2.2 R´esultats
2.2.2 Milieu ext´erieur conducteur
Dans ce cas, nous ne pouvons pas conclure en utilisant l’invariance de l’´equation d’in- duction par translation et rotation `a vitesse constante. Il n’est donc plus possible de se ramener au cas o`u le milieu 2 est au repos. Nous supposons donc pour le milieu 1 que le rapport entre la vitesse axiale et azimutale est fix´e `a Rb = v1
ω1r1 = 0.761 et que le vecteur
d’onde du mode instable est k = −0.388. Ces deux valeurs correspondent `a l’optimum de l’´ecoulement de Ponomarenko `a deux milieux. La vitesse dans le milieu 1 est caract´eris´ee par le nombre de Reynolds magn´etique Rm =
√
v2
1+r12ω21r1
η .
Couche en rotation
La vitesse axiale dans le milieu 2 est nulle. Num´eriquement, nous nous sommes limit´es `a une d´ependance azimutale du champ magn´etique m = 1. Pour des faibles vitesses de rotation de la couche 2, il est naturel que la structure du mode instable soit semblable `a celle obtenue lorsque cette couche est immobile. Par ailleurs, nous n’avons pas vu de cas o`u un mode de d´ependance azimutale diff´erente soit instable pour un nombre de Reynolds magn´etique inf´erieur `a celui du cas m = 1, mais il est difficile de v´erifier ce r´esultat de fa¸con exhaustive. Nous fixons l’´epaisseur de la couche r2et pour une vitesse de rotation ω2
fix´ee, nous calculons le nombre de Reynolds magn´etique critique. Cela permet de tra¸cer la courbe Rmc en fonction de ω2 ce que nous avons fait en figure 2.3 (resp. 2.4) pour une
valeur de r2 = 1.1 (resp. r2 = 3). Nous tra¸cons aussi la valeur de la pulsation du mode
instable au seuil en fonction de ω2 ainsi que les valeurs pr´edites par le d´eveloppement
perturbatif d´ecrit en annexe.
En faisant croˆıtre ω2 `a partir d’une valeur n´egative, la valeur du seuil d´ecroˆıt, passe par
un minimum et croˆıt ensuite. Le calcul num´erique et le d´eveloppement perturbatif sont en tr`es bon accord pour de basses vitesses de rotation ce qui justifie le d´eveloppement et valide la m´ethode num´erique. La valeur de la vitesse de rotation ω2 donnant le minimum
de Rmc est positive. Ce comportement est tr`es diff´erent du cas o`u le milieu ext´erieur est
isolant. Dans ce dernier cas le minimum correpond `a ω2n´egatif, afin que dans le r´ef´erentiel
li´e au milieu 2, le milieu 1 apparaisse comme ´etant en rotation `a la vitesse critique. Ici le m´ecanisme est plutˆot une adaptation de la vitesse de rotation pour passer de mani`ere moins discontinue de la vitesse ω1 dans le milieu 1 `a une vitesse nulle dans le milieu 3.
Simultan´ement l’effet omega, qui est localis´e dans cet ´ecoulement l`a o`u les vitesses sont discontinues, agit ainsi en deux endroits. Nous pouvons ensuite faire varier r2 et nous
d´eterminons la valeur minimale de Rmc et la valeur de ω2 qui correspond. En figure 2.5
nous tra¸cons les deux courbes Rmc(r2) et ω2(r2).
Si nous faisons croˆıtre r2, la valeur de Rmc d´ecroˆıt, passe par un minimum et croˆıt
ensuite. La valeur de ω2est d´ecroissante. Il existe donc une certaine ´epaisseur de la coquille
2 qui minimise la valeur du nombre de Reynolds magn´etique critique. Compte-tenu de nos calculs, cette valeur n’est d´etermin´ee que tr`es grossi`erement autour de r2 = 1.5. La
56 CHAPITRE 2. MISE EN MOUVEMENT D’UNE COUCHE EXTERNE -10 -5 0 5 10 0 50 100 Rmc ω2
Couche extérieure en rotation de largeur r2=1.1 calcul numérique calcul perturbatif -10 -5 0 5 10 -0.5 0 0.5 1 1.5 ω2 ω 0
Fig. 2.3 – Nombre de Reynolds magn´etique critique Rmc et pulsation du
mode instable ω0 en fonction de la vi-
tesse de rotation ω2 pour une couche de
largeur r2 = 1.1. (−) calcul num´erique,
(−.) calcul perturbatif. -6 -4 -2 0 2 4 6 0 100 200 Rmc ω2
Couche extérieure en rotation de largeur r2=3 calcul numérique calcul perturbatif -6 -4 -2 0 2 4 6 -5 0 5 ω 2 ω 0
Fig. 2.4 – Nombre de Reynolds magn´etique critique Rmc et pulsation du
mode instable ω0 en fonction de la vitesse
de rotation ω2 pour une couche de lar-
geur r2 = 3. (−) calcul num´erique, (−.)
calcul perturbatif. 1 1.5 2 2.5 3 12.5 13 13.5 14 r2 Rmc Minimum de Rmc 1 1.5 2 2.5 3 0 5
10 Vitesse de rotation minimisant Rmc
r2
ω 2
Fig. 2.5 – Valeur minimale de Rmc et vitesse de rotation correspondante ω2 en fonction de la l’´epaisseur r2 de la couche en rotation.
2.2. R ´ESULTATS 57 -200 -15 -10 -5 0 5 20 40 Rmc ω2
Couche en rotation et translation de largeur r2=1.1
calcul numérique calcul perturbatif -2 -1 0 1 2 -10 -5 0 ω2 ω 0
Fig. 2.6 – Nombre de Reynolds magn´etique critique Rmc et pulsation du
mode instable ω0 en fonction de la vi-
tesse de rotation ω2 pour une couche de
largeur r2 = 1.1 en rotation et transla-
tion. (−) calcul num´erique, (−.) calcul perturbatif. -1 -0.5 0 0.5 1 17 17.5 18 18.5 Rmc ω2
Couche en rotation et translation de largeur r2=10
calcul numérique calcul perturbatif -1 -0.5 0 0.5 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ω2 ω 0
Fig. 2.7 – Nombre de Reynolds magn´etique critique Rmc et pulsation du
mode instable ω0 en fonction de la vi-
tesse de rotation ω2 pour une couche
d’´epaisseur r2 = 10 en rotation et trans-
lation. (−) calcul num´erique, (−.) calcul perturbatif.
Couche en rotation et translation
Nous avons r´ealis´e la mˆeme ´etude que pr´ec´edemment en contraignant la vitesse v2
suivant la relation 2.1. En figure 2.6 (resp. 2.7) nous tra¸cons les valeurs du seuil Rmc et
de la pulsation au seuil ω0 en fonction de ω2 pour r2 = 1.1 (resp. r2 = 10). Les traits
pointill´es correspondent au calcul perturbatif.
Comme nous l’avons d´etaill´e en annexe, le calcul perturbatif n’est valide que pour r2
grand, ce que nous v´erifions sur ces figures. Pour chaque valeur de r2 nous d´eterminons
la valeur de ω2 qui minimise Rmc et les tra¸cons en figures 2.8 et 2.9.
Les r´esultats sont nettement diff´erents du cas o`u la couche 2 est uniquement en ro- tation. Le seuil croˆıt en fonction de l’´epaisseur de cette couche r2. La valeur de ω2 qui
minimise le seuil est n´egative et devient tr`es grande si r2 tend vers 1. Dans ce domaine
l’h´elicit´e de l’´ecoulement dans le milieu 2 est positive comme celle dans le milieu 1. Mais ce r´esultat n’est pas g´en´erique et pour r2 l´eg´erement sup´erieur `a 2.5 (voir figure 2.10), le
minimum de Rmc est obtenu pour ω2 positif tandis que, par construction, v2 est n´egatif.
Dans ce cas, l’h´elicit´e du milieu 2 est n´egative alors que celle du milieu 1 est positive. Pour des valeurs de r2 encore plus grande, comme dans le cas r2 = 10 de la figure 2.7, le
minimum du seuil est de nouveau obtenu pour ω2 n´egatif.
La pulsation du mode instable ´evolue peu et reste comprise entre −0.18 et −0.16 pour r2 compris entre 1.1 et 5.
58 CHAPITRE 2. MISE EN MOUVEMENT D’UNE COUCHE EXTERNE