1.2 Asymptotique formelle . . . . 47 1.3 Intérêt du modèle (1.2.11)-(1.2.12) . . . . 49 1.4 Énoncé du résultat principal et schéma de la preuve . . 50 1.5 Analyse des nonlinéarités Vε et W . . . . 51 1.6 Preuve de la convergence . . . . 52 1.7 Les principales différences avec les modèles étudiés par
Cette première partie de la thèse présente différentes configurations de transport d’un gaz d’électrons confiné. Comme on l’a déjà vu, ces différentes configurations sont les suivantes : on considère tour à tour le confinement d’un gaz d’électrons dans un nanofil, puis d’un gaz d’électrons bidimensionnel soumis à un champ magnétique fort, et enfin on étudie un confinement de type "mur infini" pour un gaz bidimensionnel. On propose pour introduire cette partie un problème modèle, qui est le point de départ de cette thèse et le trait d’union entre les différentes situations de confinement étudiées par la suite.
Dans l’étude asymptotique de ce problème modèle se mettent en place la plupart des schémas de preuve et des idées-clefs utilisés dans le reste du manuscrit. On se permettra donc ici de faire appel à divers résultats démontrés dans les chapitres suivants de cette partie. En effet, on préfèrera mettre ici l’accent d’une part sur les méthodes plus que sur les résultats techniques, et d’autre part sur les différences qui apparaissent par la suite entre les différentes situations de confinement.
Le modèle présenté est tiré de l’article [3] dans lequel les auteurs proposent une hiérarchie de modèles à dimensionalité réduite pour approcher le système de Schrödinger-Poisson tridimensionnel perturbé par un potentiel de confinement fort. L’objet de ce chapitre est de présenter une stratégie générale plus systématique que celle utilisée dans [3], qui sera réutilisée pour les trois chapitres suivants. Acces-soirement, cette méthode permet une généralisation des résultats de [3], où seules des données initiales bien préparées étaient considérées. Ce chapitre introductif ne donnera pas lieu à un article à proprement parler (les preuves seront ici un peu suc-cintes, et on se donne le droit de réferrer à des résultats démontrés dans les chapitres suivants).
1.1 Mise en équation du problème physique et
re-mise à l’échelle
Le gaz d’électrons bidimensionnel est représenté ici par le couple "fonction d’onde/potentiel d’interactions électrostatique" solution du sytème de Schrödinger-Poisson 3D. Les
différentes directions de l’espace R3 jouant des rôles différents, on note x ∈ R2 la variable bidimensionnelle de transport et z ∈R la variable de confinement. Afin de modéliser le confinement dans la direction z, on perturbe le système de Schrödinger-Poisson écrit dans les variables physiques (en gras) par un potentiel de confinement fort que l’on note Vc(z). On considère dès lors le système suivant, écrit dans les variables physiques. i~∂tΨ=−~ 2 2m∆Ψ+eVc(z)Ψ+eV(x,z)Ψ, (x,z)∈R3 (1.1.1) −∆V= e ǫ0|Ψ|2, (x,z)∈R3, (1.1.2)
oùǫ0 désigne ici la permittivité du matériau dans lequel le gaz est transporté. L’équa-tion de Poisson (1.1.2) étant posée sur R3, elle peut se récrire sous la forme d’une convolution avec le noyau de Poisson et devient alors
V= e
4πǫ0
1
p
|x|2 +z2 ∗ |Ψ|2. (1.1.3) On associe à chacune des grandeurs physiques intervenant dans cette équation une grandeur sans dimension comme suit :
t= t t, x= x x, z = z z, Vc = Vc Vc , V = V V , Ψ = Ψ √ N. (1.1.4) On définit à présent deux échelles d’énergies distinctes : une énergie forte que l’on note Econf et qui correspond à l’énergie typique du confinement enz et une énergie plus faible notéeEtranspqui correspond à l’énergie du transport longitudinal enxmais aussi à celle des effets d’interaction électrostatiques. On définit alors un paramètre ε
qui mesure l’ordre de grandeur du rapport entre ces énergies. L’hypothèse principale de confinement reviendra alors à supposer ce rapport ε très petit devant 1.
ε:= Etransp Econf 1/2 ≪1. (1.1.5) On fait les hypothèses de modélisation suivantes qui permettent de définir les choix d’échelles pour les principaux phénomènes physiques auxquels sont soumis les élec-trons. On choisit d’étalonner à l’échelle d’énergieEconf l’énergie associée au potentiel de confinement et l’énergie cinétique selon la variable z :
Econf =eVc = ~
2
2mz2 (1.1.6) et on fixe à l’échelle d’énergie Etransp les énergies cinétiques selon la variable x ainsi que l’énergie associée au potentiel d’interaction électrostatique. On choisit d’adapter l’échelle de temps à cette énergie :
Etransp :=eV = ~
2
2mx2 = ~
t. (1.1.7) Il est à noter qu’un tel choix d’échelles pour les énergies intervenant dans le problème physique (1.1.6)-(1.1.7) implique aussi un rapport ε entre les directions caractéris-tiques de confinement et de transport :
ε = z
En introduisant ces variables adimensionnées dans l’équation physique de départ (1.1.1)-(1.1.2), on aboutit au système i∂tΨ = −∆xΨ− Econf Etransp ∂2 zΨ + Econf Etransp Vc(z)Ψ +VΨ, (x, z)∈R3 (1.1.8) −∆xV − EEconf transp ∂z2V = e 2x2N ǫ0Etransp|Ψ|2 (x, z)∈R3. (1.1.9) On combine alors (1.1.8)-(1.1.9) avec la définition du paramètre ε pour obtenir
i∂tΨ =−∆xΨ + 1 ε2 −∂z2+Vc(z) Ψ +VΨ, (x, z)∈R3 −∆xV −ε12∂z2V = e 2x2N ǫ0Etransp|Ψ|2 (x, z)∈R3.
On fait finalement une deuxième hypothèse de modélisation qui concerne l’ordre de grandeur physique de la densité, c’est à dire un choix d’échelle pour la grandeur N. On choisit ici de travailler dans le cadre de faibles densités, et on pose
N = ǫ0
e2xzEtrans, (1.1.10)
ce qui nous amène à considérer le système de Schrödinger-Poisson de départ suivant :
i∂tψε =−∆xψε+ 1
ε2 −∂z2+Vc(z)
ψε+Vεψε, (x, z)∈R3 (1.1.11)
−ε2∆xVε−∂z2Vε =ε|ψε|2 (x, z)∈R3. (1.1.12) De manière équivalente, la convolution (1.1.3) s’écrit alors aussi comme une convo-lution avec le noyau de Poisson modifié
Vε= 1
4π rε(x, z)∗ |ψε(t, x, z)|2 (1.1.13) où on a notérε(x, z) :=|x|2+ε2z2.
La raison d’être de l’hypothèse "faibles densités" (1.1.10) apparaît sur cette équa-tion (1.1.13). Cette hypothèse permettra d’obtenir à la limite un potentiel de Poisson enO(1), donc un modèle avec des vraies interactions électrostatiques.