4.2 Relation entre dB2W et dT2W
5.3.1 Minimisation des edST2Ws
Avant de nous intéresser à la minimisation du modèle plus général, com- mençons par la minimisation des edST2Ws, plus simple. En effet, la construc- tion d’un edST2W minimal à partir d’un edST2W revient à étudier les rela- tions d’équivalences (de Myhill-Nerode) liant ces états afin de joindre les états équivalents et produire le transducteur canonique correspondant.
Mais pour se persuader que ce transducteur canonique est l’unique edST2W minimal, il est intéressant de pointer la propriété de bi-simulation des edST2Ws, utilisée dans le reste de cette section.
Lemme 25. Considérons deux edST2Ws M = (Σ, ∆, Q, init, rul) et M′ =
(Σ, ∆, Q′, init′, rul′) définissant une même transformation τ = JM K = JM′K et
ayant comme axiomes initiaux respectifs init = u0⋅ q0⋅ u1 et init′= u′0⋅ q′0⋅ u′1.
Alors, u0 = u′0 et u1 = u′1, et pour tout p ∈ chemins(dom(T)), les deux états
q = ˆrul(q0, p) et q′= ˆrul ′
(q′
0, p) vérifient :
1. JM Kq=JM Kq′,
2. ˆrul(q, f) est défini si et seulement si ˆrul′(q′, f) l’est, pour tout f ∈ Σ,
3. si qÐ→ uf 0⋅ q1⋅ u1⋅ . . . ⋅ qk⋅ uk∈ rul et q′ f
Ð→ u′
0⋅ q1′⋅ u′1⋅ . . . ⋅ qk′ ⋅ u′k, alors ui = u′i
for 0 ≤ i ≤ k.
Preuve. Tout d’abord, il faut remarquer que pour t ∈ dom(τ) : JM K(t) = u0⋅ JM Kq0(t) ⋅ u1= u ′ 0⋅ JM′Kq′ 0(t) ⋅ u ′ 1 =JM′K(t).
Par conséquent, u0 est le préfixe de u′0 ou inversement. On suppose, sans perte
de généralité, que u0est le préfixe de u′0, i.e. u′0= u0⋅v. Si v n’est pas le mot vide
alors, par définition, il est contenu dans le préfixe commun de im(JM′K q′
0) ⋅ u
′ 1
qui, d’après (E2), est ε, donc v = ε et u0= u′0.
Il en va de même pour u1, devant être un suffixe de u′1 ou inversement.
Supposons que u1 est le suffixe de u′1, i.e. u1= v ⋅ u′1. Puisque nous savons, par
définition, que u0⋅ JM Kq0(t) ⋅ u1= u0⋅ JM
′K
q′0(t) ⋅ v ⋅ u1, et que l’on a prouvé que
u0 = u′0, v doit être un suffixe commun des productions im(JM Kq0). Sachant
que lcs(im(JM Kq0)) = ε (E1), v = ε et u1= u
′ 1.
Nous avons donc les égalités u0 = u′0, et u1 = u′1, impliquant que JM Kq0 =
JM′K q′
136 descendants d’arbres en mots Maintenant, nous allons prouver pour un chemin p∈ chemins(dom(τ)), et deux états q = ˆrul(q0, p) et q′= ˆrul(q0′, p), le fait que JM Kq =JM′Kq′ implique
que :
1. ˆrul(q, f) est défini si et seulement si ˆrul′(q′, f) l’est, et cela pour tout
f ∈ Σ, et
2. si ˆrul(q, f) = u0⋅ q1⋅ u1⋅ . . . ⋅ qk⋅ uk et ˆrul ′
(q′, f) = u′
0⋅ q′1⋅ u′1⋅ . . . ⋅ qk′ ⋅ u′k,
alors ui = u′i for 0 ≤ i ≤ k et JM Kqi =JM′Kqi′, et cela pour tout 1 ≤ i ≤ k.
La première condition découle directement de l’hypothèse d’induction, deux
transformations égales partageant un même domaine, i.e. dom(JM Kq) = dom(JM′Kq′).
La deuxième condition se prouve par induction sur i en utilisant les mêmes mécanismes que pour les axiomes. Si nous supposons pour tout 1 ≤ j < i ≤ k que uj = u′j et JM Kqj = JM
′K q′
j, nous pouvons montrer que ui = u
′
i puis que
JM Kqi+1 =JM Kqi+1′ en nous basant sur les propriétés (E1) et (E2).
Puisque JM Kq=JM′Kq′, alors pour tout arbre t = f(t1, . . . , tk) ∈ dom(JM Kq)
JM Kq(t) = u0⋅ JM Kq1(t1) ⋅ u1⋅ . . . ⋅ JM Kqk(tk) ⋅ uk = u′0⋅ JM′K q′ 1(t1) ⋅ u ′ 1⋅ . . . ⋅ JM′Kq′ k(tk) ⋅ u ′ k=JM′Kq′(t),
ce qui, par hypothèse d’induction, nous donne l’égalité suivante : ui⋅JM Kqi+1(ti+1)⋅ui+1⋅. . .⋅JM Kqk(tk)⋅uk= u
′
i⋅JM′Kq′i+1(ti+1)⋅u′i+1⋅. . .⋅JM′Kqk′(tk)⋅u′k.
Cette égalité implique que ui est le préfixe de u′iou inversement. Sans perte de
généralité, nous pouvons supposer que u′
i= ui⋅v, v étant préfixe de lcp(im(JM Kqi+1⋅
ui+1⋅ . . .⋅JM Kqk⋅ uk)). D’après(E2), ce préfixe est égal à ε, donc v = ε et ui= u
′ i.
Soit t = f(t1, . . . , tk) ∈ dom(JM Kq), w = ui+1⋅JM Kqi+2(ti+2)⋅. . .⋅JM Kqk(tk)⋅uk
et w′= u′ i+1⋅ JM′Kq′ i+2(ti+2) ⋅ . . . ⋅ JM ′K q′ k(tk) ⋅ u ′
k, nous pouvons remarquer que w
est le suffixe de w′ ou l’inverse. Comme précédemment, choisissons w comme
suffixe de w′, i.e. w′ = v ⋅ w. Pour tout arbre t′
i+1 ∈ (f, i + 1)−1dom(JM Kq) =
(f, i + 1)−1dom(JM′K
q′) nous pouvons remarquer que
JM Kqi+1(t
′
i+1) ⋅ w = JM′Kqi+1′ (t′i+1) ⋅ w′
et que par conséquent
JM Kqi+1(t ′ i+1) = JM′Kq′ i+1(t ′ i+1) ⋅ v,
impliquant que v est un suffixe commun de im(JM Kqi+1) (puisque
(f, i + 1)−1dom(JM K
q) = dom(JM Kqi+1)). D’après (E1) tout suffixe est vide,
particulièrement v = ε. Nous vérifions donc que JM Kqi+1=JM
′K q′
Pour la suite de cette sous section, nous représentons par M un edST2W défini par le tuple(Σ, ∆, Q, init, rul), ayant pour axiome initial init = u0⋅q0⋅u1.
Nous définissons une relation d’équivalence entre les états de M : q ≡M
q′ si et seulement si JM K
q = JM Kq′. Cette relation d’équivalence peut être
pré-calculée en utilisant des tests d’équivalence en temps polynomial (comme le rappelle la figure 4.1, ces tests pouvant être, au pire, ramenés aux tests d’équivalence de morphismes sur une CFG décidable en temps polynomial).
Par [q]≡M ={q
′ ∈ Q ∣ q ≡
M q′}, nous identifions la classe d’équivalence de
l’état q suivant la relation ≡M. Le résultat de la minimisation est le transduc-
teur quotient M/≡M =(Σ, ∆, Q
′, init′, rul′), pour lequel Q′ ={[q]
≡M ∣ q ∈ Q},
init′= u0⋅[q0]≡M ⋅ c1, et[q]≡M
f
Ð→ u0⋅[q1]≡M ⋅ u1⋅ . . . ⋅[qk]≡M ⋅ uk∈ rul
′ pour toute
règle q Ð→ uf 0⋅ q1⋅ u1⋅ . . . ⋅ qk⋅ uk∈ rul. Le précédent lemme 25 (avec M′ = M)
assure que la construction des règles de M/≡M est indépendante des règles du
M le représentant.
Lemme 26. M/≡M est l’unique edST2W minimal définissant JM K.
Preuve. Soit M/≡M = (Σ, ∆, Q
′, init′, rul′) ayant pour règle initiale init′ =
u′
0⋅ q0′ ⋅ u′1. Choisissons n’importe quel edST2W M′′ = (Σ, ∆, Q′′, init′′, rul ′′)
equivalent à M tel que init′′= u′′
0 ⋅ q0′′⋅ u′′1.
Premièrement, montrons que M′′ a au moins autant d’états que M/ ≡M.
Pour tout état q′ ∈ Q′, nous choisissons arbitrairement un chemin p q′, tel
que ˆrul′(q0′, pq′) = q′ (travaillant avec des transducteurs émondés, l’existence
d’au moins un chemin de ce type est assurée), et nous identifions par λ(q′) =
ˆ
rul′′(q0′′, pq′), l’état correspondant dans M′′. Il faut vérifier que λ est une fonc-
tion injective, i.e. λ(q′
1) = λ(q2′) implique que q′1= q′2. Appelons q′′1 l’état obtenu
par λ(q′
1), et par q2′′celui obtenu par λ(q′2). Il est à noter que JM′′Kq′′ 1 =JM
′′K q′′
2,
ce qui d’après le lemme 25 implique que JM′K
q′1 =JM ′K q2′. Rappelons que q ′ 1 et q′
2 sont des ensembles d’états de M et, en suivant la construction M/≡M, nous
pouvons nous apercevoir que JM Kq1 =JM Kq2 pour tout q1 ∈ q
′
1 et tout q2 ∈ q′2.
Par conséquent, q1 ≡M q2 pour tout q1 ∈ q1′ et tout q2 ∈ q2′, ce qui implique que
q′1= q2′.
De manière similaire, nous utilisons le lemme 25 pour montrer que toute règle de M/≡M a sa copie contenue dans M
′′ (modulo renommage des états
λ). Donc, M′′ contient plus d’états que M/
≡M, ou M
′′ a le même nombre
d’états, et le même nombre de règles, identiques à celle de M/≡M (modulo le
renommage des états effectué par λ).
Théorème 13. La minimisation d’un edST2W se fait en PTIME, i.e. pour tout edST2W il existe un unique edST2W minimal équivalent pouvant être construit en temps polynomial.
138 descendants d’arbres en mots Les développements présentés dans cette section ont un impact plus im- portant que la minimisation en elle même. Cela vient du fait que la relation d’équivalence ≡M est, par essence, une représentation de la relation d’équiva-
lence de Myhill-Nerode ≡JM K et, par conséquent, le transducteur quotient est
le transducteur canonique représentant cette transformation. Lemme 27. Pour tout edST2W M , Cano(JM K) = M /≡M.
Preuve. Prenons M/≡M = (Σ, ∆, Q
′, init′, rul′) avec init′ = u′
0 ⋅ q0′ ⋅ u′1. Le
lemme 24 nous montre que pour tous chemins p1, p2 ∈ chemins(dom(JM K)),
p1 ≡JM K p2 si et seulement si ˆrul(q0′, p1) = ˆrul(q0′, p2). Introduisons une appli-
cation λ des états de Cano(JM K) à ceux de M /≡M, de sorte que λ([p]JM K) =
ˆ rul(q′
0, p). λ est clairement défini pour chaque état, mais il est, de plus, facile
de se persuader que λ est une bijection (simple renommage des états). En se reposant sur le lemme 25 nous obtenons que ces deux transducteurs sont identiques (modulo le renommage des états λ).
Cela nous permet de prouver la minimalité du représentant canonique d’une transformation ST W τ introduit précédemment.
Corollaire 5. Le transducteur canonique Cano(τ) de n’importe quelle trans- formation séquentielle descendante τ est l’unique edST2W minimal recon- naissant τ.