Mesures canoniques sur les points extrˆ emaux d’une partie convexe compacte de R n

tandis que

(dd^cρ_ζ)ⁿ⁻¹∧d^cρ_ζ ∼2²ⁿ⁻²(n−1)!|2z₁|ⁿdt dw .

Nous laissons au lecteur le soin d’achever les calculs. ⊔⊓ La remarque 7.38 montre que les estimations du th´eor`eme 7.10 prennent en compte

`a la limite toute la masse deµ<sub>z</sub> quandA tend vers +∞.Il serait n´eanmoins int´eressant de connaˆıtre le comportement de dµ<sub>z</sub>(ζ) lorsque z tend vers ∂Ω , ζ n’´etant plus n´ecessairement astreint `a rester dans un ouvert du bord de la forme|ζ−z| ≤A|ρ(z)|^1/2 ; pour cela, il serait n´ecessaire d’´etendre le lemme 7.14 au cas de boules osculatrices en deux points a, b ∈ ∂Ω simultan´ement, tout en conservant l’uniformit´e des estimations quand |a−b| tend vers 0 ; nous n’y sommes pas parvenus ici.

8. Mesures canoniques sur les points extrˆ emaux d’une partie convexe compacte de

^Rn

Soit K ⊂ Rⁿ une partie convexe compacte d’int´erieur K^◦ 6= ∅ . L’objectif de ce paragraphe est de montrer que les mesures de Monge-Amp`ere fournissent en dimension finie une solution explicite naturelle au th´eor`eme de Choquet (cf. [3],[13]), `a savoir que tout point d’une partie convexe compacte m´etrisable dans un espace vectoriel topologique localement convexe est barycentre d’une mesure positive port´ee par les

points extrˆemaux de cette partie. Bien sˆur, ce th´eor`eme est trivial dans R<sup>n</sup> , tout point x ∈ K ´etant alors barycentre d’au plus n+ 1 points extrˆemaux ; l’int´erˆet de notre r´esultat r´eside plutˆot dans le caract`ere explicite de la solution et dans le fait que le noyau obtenu d´epend continˆument du point x et du convexe K .

Soitx ∈K^◦ un point fix´e. On associe `ax la fonction jauge p_x d´efinie surRⁿ par p_x(ξ) = inf

λ > 0 ; x+ 1

λ(ξ−x)∈K , ξ ∈Rⁿ .

La fonctionpx est convexe surRⁿ ,positivement homog`ene de degr´e 1 relativement au pˆole x et on a p_x|∂K = 1 . On introduit maintenant l’espace de Stein

X = (C/iZ)ⁿ≃Rⁿ+iTⁿ

o`u T = R/Z , qu’on consid`ere comme une complexification de Rⁿ . On introduit

´egalement l’ouvert

Ω =K^◦ +iTⁿ ;

Ω est un ouvert pseudoconvexe relativement compact dansX (on notera que Ω n’aurait pas ´et´e relativement compact si on s’´etait content´e de prendre X = Cⁿ et Ω = K◦ +iRⁿ) . On d´efinit maintenant une fonction psh continue pex sur X en posant

e

p_x(ζ) =p_x(ξ) o`u ζ =ξ+i η , ξ ∈Rⁿ , η∈Tⁿ .

On a alors Ω = {ζ ∈ X ; pe_x(ζ) < 1} , de sorte que pe_x est une fonction d’exhaustion psh born´ee de Ω .

Proposition 8.1. — On a (dd^cpex)ⁿ = 0sur X r(x+iTⁿ) .

D´emonstration. — K est r´eunion d’une suite croissante de parties convexesK^ν de classe C² , et pex est la limite d´ecroissante des fonctions jauges ˜p^ν_x associ´ees. Il suffit donc de d´emontrer le r´esultat lorsqueKest de classeC² .Dans ce casp_x ∈C² X r(x+iTⁿ)

, et on a les formules

(8.2)













d^cpe_x = X

1≤k≤n

∂p_x

∂ξ_kdη_k , dd^cpex = X

1≤j,k≤n

∂²p_x

∂ξj∂ξkdξj∧dηk ,

(8.3) (dd^cpe_x)ⁿ =n! det ∂²p_x

∂ξ_j∂ξ_k

dξ₁∧dη₁∧. . .∧dξ_n∧dη_n .

Orpx est lin´eaire sur la demi-droite affine x+R₊·(ξ−x),doncξ−x est dans le noyau de la matrice ∂²p_x/∂ξ_j∂ξ_k

; par suite det ∂²p_x/∂ξ_j∂ξ_k

= 0 pour ξ6=x . ⊔⊓ Comme pe_x est invariante par les translations de Tⁿ , il en est de mˆeme pour la mesure (dd^cpe_x)ⁿ . On voit donc qu’il existe une constanteC =C(x, K)>0 telle que

(dd^cpe_x)ⁿ=C.δ_x⊗σ ,

o`u δx est la mesure de Dirac au point x sur R<sup>n</sup> et σ la mesure d’aire invariante sur T<sup>n</sup> =R<sup>n</sup>/Z<sup>n</sup> . D’apr`es le §1, on peut associer `a pe<sub>x</sub> la mesure de Monge-Amp`ere (8.5) νe_x =µe^px,1 = dd^cmax(pe_x,1)n

, qui est port´ee par ∂Ω =∂K+iTⁿ . D’apr`es (1.10) on a

keν_xk= Z

Ω

(dd^cpe_x)ⁿ=C ;

comme νe_x est elle aussi invariante par les translations de Tⁿ , on voit qu’il existe une mesure ν_x ≥0 sur ∂K telle que νe_x =ν_x⊗σ et C =ν_x(∂K) . Pour toute fonction psh V(ζ) =V(ξ+iη) sur X , la formule de Lelong-Jensen 1.7 s’´ecrit maintenant

Z

(ξ,η)∈∂K×Tⁿ

V(ξ+iη)dν_x(ξ)dσ(η)

=ν_x(∂K) Z

η∈Tⁿ

V(x+iη)dσ(η) + Z

Ω

1−pe_x(ζ)

dd^cV ∧(dd^cpe_x)ⁿ⁻¹ .

Choisissons en particulier pour V une fonction affine de ξ , ind´ependante de η . Nous obtenons

νx(V) =νx(∂K).V(x) quelle que soit V affine, d’o`u :

Th´eor`eme 8.6. — Le point x est barycentre de la mesure de probabilit´e m_x := ν_x(∂K)−1

ν_x .

Remarque 8.7. — Il est clair que l’on pourrait encore d´efinir les mesuresνe_x sur l’espace X = Cⁿ/iΓ , o`u Γ est un r´eseau quelconque de Rⁿ . Les mesures ν_x telles que νe_x = ν_x⊗σRⁿ/Γne seraient alors modifi´ees que d’un facteur>0,´egal au volume deRⁿ/Γ.De ceci, on d´eduit aussitˆot que les mesures ν_x (resp. m_x) se transforment fonctoriellement par l’action du groupe sp´ecial affine (resp. du groupe affine) sur le convexe K . ⊔⊓ Par analogie avec ce qui a ´et´e fait dans le cas complexe, on introduit sur K^◦ la distance

δ_K(x, y) = lim sup

ξ→∂K

log p_x(ξ)−1 py(ξ)−1 ; cette distance est toujours compl`ete et on a l’encadrement

e^−nδK(x,y)ν_x ≤ν_y ≤e^nδK(x,y)ν_x , ∀x , y ∈K .^◦

En particulier, on voit que les mesuresν_xd´ependent continˆument dexpour la topologie de la masse. Elles d´ependent aussi continˆument de ∂K pour la topologie faible des mesures; ceci r´esulte du fait que l’op´erateur de Monge-Amp`ere

e

p_x 7−→ dd^cmax(pe_x,1)n

est faiblement continu lorsque pex converge uniform´ement sur tout compact.

Lorsque K est de classe C² , on a νe_x = (dd^cpe_x)ⁿ⁻¹ ∧d^cpe_x , et les formules (8.2) donnent νe_x =ν_x⊗(dη₁∧. . .∧dη_n) avec

(8.8)











dν_x(ξ) = (n−1)!

Xn l=1

(−1)^l−1∆_l(x, ξ)dξ₁∧. . . cdξ_l . . .∧dξ_n ,

∆l(x, ξ) = det ∂²p_x

∂ξ_j∂ξ₁,· · ·, ∂²p_x

∂ξ_j∂ξ_l−1,∂p_x

∂ξ_j,· · ·, ∂²p_x

∂ξ_j∂ξ_n

.

Dans ce cas, on sait que νe_x est port´ee par l’ensemble des points strictement pseudo-convexes de ∂Ω , par cons´equent νx est port´ee par l’ensemble des points strictement convexes de ∂K . Dans le cas g´en´eral, on va montrer que ν_x est port´ee par l’ensemble des points extrˆemaux de K .

D´efinition 8.9. — Soit ξ un point de∂K .

• Le point ξ est dit extrˆemal s’il n’existe pas de vecteur a 6= 0 tel que le segment [ξ−a, ξ+a] soit contenu dans∂K .On notera E(K) l’ensemble des points extrˆemaux de K .

• Un hyperplan affine H est dit hyperplan d’appui au point ξ si H ∋ ξ et si K est contenu dans l’un des deux demi-espaces ferm´es d´elimit´es par H .

Grˆace `a la transformation par polaires de centrex , on peut associer `aK le convexe dual

K_x^⋆ =

y^′ ∈(Rⁿ)^⋆ ; ∀x ∈K , y^′.(ξ−x)≤1 ;

K_x^⋆ est une partie convexe compacte de (Rⁿ)^⋆ contenant 0 en son int´erieur. Siξ ∈∂K , on note ξ_x^⋆ l’ensemble des formes lin´eairesy^′ ∈(Rⁿ)^⋆ telles queH_y^′ ={y ; y^′.(y−x) = 1} soit un hyperplan d’appui au point ξ . Bien entendu, lorsque K est de classe C¹ , ξ_x^⋆ se r´eduit `a l’unique forme lin´eaire d´efinissant l’hyperplan tangent en ξ `a ∂K ; dans le cas g´en´eral, ξ_x^⋆ est une partie convexe de (Rⁿ)^⋆ , contenue dans ∂(K_x^⋆) . Pour toute partie A⊂∂K , on pose plus g´en´eralement

A^⋆_x = [

ξ∈A

ξ_x^⋆ .

Avec ces notations, on obtient la relation naturelle ∂(K_x^⋆) = (∂K)^⋆_x . On d´efinit enfin une mesure positive θ sur ∂K_x^⋆ en posant

θ(A^′) = Vol [0,1].A^′

pour toute partie bor´elienne A^′ ⊂ ∂K_x^⋆ , o`u Vol d´esigne le volume calcul´e relative-ment `a la mesure de Lebesgue de (Rⁿ)^⋆ . On a alors le th´eor`eme suivant, qui donne l’interpr´etation g´eom´etrique des mesures ν_x .

Th´eor`eme 8.10. — Pour tout point x ∈K^◦ et pour toute partie bor´elienne A ⊂ ∂K on a la formule

(8.11) ν_x(A) =n!θ(A^⋆_x) =n! Vol [0,1].A^⋆_x ,

en particulier νx(∂K) =n! Vol (K_x^⋆) .

De plus,ν_x est port´ee par l’ensemble des points extrˆemaux de K , c’est-`a-dire que ν_x ∂K rE(K)

= 0 .

D´emonstration. — On commence par v´erifier la formule (8.11) lorsqueA est une partie compacte de ∂K ; pour cela, on proc`ede en plusieurs ´etapes.

• Premi`ere ´etape : on suppose ∂K strictement convexe de classe C^∞ . Soitξ un point de ∂K . L’homog´en´e¨ıt´e dep_x entraˆıne la relation d’Euler

dp_x(ξ).(ξ−x) =p_x(ξ) = 1 . L’hyperplan tangent `a ∂K au point ξ est donc donn´e par

y ; dp_x(ξ).(y−x) = 1 , i.e. ξ_x^⋆ = {dpx(ξ)} . La stricte convexit´e de ∂K montre que l’application ξ 7→ dpx(ξ) de ∂K sur ∂K_x^⋆ est un C^∞–diff´eomorphisme. Soit Φ_x :]0,1]×∂K −→ K_x^⋆ r {0} le C^∞–diff´eomorphisme d´efini par

y^′ = Φ_x(t, ξ) :=t.dp_x(ξ) , t ∈]0,1], ξ ∈∂K . On a alors par d´efinition

θ(A^⋆_x) = Vol ]0,1].dp_x(A)

= Vol Φ_x(]0,1]×A)

= Z

]0,1]×A

(Φ_x)^⋆(dy^′₁∧. . .∧dy^′_n) . En utilisant la formule (8.8) on voit aussitˆot que

(Φ_x)^⋆(dy^′₁∧. . .∧dy_n^′) = tⁿ⁻¹

(n−1)!dt∧dν_x(ξ), donc

θ(A^⋆_x) = Z 1

0

tⁿ⁻¹ (n−1)!dt .

Z

A

dν_x(ξ) = 1

n!ν_x(A).

• Deuxi`eme ´etape : on suppose ∂K de classe C^1+lip .

Dans ce cas, la diff´erentielle dpx est lipschitzienne, donc presque partout diff´eren-tiable relativement `a la mesure d’aire euclidienneα sur∂K ; la formule (8.8) est encore valable, dνx(ξ) ´etant ici une forme volume `a densit´e L^∞ par rapport `a α .

Soitξ un point o`udp_x est diff´erentiable; supposons qu’il existe un segment [ξ₁, ξ₂]⊂

∂K contenant ξ et non r´eduit `a un point. Alors la matrice ∂²p_x/∂ξ_j∂ξ_k

a dans son noyau les deux directions ξ2−ξ1 etξ−x , ce qui entraˆıne dνx(ξ) = 0 . En particulier, on a dν_x(ξ) = 0 α–presque partout sur ∂K rE(K) , d’o`u ν_x ∂K rE(K)

= 0 . Notons maintenantAbla r´eunion deAet des segments [ξ₁, ξ₂]⊂∂K tels queξ₁ ∈A . Il est trivial de v´erifier que Abb = Ab d`es que ∂K est de classe C<sup>1</sup> , et que Ab est une partie compacte de ∂K si A est elle-mˆeme compacte; de plus, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a ν_x(Ab r A) = 0 . Par ailleurs, ∂K a mˆeme hyperplan tangent en tout point de

chaque segment [ξ1, ξ2]⊂ ∂K , donc Ab⋆

x = A^⋆_x . Pour v´erifier (8.11) , on peut donc supposer sans perte de g´en´eralit´e que Ab=A .

L’id´ee suivante est d’approximer K par des compacts strictement convexes. Pour tout ε >0 , il existe un compact Lε strictement convexe de classe C^∞ tel que

(1−ε).(K−x)⊂Lε−x⊂K −x ; par dualit´e on en d´eduit

(8.12) K_x^⋆ ⊂(L_ε)^⋆_x ⊂(1−ε)⁻¹K_x^⋆ . Consid´erons le compactB_ε^′ = [0,(1−ε)⁻¹].A^⋆_x

∩∂(L_ε)^⋆_x ,image deA^⋆_x par projection radiale sur ∂(Lε)^⋆_x , et le compact Bε⊂∂Lε , image r´eciproque de B^′_ε par la transfor-mation par polaires. D´esignons par ν_x^ε et θ^ε les mesures associ´ees `aL<sub>ε</sub>, analogues `a ν_x et θ . On sait queν_x^ε converge faiblement vers νx et que ν_x^ε(Bε) =n!θ^ε(B_ε^′) grˆace `a la premi`ere ´etape. La double inclusion (8.12) implique

θ(A^⋆_x)≤θ^ε(B_ε^′)≤(1−ε)⁻ⁿθ(A^⋆_x) , donc limθ^ε(B_ε^′) =θ(A^⋆_x) . En particulier, on voit que

θ(∂K_x^⋆) = limθ^ε ∂(L_ε)^⋆_x

= lim 1

n!ν_x^ε(∂L_ε) = 1

n!ν_x(∂K) .

On va montrer maintenant que lim supν_x^ε(B_ε) ≤ ν_x(A) . Soient en effet U ⊃⊃

V ⊃⊃ A deux voisinages ouverts arbitraires de A dans Rⁿ et h ∈ C⁰ Rⁿ,[0,1]

une fonction `a support compact dansU ,´egale `a 1 surV .Pourεassez petit, on aB_ε⊂V ; sinon, il existerait une suiteε_k >0 tendant vers 0 et une suite de points ξ_k ∈B_εk rV convergeant vers un pointξ_∞ ∈∂K rV ; comme (ξ_k)^⋆_x ∈B_ε^′_k et comme A^⋆_x est ferm´e, la suite (ξ_k)^⋆_x aurait un point limite y^′ ∈ A^⋆_x qui serait un hyperplan d’appui de K au point ξ_∞ ; mais par ailleurs y^′ ∈ A^⋆_x serait l’hyperplan tangent en un point ξ ∈ A , d’o`u [ξ, ξ∞]⊂∂K etξ∞ ∈Ab=A ,ce qui est contradictoire. Pourεassez petit il vient donc

ν_x^ε(Bε)≤ν_x^ε(V)≤ν_x^ε(h) , et puisque limν_x^ε(h) =ν_x(h) on obtient

lim supν_x^ε(B_ε)≤inf

h ν_x(h) =ν_x(A) . On en d´eduit donc

ν_x(A)≥lim supν_x^ε(B_ε) =n! lim supθ^ε(B_ε^′) =n!θ(A^⋆_x) ; d’apr`es les r´eductions pr´eliminaires que nous avons faites, il vient

ν_x(A)≥n!θ(A^⋆_x)

pour toutepartie compacte A⊂∂K . L’ouvert∂K rA est d’autre part r´eunion d’une suite croissante de parties compactes S_k , par cons´equent

ν_x(∂K rA) = limν_x(S_k)≥n! limθ (S_k)^⋆_x

=n!θ (∂K rA)^⋆_x .

Comme (∂K_x^⋆)r(∂K rA)^⋆_x ⊂A^⋆_x il vient finalement ν_x(A) =ν_x(∂K)−ν_x(∂K rA)

≤n! θ(∂K_x^⋆)−θ((∂K rA)^⋆_x)

≤n!θ(A^⋆_x) .

• Troisi`eme ´etape : K quelconque.

On pose alors :

K_ε=K +B(0, ε) =

ξ∈Rⁿ ; d(ξ, K)≤ε ,

o`u B(0, ε) et d sont respectivement la boule et la distance euclidienne de Rⁿ . Soit r > 0 tel que B(x, r)⊂K . On a les inclusions A toute partie compacte A⊂∂K , on associe d’autre part

A_ε={ξ ∈∂K_ε ; d(ξ, A) = ε} ⊂∂K_ε .

Nous aurons besoin du lemme ´el´ementaire suivant, dont la v´erification est laiss´ee au lecteur.

Lemme. — On a les deux propri´et´es suivantes : (8.14) ∂K_ε est de classe C^1+lip ;

. Des arguments identiques `a ceux de la deuxi`eme ´etape permettent d’obtenir successivement

n!θ(A^⋆_x) =n! limθ^ε (A_ε)^⋆_x o`u A_k est la suite croissante de parties de ∂K d´efinie par

A_k=n

Pour l > k ,on pose

A_k,l =[ h

ξ−1 k − 1

l

u, ξ+1 k − 1

l ui

o`u la r´eunion est ´etendue aux couples (ξ, u)∈∂K×Rⁿ tels que kuk= 1 et [ξ−u/k, ξ+u/k]⊂∂K . On pose enfin

Bk,l =n

ξ ∈Ak,l ; d(ξ, Ak)≥ 1 l

o⊂Ak,l .

Il est imm´ediat de v´erifier que A_k , A_k,l et B_k,l sont des parties compactes de ∂K , que les suites (A_k,l), (B_k,l) sont croissantes avec l , et que A_k ⊂A_k,l , A_k∩B_k,l =∅ . Comme tout hyperplan d’appui en un point de chaque segment

[ξ−(1/k−1/l)u, ξ+ (1/k−1/l)u]⊂A_k,l

est aussi un hyperplan d’appui au point ξ ∈ A_k , on voit que (A_k,l)^⋆_x = (A_k)^⋆_x , donc (Ak∪Bk,l)^⋆_x = (Ak)^⋆_x . Grˆace `a la troisi`eme ´etape, il vient νx(Ax∪Bk,l) = νx(Ax) , d’o`u

νx(Bk,l) = 0 =θ (Bk,l)^⋆_x .

Soit maintenant H un hyperplan d’appui en un point ξ ∈ A_k . Alors H ∩∂K = H ∩ K est une partie compacte convexe, et il existe u ∈ Rⁿ tel que kuk = 1 et [ξ−u/k, ξ+u/k]⊂H ∩∂K . Soient ξ₁, ξ₂∈H ∩∂K tels que

kξ2−ξ1k = diam (H ∩∂K)≥ 2 k , et soient

u₀ = ξ₂−ξ₁

kξ₂−ξ₁k , ξ₀ =ξ₁+ 1 ku₀ . Il est imm´ediat que

hξ₀− 1

ku₀, ξ₀+ 1 ku₀i

⊂[ξ₁, ξ₂]⊂H∩∂K ,

doncξ₀ ∈A_k .Posonsξ_ε =ξ₁+εu₀ =ξ₀−(1/k−ε)u₀ .Tout intervalle [ξ_ε−a, ξ_ε+a]⊂

∂K est en fait contenu dans H ∩∂K ⊂ B(ξ₂,kξ₂ −ξ₁k) , d’o`u, par un argument de g´eom´etrie ´el´ementaire :

kak ≤p

ε(kξ₂−ξ₁k −ε)≤√ ε .p

kξ₂−ξ₁k .

Si l’on choisit ε < k⁻²kξ₂ −ξ₁k⁻¹ il en r´esulte que ξ_ε ∈/ A_k , donc ξ_ε ∈ B_k,l pour l assez grand. Comme H est aussi un hyperplan d’appui au point ξ_ε , on en d´eduit

(A_k)^⋆_x ⊂ [

l>k

(B_k,l)^⋆_x ,

θ (Ak)^⋆_x

• Cinqui`eme ´etape : montrons pour terminer que la formule (8.11) est vraie quelle que soit la partie bor´elienne A ⊂∂K .

Pour cela, il suffit de v´erifier que la fonction d’ensemblesA 7→θ(A^⋆_x) est d´enombra-blement additive sur les bor´eliens. Or, pour toute suiteAk croissante, on a

θ [

La d´emonstration du th´eor`eme 8.10 est achev´ee. ⊔⊓

Pour terminer, nous allons expliciter les mesures νx et mx dans le cas de la boule euclidienne de Rⁿ .

Exemple 8.16. — K =B_n =

ξ∈Rⁿ ; kξk ≤1 .

Dans ce cas, la fonction jauge p_x(ξ) est la solution positive λ ∈ R de l’´equation kx+ (ξ−x)/λk² = 1 , ce qui donne

p_x(ξ) = hx, ξ−xi+p

hx, ξ−xi²+ (1− kxk²)kξ−xk²

1− kxk² .

Apr`es quelques transformations ais´ees, on obtient p<sub>x</sub>(ξ)−1 = 1− hx, ξi Le th´eor`eme de comparaison 3.8 entraˆıne par cons´equent

dν_x(ξ) = 1

(1− hx, ξi)ⁿ dν₀(ξ) , ξ∈∂B_n .

D’apr`es le th´eor`eme 8.10, la masse totale deνx vaut n! Vol (B_n)^⋆_x

.La transformation par polaires de centre x s’´ecrit ici

ξ7−→dp_x(ξ) = hξ, dξi 1− hx, ξi ,

c’est-`a-direξ 7→ξ/(1− hx, ξi) modulo l’identification (Rⁿ)^⋆ ≃Rⁿ .On v´erifie alors que (B_n)^⋆_x est l’ellipso¨ıde de centre x/(1− kxk²), de demi-grand axe (1− kxk²)⁻¹ dans la directionR.xet de demi-petit axe (1−kxk²)^−1/2 dans les n−1 directions orthogonales

`a x . Par suite

ν_x(∂B_n) =n! (1− kxk²)^−(n+1)/2Vol (B_n) .

Comme ν₀ est invariante par rotation, on voit que ν₀ = (n−1)!α , o`u α d´esigne la mesure d’aire euclidienne sur la sph`ere. On obtient donc finalement les formules

dν_x(ξ) = (n−1)!dα(ξ) (1− hx, ξi)ⁿ , dm_x(ξ) = 1

α(∂B_n) · (1− kxk²)^(n+1)/2

(1− hx, ξi)ⁿ dα(ξ) .

On observera que dmx(ξ) diff`ere du noyau de Poisson euclidien de la boule pour tout n >1,bien que le noyau de Poisson r´esolve ´egalement le probl`eme de la repr´esentation barycentrique d’un point x ∈ K^◦ en fonction des points de ∂K (ceci parce que les fonctions coordonn´ees de Rⁿ sont harmoniques) .Ce ph´enom`ene n’est pas surprenant, puisque le noyau de Poisson euclidien n’est pas port´e par E(K) en g´en´eral.

Bibliographie

[1] E. Bedford and B.A. Taylor. —The Dirichlet problem for the complex Monge-Amp`ere equation, Invent. Math.,37(), 1–44.

[2] E. Bedford ^and B.A. Taylor^{. —} A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math.,149 (), 1–41.

[3] G. Choquet. —Existence et unicit´e des repr´esentations int´egrales au moyen des points extrˆ e-maux dans les cˆones convexes,S´em. Bourbaki, expos´e n˚139, 15 p. (D´ec.).

[4] J.-P. Demailly. — Mesures de Monge-Amp`ere et caract´erisation g´eom´etrique des vari´et´es alg´ebriques affines, m´emoire (nouvelle s´erie) n˚19, Soc. Math. de France, .

[5] K. Diederich^and J.E. Fornaess^{. —}Pseudoconvex domains : bounded strictly plurisub-harmonic functions, Invent. Math.,39(), 129–141.

[6] J.E. Fornaess. —Embedding strictly pseudoconvex domains in convex domains, Amer J.

Math.,98(), 529–569.

[7] T.W. Gamelin and N. Sibony. —Subharmonicity for uniform algebras, J. Funct. Anal., 35(), 64–108.

[8] N. Kerzman ^and J.-P. Rosay^{. —} Fonctions plurisousharmoniques d’exhaustion born´ees et domaines taut, Math. Ann.,257 (), 171–184.

[9] M. Klimek. —Extremal plurisubharmonic functions and invariant pseudodistances, Bull. Soc.

Math. France,113(), 123–142.

[10] P. Lelong. —Fonctionnelles analytiques et fonctions enti`eres (nvariables), Presses de l’Univ.

de Montr´eal, S´em. de Math. Sup´erieures, ´et´e 1967, n˚28, Montr´eal,.

[11] L. Lempert^{. —La m´}etrique de Kobayashi et la repr´esentation des domaines sur la boule, Bull.

Soc. Math. France,109 (), 427–474.

[12] L. Lempert. —Solving the degenerate Monge-Amp`ere equation with one concentrated singu-larity, Math. Ann.,263 (), 515–532.

[13] R. Phelps. — Lectures on Choquet’s theorem, Van Nostrand Math. Studies n˚7, Princeton, New Jersey,.

[14] R. Richberg^{. —}Stetige streng pseudokonvexe Funktionen, Math. Ann.,175(), 257–286.

[15] W. Rudin. —Function theory in the unit ball of Cⁿ, Grundlehren der math. Wissenschaften 241, Springer-Verlag, New-York,.

[16] N.Sibony^{. —} Remarks on the Kobayashi metric,manuscrit, communication personnelle (juin

).

[17] J. Siciak. — On some extremal functions and their applications in the theory of analytic functions of several complex variables, Trans. Amer. Math. Soc.,105(), 322–357.

[18] J. Siciak. — Extremal plurisubharmonic functions in Cⁿ, Ann. Polon. Math., 39 (), 175–211.

[19] J. Siciak^{. —}Extremal plurisubharmonic functions and capacities in Cⁿ, Sophia Kokyuroku in Math., Tokyo,.

[20] J.-L. Stehl´e. —Fonctions plurisousharmoniques et convexit´e holomorphe de certains espaces fibr´es analytiques,S´em. P. Lelong (Analyse) 1973/74, Lecture Notes in Math. n˚474, Springer-Verlag, 155–179.

[21] B.A. Taylor^{. —} An estimate for an extremal plurisubharmonic function on Cⁿ_{,S´em. P.}

Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda (Analyse) 1982/83, Lecture Notes in Math. n˚1028, Springer-Verlag, 318–328.

[22] J.B. Walsh. — Continuity of envelopes of plurisubharmonic functions, J. Math. Mech., 18 (), 143–148.

[23] A. Zeriahi. — Fonctions plurisousharmoniques extrˆemales, approximation et croissance des fonctions holomorphes sur des ensembles alg´ebriques,Th`ese de Doctorat-`es-Sciences, Univ. de Toulouse,.

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