1,2,3,4,5} {1,2,5}{φ}

{1,3,4,5}{φ} {1,3,5}{φ} {1,4,5}{φ} {1,5}{φ}{2,5}{φ} {2,3,4,5}{φ}

{2,3,5}{φ}{2,4,5}{φ}{3,4,5}{φ}

{3,5}{φ}{4,5}{φ}

{5}{φ} √ √√ √

√ √√ √

√ √

×× ×× FIG.4.11–Arbredeshypothèsesgénérées:aveclescourbesdelafigure4.8.bselonladeuxièmeméthode. {1}{2,3,4,5}{2}{3,4,5}{3}{4,5}{4}{5} {1,2}{3,4,5}{1,3}{4,5}{1,4}{5} {1,2,3}{4,5}{1,2,4}{5}{1,3,4}{5}

{2,3}{4,5}{2,4}{5}{3,4}{5}

PSfragreplacements {φ}{1,2,3,4,5} {1,2,5}{φ} {1,2,4,5}{φ}{1,3,4,5}{φ}

{1,3,5}{φ}{1,4,5}{φ}

{1,5}{φ}{2,5}{φ} {2,4,5}{φ}{3,4,5}{φ}

{3,5}{φ}{4,5}{φ}

{5}{φ} √ √√ √

√ √√ √

×

×× ×

×× FIG.4.12–Arbredeshypothèsesgénérées:aveclescourbesdelafigure4.8.cselonladeuxièmeméthode.