Mise en œuvre

Le tourbillon gaussien est un mod`ele de vortex bien connu th´eoriquement.

Notamment, si l’on rajoute la condition de diffusion visqueuse du rayon pr´esent´ee

§1.2.2, le mod`ele ainsi cr´e´e est une solution autosimilaire des ´equations de Navier–

Stokes. En revanche, une paire de tourbillons axisym´etriques gaussiens ne satisfait pas aux ´equations de la m´ecanique des fluides, elle n’est pas solution des ´equations d’Euler. Cela est dˆu au fait que dans ce mod`ele, l’influence du premier vortex sur

l’autre n’est pas prise en compte. En effet, l’approximation des vortex ponctuels montre que chaque vortex induit un champ d’´etirement situ´e `a l’emplacement de l’autre. La cons´equence de cela est une d´eformation des vortex. Moore & Saffman (1971) ont montr´e qu’un patch de vorticit´e prenait une forme elliptique quand il

´etait plong´e dans un champ d’´etirement. Pour des profils de vorticit´e continus, le mˆeme r´esultat a ´et´e obtenu par Ting & Tung (1965) et Jim´enez, Moffatt & Vasco (1996).

De plus, la pr´esence d’un tourbillon au cœur d’un champ d’´etirement de taux Se influe directement sur la valeur du taux d’´etirement au centre du vortex Si. Pour un tourbillon de Rankine, Moore & Saffman (1971) ont montr´e queS_i = 2S_e. L’´etirement effectif au centre est donc augment´e. Des r´esultats abondant dans le mˆeme sens ont ´et´e trouv´es par Moffatt, Kida & Ohkitani (1994) pour un vortex gaussien. Ensuite, Le Diz`es & Laporte (2002) ont montr´e que la correction de l’´etirement au centre du tourbillon, pour tenir compte de la vorticit´e, ´etait un mo-teur de l’instabilit´e elliptique. Il nous est donc n´ecessaire d’´etablir un ´ecoulement tenant compte de cet aspect.

De nombreux travaux ont ´etudi´e le processus d’adaptation d’un tourbillon dans un champ d’´etirement (Bassom & Gilbert, 1999; Sipp, Jacquin & Cossu, 2000). Pour des vortex co-rotatifs, Le Diz`es & Verga (2002) ont montr´e qu’en partant d’une paire de tourbillons bidimensionnels, axisym´etriques et de profils de vorticit´e vari´es, la r´esolution des ´equations de Navier–Stokes implique une phase de relaxation rapide au cours de laquelle chaque vortex s’´equilibre avec l’autre en se d´eformant elliptiquement. Dans le rep`ere tournant, un ´etat quasi-stationnaire est ensuite atteint², qui se comporte comme une solution attractive. Ils ont trouv´e que le syst`eme de tourbillons ainsi obtenu est principalement caract´eris´e para<sub>e</sub>/b o`u a_e est le rayon de vorticit´e d´efini par l’´equation (2.50) page 36. Si la phase de relaxation d´epend du profil de vorticit´e initial, en revanche, ils montr´e que l’´etat quasi-stationnaire trouv´e est ind´ependant du mod`ele des tourbillons initiaux. Il est donc possible de l’obtenir en initialisant la simulation avec une paire de tourbillons gaussiens. Ces r´esultats ont ´et´e utilis´es avec succ`es pour les simulations num´eriques pr´esent´ees par Le Diz`es & Verga (2002) et Lacazeet al.(2007). On utilise la mˆeme m´ethode pour obtenir notre ´ecoulement final en partant de l’´ecoulement pr´esent´e dans (2.8).

Afin d’estimer l’´etat d’avancement de la phase de relaxation, on peut observer l’excentricit´e ǫ du vortex elliptique. Pour cela, on se concentre sur la partie du domaine pr´esent´e sur la figure 2.4 pour laquellex>0. On se place dans le rep`ere tournant. Le centre d’un vortex est tel que ses coordonn´ees (xc, yc) v´erifient

x_c=

On poseθ_cl’angle d’orientation de l’ellipse par rapport `a l’axe desx.θ_cest solution de l’´equation

2Le syst`eme ainsi atteint reste sujet `a une lente diffusion visqueuse

2.3. G´en´eration de l’´ecoulement de base

Fig. 2.6 – ´Evolution temporelle de l’excentricit´eǫpendant la phase de relaxation du tourbillon. On prend ici l’exemple de Re = 1400, a/b = 0.14. Le temps est adimensionn´e par le temps de diffusion visqueuse caract´eristique.

Il est alors possible de d´efinir le petit et grand rayon du vortex elliptique a_m et a_M par Ces deux rayons nous permettent alors de d´efinir l’excentricit´e ǫdu vortex ellip-tique,

ǫ= a_M −a_m

a_M +a_m. (2.34)

Au cours de l’int´egration temporelle,ǫva varier fortement au cours du temps.

On peut observer la figure 2.6 qui pr´esente l’´evolution deǫdans le temps.ǫoscille de mani`ere amortie autour d’un ´etat moyen (voir Le Diz`es & Verga, 2002) quasi-stationnaire. Quand l’amplitude de ces oscillations devient n´egligeable, on peut alors consid´erer que l’´ecoulement obtenu est solution des ´equations d’Euler. Il est alors possible de pratiquer une analyse de stabilit´e.

Pour la suite de l’´etude, on d´efinit le rayon de vorticit´ea d’apr`es la m´ethode utilis´ee par Le Diz`es & Laporte (2002) pour faciliter la comparaison des r´esultats entre les deux ´etudes. On utilise les coordonn´ees du centre du vortex (x_c, y_c) calcul´ees par les formules (2.31) pour ´evaluer la rayon agrˆace au second moment de vorticit´e : On utilise cette m´ethode pour calculer le rayonades tourbillons `a la fin de la phase de relaxation. On tient ainsi compte de l’impact de la lente diffusion visqueuse.

On v´erifie ´egalement que la distance b entre les deux vortex n’a pas ´evolu´e. Le rapport a/bainsi obtenu caract´erise le champ de base (Le Diz`es & Verga, 2002).

-x/a

y/a

2

2

5 5

0

0

(a)

-x/a

y/a

2

2

5 5

0

0

(b)

Fig. 2.7 – Iso-contours de vorticit´e correspondant `a deux ´ecoulement de base ob-tenus apr`es relaxation `a partir d’une paire de vortex gaussiens. (a)a/b= 0.14, (b) a/b= 0.18. La vorticit´e est adimensionn´ee par Γ/πa<sup>2</sup>. De l’ext´erieur vers l’int´erieur du domaine, les contours correspondent `a 0.007, 0.07, 0.4, et 0.9.