METHODES GRAPHIQUES:

III-1) Principe :

On part en général des distributions empiriques présentées au chapitre I-2, et plus particulièrement de la courbe des fréquences cumulées.

Comme on l'a vu, celle-ci nécessite:

- le classement de l'échantillon mais surtout un choix :

- l'affectation à chaque individu, à partir de son rang de classement i, - d'une probabilité empirique estimée … Prob[X<xi] ~ f( i, n)

Or ce choix pose un délicat problème, et impose certaines hypothèses (- notamment sur la fréquence des valeurs les plus fortes et les plus faibles de l'échantillon- cf. biblio du chapitre I , notamment des articles comme celui de NOPHADOL IN-NA and VAN-THANH- VAN NGUYEN (1989))

Cette probabilité empirique s'écrit, pour la valeur de rang i parmi n:

Probabilité associée à la valeur de rang i = P i a

i = n b− + qui, dans le cas courant de la formule de Hazen devient: P i

i = −n0 5.

⇒ On peut alors porter sur un diagramme Pi en fonction de xi.

On peut constater que l'allure de cette courbe, en diagramme arithmétique (sur du papier millimétré classique), est souvent chaotique à cause du faible échantillonnage ⇒ Elle ne permet guère de reconnaître et de distinguer les modèles probabilistes les plus courants, ni de juger de la symétrie. ⇒ Pour ce diagnostic, (-c'est à dire pour identifier le type de loi-), on lui préfèrera souvent l'histogramme.

Le principe des méthodes graphiques va donc reposer plutôt sur la Fonction de répartition et sur la construction d'un diagramme fonctionnel associé, (-comme on a vu qu'il en existe pour certaines lois au chapitre II).

Cela consiste à réaliser une anamorphose ( une transformation analytique ) telle que:

- dans le nouveau diagramme transformé,

- le modèle considéré, ( i.e. la Fonction de Répartition, approchée par la courbe empirique des Fréquences Cumulées) ,

- prendra une allure que l'oeil humain sait reconnaître aisément :

….. une ligne droite.

Les axes seront gradués en valeurs arithmétiques usuelles (- entre 0 et 1 pour les probabilités et entre les valeurs admissibles pour la variable X -) mais les graduations verront leur écartement et leur progression évoluer selon une fonction particulière.

Si les points empiriques s'alignent ( à peu près...) correctement sur un diagramme fonctionnel donné,

⇒ c'est que l'échantillon suit ( à peu près...) le modèle utilisé pour construire ce diagramme,

⇒ et donc que le modèle constitue un compromis acceptable pour représenter / résumer l'échantillon..

La qualité de l'alignement constitue de plus un test de l'adéquation du modèle à l'échantillon utilisé.

Le mieux est de donner quelques exemples d'usage de ces papiers fonctionnels. On a vu au chapitre II la façon de les construire et un peu de les utiliser. On va rappeler ces possibilités, en insistant ici sur les côtés pratiques.

III-2) Le diagramme Gausso-arithmétique (ou papier" normal")

On a vu au chapitre II comment construire un diagramme gaussien, en s'appuyant sur le fait que toute transformation linéaire d'un variable normale reste une variable normale.

On utilisera ce diagramme en exercice dans une application à des pluies annuelles.

Compléments: Comparaison avec l'ajustement obtenu par la méthode des moments La méthode des moments nous permet de déterminer une loi particulière dans la famille des lois normales, celle qui a même moments mx et sx que l'échantillon.

On peut donc la représenter sur papier de Gauss: c'est une droite qui passe:

- par le point d'ordonnée P = 0,5 et d'abscisse x = mx

- par les points d'ordonnées P = 0,1 et d'abscisse x = m -1,28.sx et P = 0,9 et d'abscisse x = m +1,28.sx

On utilisera d’ailleurs ces propriétés pour déduire directement du graphique : - la moyenne estimée de la population :

en lisant la valeur de x correspondant à la probabilité 50%

puisque pour une loi normale mx = X med = x50%

- et l’écart-type :

en lisant l’amplitude qu’il y a entre les valeurs de x correspondant aux probabilité 10 et 90%. Or cet intervalle , qui contient 80% des

individus, correspond pour la loi normale à 2,56 écart-types.

Exemple :

On montre un petit exemple ( en fait litigieux !), tiré de HUBERT P. et H.

BENDJOUDI (1998) A propos de la distribution statistique des cumuls pluviométriques annuels : Faut-il en finir avec la normalité ? (Revue des Sciences de l’Eau)

Dans cet article un peu provocateur, les auteurs remettent en cause une démarche couramment acceptée (et présentée comme telle au chapitre I) , à savoir que les pluies annuelles suivent une loi normale…

Les arguments sont empiriques (les histogrammes sont à peu près gaussiens, les fréquences cumulée aussi), et théoriques : la pluie annuelle est une variable somme de nombreuses variables ( les évènements pluvieux) indépendantes et de même ordre de grandeur…

Or pour les valeurs extrêmes cet argument ne tient plus :

- on a des volumes (-qui ne suivent pas une loi normale-) apportés par certains épisodes pluvieux , qui peuvent à eux seuls représenter plus que la valeurs annuelles courantes

- certaines valeurs annuelles sont donc plus le reflet d’un épisode exceptionnel que d’une moyenne de nombreux épisodes indépendants. Elles suivent plutôt la loi de ces épisodes qu’un loi normale.

Cela peut se voir sur de (vraiment … !) longues séries , comme ici Padoue ( Italie) où l’on dispose de 266 ans et où l’on peut admettre que la loi normale convient bien pour des probabilités inférieures à .95, mais s’écarte de la loi empirique au delà.

diagramme PADOUE

III-3) Le diagramme Log-normal (ou papier "Gausso-logarithmique") On a vu aussi au chapitre II comment construire un diagramme lognormal, en s'appuyant sur le fait que l'on peut revenir à une variable normale en utilisant une échelle logarithmique.

On utilisera ce diagramme en exercice dans une application à des pluies ou à des débits mensuels.

Compléments: Comparaison avec l'ajustement obtenu par la méthode des moments

La méthode des moments nous a permis de déterminer la loi normale particulière qui a mêmes moments mY et sY que l'échantillon transformé en Logarithme.

Rappelons que l'on a obtenu:



et pour l'écart-type



On peut donc la représenter sur papier de Gauss (gausso-logarithmique) , mais avec quelques précautions :

1) Puisque le diagramme fait lui-même la transformation logarithmique, pour

représenter le point moyen : 

m qui va correspondre au point

d'ordonnée P = 0.5 ,

2) C'est un peu plus complexe pour les quantiles, par exemple les déciles correspondant aux points d'ordonnées P = 0,1 et P = 0,9.

En effet, ils ont pour abscisses en Y : Y10 = mY -1,28.sY et Y90 = sY +1,28. sY On calcule donc ces valeurs:

Y10 = 

III-4) Loi exponentielle et diagramme Log-arithmétique