Mesure de la fr´equence de r´esonance

20 40 60 80 100 120 140 160 0.0 0.5 10-2 1.0 10-2 1.5 10-2 -0.5 10-2 ρout (mg.cm-3) ∆ρ_out ρ_out FIG. 2.8 – Pr´ecision du capteur
 est de l’ordre de 

sur une gamme de densit´es mesur´ees allant de +  #

`a #

(o`u

!"  



est la densit´e critique de l’h´elium).

2.4 Mesure de la fr´equence de r´esonance

2.4.1 Position du probl`eme

D’apr`es les calculs pr´ec´edents (Equ. 2.6), le pendule peut ˆetre repr´esent´e par une fonction de transfert
 ( 
de la forme:  

 )       )3#   )(  
(2.12)

avec une fr´equence de r´esonance ´egale `a:

 

+ ) + # 
 
 (2.13)

Le facteur de qualit´e est ´egal `a:

        
   
 (2.14)

Compte tenu de la viscosit´e de l’h´elium, le facteur de qualit´e est de l’ordre#!

.

Pour d´eterminer la densit´e de l’h´elium confin´e, il est n´ecessaire de mesurer la fr´equence

qu’aurait le pendule en absence de dissipation (voir Equ. 2.4) ; ou bien de mesurer 

la dur´ee de la mesure de la fr´equence de r´esonance doit ˆetre la plus courte possible. Or le temps de r´eponse intrins`eque du pendule est relativement ´el´ev´e (



+ !



).

La m´ethode ”classique” consistant `a d´eterminer la courbe de r´esonance, se trouve donc ˆetre mal adapt´ee. Elle a ´et´e cependant utilis´ee ´episodiquement pour d´eterminer les param`etres caract´eristiques du pendule (facteur de qualit´e, amplitude `a r´esonance).

Une autre possibilit´e est de supposer que les changements de fr´equence sont suffisamment lents pour que la r´eponse soit stationnaire `a tout instant et donc donn´ee par l’´equation 2.12. On peut alors envisager d’asservir la fr´equence `a une phase fixe pour la r´eponse. Ceci ne peut marcher que si le temps n´ecessaire pour traverser la largeur de la resonance est bien sup´erieur au temps de mont´ee:

   2  2
      2      2  2
(2.15) La  

m´ethode (celle que nous avons choisie) consiste `a mod´eliser la r´eponse transitoire par une ´equation qui redonne l’´equation 2.12 pour des variations lentes de fr´equence, mais qui permet d’aller plus vite que l’´equation 2.15 (voir 2.4.3).

2.4.2 D´etermination de la courbe de r´esonance du pendule

Pour d´eterminer la courbe de r´esonance, on mesure la r´eponse du pendule en phase et en quadrature pour diff´erentes valeurs de la fr´equence d’excitation au voisinage de la fr´equence de r´esonance. Le facteur de qualit´e ´etant de l’ordre de 100, on peut consid´erer que la largeur de la courbe de r´esonance est infiniment petite par rapport `a la fr´equence de r´esonance. Au voisinage de la fr´equence de r´esonance, la r´eponse du pendule est de la forme:
 

      )  
)3#   )( 
(2.16)

D’apr`es l’´equation 2.16, les parties r´eelle

 et imaginaire 
 
de l’inverse Z d´ependent de mani`ere affine de la pulsation


. +

   
 
(2.17) Un ajustement lin´eaire de
 et
 
en fonction de 
permet de d´eterminer num´eriquement tous les param`etres, qui caract´erisent le syst`eme: la fr´equence de r´esonance

2.4 Mesure de la fr´equence de r´esonance 41 1.925 1.935 1.945 1.955 1.965 -1000 -500 0 1000 1500 500 invX invY frŽquence fexci. (Hz) (mV)-1 invX invY

FIG. 2.9 – Parties r´eelles (inv (X)) et imaginaire (inv (Y)) de l’inverse de la fonction de r´eponse du

pendule, en fonction de 



 

, l’amplitude

, le facteur de qualit´e et la phase

. Cette phase id´ealement nulle, ne l’est pas exactement dans la pratique, du fait de divers d´ephasages induits par la chaˆıne de mesure (amplis, filtres BF) ; elle doit donc ˆetre mesur´ee.

Cette m´ethode pr´esente l’inconv´enient de prendre beaucoup de temps. En effet chaque mesure doit ˆetre faite quand le r´egime permanent est atteint, c’est `a dire au moins 100 secondes apr`es avoir chang´e la fr´equence. Le trac´e d’une courbe comportant 30 points de mesure prend donc 1 heure. Contrairement `a l’asservissement de phase ( 2.4.3), l’obtention de la courbe de r´esonance permet cependant de d´eterminer s´epar´ement le facteur de qualit´e , la r´ef´erence de phase
 et l’amplitude `a r´esonance 
   )(  . Les grandeurs
 et ne d´ependent en principe pas des conditions de densit´e et de viscosit´e et peuvent ainsi ˆetre ´evalu´ees.

La connaissance de ces grandeurs ´etant indispensable au fonctionnement de l’asservissement de phase, nous avons r´eguli`erement d´etermin´e la courbe de r´esonance du pendule.

2.4.3 Asservissement de phase

2.4.3.1 Principe

Pour pouvoir d´eterminer la fr´equence de r´esonance du pendule, il n’est pas n´ecessaire de tracer dans son int´egralit´e la courbe de r´esonance. La r´esonance se caract´erise par un d´ephasage de la r´eponse du pendule par rapport `a l’excitation de

 
     . Le principe de l’asservissement de phase consiste `a verrouiller la phase du pendule `a la valeur

 , la fr´equence d’excitation ´etant alors en permanence ´egale `a la fr´equence de r´esonance. Si la fr´equence du pendule change, la mesure de la phase

 (



) et de ses variations permettent de calculer la nouvelle valeur de la fr´equence de r´esonance et donc de corriger la fr´equence d’excitation du pendule. En effet en r´egime permanent, une diff´erence entre la fr´equence de r´esonance et la fr´equence d’excitation entraˆıne un ´ecart de la phase `a 



-100 0 100 200 300 0 temps (seconde)

∆ω

ω

τ

FIG. 2.10 – R´eponse de l’asservissement de fr´equence `a un ´echelon de 

. Cette figure permet

´egalement d’appr´ecier le rapport signal/bruit.

de



  
 )        .

L’efficacit´e d’un tel asservissement, c’est `a dire sa rapidit´e, est limit´ee car l’´etablissement d’un r´egime permanent demande un temps de l’ordre de 

  

, ce qui limite la vitesse suivant Equ. 2.15. Si le crit`ere Equ.2.15 n’est pas satisfait, un r´egime transitoire est pr´esent, durant lequel le pendule oscille `a la pulsation  

, sa phase d´erivant donc `a la vitesse

    )(     
 )   

par rapport `a l’excitation. Nous avons donc suppos´e que la phase du pendule v´erifiait `a chaque instant l’´equation 2.18. Cette ´equation redonne l’expression en r´egime permanent 2.16 (pour de faibles d´ephasages), mais donne aussi la bonne d´erive de phase en r´egime transitoire :

2 
)   2
 +  % 
 
)   
 
 )     (2.18) avec % 


 )(  2.4.3.2 R´ealisation pratique

L’asservissement de phase est r´ealis´e de mani`ere num´erique. L’ordinateur saisit la composante en phase et en quadrature
du signal de position du pendule, avec une p´eriode d’´echantillonnage

  





. On d´etermine la diff´erence de phase instantan´ee avec la phase `a r´esonance

 )   .

Afin de minimiser les effets de fluctuations rapides,