Dans le paragraphe précédent (VI.A), nous avons couplé l’approche incrémentale à deux schémas d’homogénéisation – MT et DI – et avons étudié le cas d’un matériau hétérogène à inclusions sphériques. Un des avantages de ces schémas est qu’ils sont basés sur la théorie d’Eshelby (cf. Annexe (A.2)). Le tenseur d’Eshelby dépend de la forme de l’inclusion. Il est ainsi possible d’utiliser ces mêmes schémas pour des inclusions ellipsoïdales, de type oblates et prolates avec différents rapports de forme.
De manière générale, il n’y aura pas de comparaison avec une solution de référence dans ce paragraphe, nous cherchons simplement à illustrer qualitativement le caractère opérationnel de l’association de l’AI avec les deux schémas précités dans le cas d’inclusions ellipsoïdales en analysant la cohérence des résultats pour différents taux ou rapports de forme d’inclusions, ayant les mêmes tendances que dans les travaux de Ghossein et Lévesque (2014). Ce paragraphe montrera aussi des résultats obtenus avec l’AI en conjonction avec d’autres schémas ou bornes de la littérature.
VI.B.1. Définition des ellipsoïdes et des paramètres de calcul
La microstructure est ici formée d’inclusions identiques de forme ellipsoïdale, alignées dans la direction et aléatoirement réparties dans le plan transverse. Les propriétés matériaux sont analogues à celles du paragraphe (V.A) (cf. Tableau 17) tout comme le chargement monotone en glissement simple (V.4). Les paramètres définissant la morphologie des inclusions sont représentés sur la Figure 45 :
Figure 45 : Schéma représentatif d'une inclusion ellipsoïdale, Mura 1987.
Dans la suite, les demi-longueurs sont telles que = et le rapport de forme est défini par le rapport
.
Nous représentons ici les contraintes homogénéisées asymptotiques dans deux situations successives : en fonction du taux de renforts (pour trois rapports de forme) et en fonction du rapport de forme pour un taux de renfort de 0,25.Bien que non présentées ici, les analyses de convergence en termes de sensibilité au pas de calcul ont été menées et ont permis de dégager le pas adéquat pour chacune des configurations envisagées.
VI.B.2. Effet du taux d’inclusions sur la réponse asymptotique homogénéisée
Nous regardons ici l’influence du taux d’inclusions sur la réponse homogénéisée asymptotique. Sur la Figure 46, les réponses obtenues avec l’AI couplée avec les schémas de Mori-Tanaka (bleu) et de Double-Inclusion (orange) sont présentées pour trois formes d’inclusions : sphères (lignes continues), prolates de rapport 5 (lignes discontinues) et oblates de rapport 0,2 (lignes pointillées). On observe :
A rapport de forme fixé, l’écart entre les estimations fournies par les deux schémas augmente logiquement avec le taux de charges. Ce résultat est lié à la prise en compte des interactions entre inclusions avec DI qui engendre une rigidification plus prononcée de la réponse avec l’augmentation du taux de charges.
A taux d’inclusions fixé, les écarts relatifs entre les estimations fournies par les deux schémas sont du même ordre de grandeur, bien qu’une relation de supériorité existe entre eux, inversement au rapport de forme.
Figure 46 : Contraintes asymptotiques macroscopiques en fonction du taux d’inclusions. Comparaison pour trois rapports de forme (0,2 – 1 – 5) entre les schémas d’homogénéisation de MT et DI.
VI.B.3. Effet du rapport de forme
Nous fixons un taux de fibres de 0,25 et nous faisons varier le rapport de forme de l’inclusion. Nous présentons les réponses homogénéisées asymptotiques obtenues avec les schémas de MT et DI en fonction du rapport de forme pour des valeurs comprises entre 0,2 et 200. Nous réalisons le même calcul avec l’AI branchée à d’autres schémas d’homogénéisation à notre disposition : Reuss, CSA et CCA. Ces schémas ne sont pas dépendants du rapport de forme mais servent de comparaison. Il en résulte que : 0 200 400 600 800 1000 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Contrain tes asympt otiqu es (MPa) Taux d'inclusions MT_sphère DI_sphère MT_prolate=5 DI_prolate=5 MT_oblate=0,2 DI_oblate=0,2
Le rapport de forme à une influence assez similaire sur les réponses obtenues avec MT et DI, l’écart relatif entre les deux schémas varie de 10,6% à 6,3%. Le rapport de forme a donc moins d’influence que le taux d’inclusions comme présenté au paragraphe précédent (VI.B.2).
Le modèle de Reuss représente une borne inférieure qui n’est pas transgressée quel que soit le rapport de forme.
Le schéma CSA – Composite Sphere Assembly – tel qu’écrit dans les travaux d’Hashin (1962) donne des résultats identiques au schéma MT avec un rapport de forme de 1 en homogénéisation élastique, nous retrouvons ici logiquement le même résultat en ce qui concerne la contrainte asymptotique.
Enfin, on constate que le schéma CCA – Composite Cylinder Assembly – tel que présenté dans Hashin (1983) semble en adéquation avec la réponse obtenue avec le schéma de MT lorsque la microstructure se rapproche des fibres longues.
Figure 47 : Influence du rapport de forme des inclusions sur la réponse homogénéisée asymptotique estimée par l'AI couplée aux schémas de Mori-Tanaka (MT) et Double-Inclusion (DI). Comparaison avec les résultats obtenus avec d'autres modèles
d'homogénéisation. Microstructure renforcée par des particules ellipsoïdales soumise à un chargement monotone en glissement simple. Taux d’inclusions de 0,25.
Bien que non présentées ici, il est à noter que les contraintes asymptotiques moyennes dans la matrice sont quasiment insensibles à la forme de l’inclusion. Les variations observées au niveau macroscopique en fonction du rapport de forme sont uniquement dues aux variations de la contrainte moyenne dans les inclusions. Les résultats sont par ailleurs similaires à d’autres taux d’inclusions.
100 150 200 250 300 350 0,2 2 20 200 Contrain tes asympt otiqu es (MPa) Rapport de forme MT DI REUSS CSA CCA Sphère
VI.B.4. Bilan
L’idée de ce paragraphe était principalement de montrer que l’AI, couplée aux schémas de MT et DI, est utilisable pour différents rapports de forme des inclusions.
Pour différents taux d’inclusions, l’estimation avec DI est plus rigide et surement plus proche de la solution de référence que celle avec MT.
Des résultats avec d’autres modèles d’homogénéisation sont par ailleurs obtenus.
Les tendances observées semblent cohérentes par rapport aux performances connues des deux schémas en élasticité pure et attestent du caractère opérationnel du branchement de l’AI avec ces deux schémas dans le cas d’inclusions de forme ellipsoïdale.