Minimisation de l’´energie

Nous disposons maintenant de tous les outils n´ecessaires pour d´eclencher la proc´edure de confinenement de la tige. Nous avons choisi d’augmenter brusquement Λ en partant de 0 (configurations initiales) pour aller directement `a une valeur Λfinal>0. Cette proc´e-

dure est analogue `a une trempe (“quenching”) d’un ´etat libre vers un ´etat confin´e. Pour des raisons pratiques, le choix de Λfinal est assez restreint. D’une part, nous voulons que

les tiges se replient suffisament pour former des motifs complexes : cette condition exclue des valeurs plus petites que, typiquement, Λfinal≈104. D’autre part, nous ne pouvons pas

choisir des valeurs trop grandes sans risquer de fausser les r´esultats en introduisant des effets de taille finie dˆus `a la discr´etisation de la tige. En pratique, nous avons travaill´e principalement avec Λfinal =7×105.

Il existe une deuxi`eme possibili´e d’initier le confinement. Nous pourrions passer continˆument et tr`es doucement de Λ=0 `a Λfinal (“annealing”). Dans ce cas, on

s’attend `a ce que les configurations initiales convergent toutes vers l’´etat fonda- mental et cette proc´edure ne permet pas d’explorer un grand nombre de minima locaux du paysage ´energ´etique. C’est effectivement ce que nous avons v´erifi´e. Cependant, nous pr´ef´erons reporter cette discussion `a la conclusion o`u nous re- viendrons en d´etail sur les propri´et´es de l’´etat fondamental.

Une fois une valeur Λfinal s´electionn´ee, la question d’explorer le paysage ´energ´etique de

la fonctionnelle (4.8) se r´eduit `a un probl`eme d’optimisation dans un espace `a N =300 dimensions. `A cause des discontinuit´es introduites par la contrainte d’auto-´evitement, la recherche de minima, mˆemes locaux, est toujours un probl`eme difficile car on ne peut pas utiliser les techniques traditionnelles telle que la m´ethode du gradient conjugu´e. Nous avons trouv´e que, dans notre cas, l’algorithme de Powell ´etait relativement bien adapt´e [102]. L’ensemble des directions de recherche est adaptatif : il s’optimise dynami- quement de mani`ere `a favoriser une convergence plus rapide en g´en´erant un ensemble de directions conjugu´ees. D`es qu’un minimum local a ´et´e localis´e, nous r´e-ex´ecutons 10 fois la proc´edure de minimisation de mani`ere `a s’assurer de la robustesse du minimum et `a affiner sa pr´ecision num´erique. Aussi, dans le souci de maximiser nos chances d’explorer des minima tr`es diff´erents, nous r´e-initialisons r´eguli`erement les directions de recherche en les rempla¸cant par des directions al´eatoires.

Nous avons vu dans la section pr´ec´edente que si nous d´etectons la pr´esence d’une auto-intersection, l’´energie de la configuration correspondante est fix´ee `a un nombre ar- bitrairement grand. Cette solution est alors naturellement rejet´ee par l’algorithme de minimisation qui poursuit sa route dans une autre direction. Cependant, la pr´esence de zones d’auto-contact fait apparaˆıtre une nouvelle complication. En effet, le potentiel de confinement ´etant central, il arrive qu’une partie de la tige tente de se rapprocher de R=0 mais se retrouve coinc´ee derri`ere une autre partie, plus proche, qui lui bloque le

chemin (“stiff modes”). La s´ev´erit´e de ce probl`eme d´epend de l’intensit´e du confinement et donc de l’exposant utilis´e. Cela explique, a posteriori, notre d´ecision de mod´eliser le confinement par un potentiel quadratique ∝R2, c’est `a dire relativement “mou”. Si l’on essaye de rendre le potentiel plus “dur” en augmentant l’exposant, la situation devient de plus en plus critique et nous nous retrouvons face `a de nouvelles instabilit´es num´eriques. Cela est dˆu au fait que la proc´edure de minimisation va toujours tenter de minimiser l’´energie totale de la tige en rapprochant la partie coinc´ee du centre et, ce faisant, rentre dans une boucle ne g´en´erant que des configurations auto-intersectantes. L’algorithme ne peut plus sortir de cette boucle et devient sujet `a des instabilit´es (erreurs d’arrondi par exemple...) qui mettent en p´eril la suite de la minimisation. Nous avons rem´edi´e `a ce probl`eme en proposant un traitement ph´enom´enologique des zones d’auto-contact. Une d´etermination “microscopique” des forces de friction est, toutefois, en contradiction avec notre approche bas´ee sur une formulation ´energ´etique. Nous avons donc d´ecid´e de mod´e- liser les interactions dans les zones de contact par une ´energie “n´ematique” de la forme Eauto-contact =u sin2α o`u u est un param`etre sans dimension et α est l’angle entre deux

segments qui se touchent (figure 4.4 b). Nous avons choisi u dans une fenˆetre entre 50 et 150. Toutefois, dans le r´egime de confinement atteignable num´eriquement, la valeur pr´ecise de u ne semble pas avoir d’importance sur la forme des configurations obtenues. Nous retrouverons et justifierons cette interaction g´eom´etrique dans le chapitre suivant.

0.1 0 -0.1 0.1 0 -0.1 0.1 0 -0.1 0.1 0 -0.1 0.1 0 -0.1 0.1 0 -0.1

Fig. _{4.5 – Illustration de quelques configurations correspondant `a des minima locaux de} l’´energie pour Λ=7×105 et D=700.

Dans la situation pr´esente, Eauto-contact joue le rˆole d’une force de frottement “effective”

permettant de d´estabiliser les configurations bloqu´ees en les aidant `a s’auto-aligner loca- lement. Cette contribution n’est incluse que 2 fois parmi les 10 minimisations effectu´ees et sa forme pr´ecise est oubli´ee lors des autres minimisations.