Mesure d’excursion du processus confin´e

ǫ de dur´ee de vie g´en´erique V = V(ǫ) telles que ǫ(t) 6=x pour tout t ∈ (0, V), ǫ(0) = x

et si V(ǫ) < ∞, ǫ(V) = x. Soit maintenant e = (e

s

, s ≥ 0) le processus des excursions

hors de{x} deX, `a valeurs dans E ∪ {∓}, o`u Υ est un point isol´e, avec :

e

s

=

(X

τs−+u

,0≤u < τ

s

−τ

s−

) si τ

s−

< τ

s

Υ sinon

D’apr`es un th´eor`eme d’Itˆo, (e

_s

, s≥0) est un processus de Poisson ponctuel dont on note

n

x

sous IP (et n

^lx

sous IP

^l

) la mesure caract´eristique, appel´ee mesure d’excursion de X

hors de{x}. De plus, n(· |V > δ) est la loi sous IP de la restriction de X `a son premier

intervalle d’excursion de dur´ee de vieV > δ (et idem pour IP

^l

).

`

A toute excursion g´en´erique issue de xon associe m(ǫ) son maximum (relatif) :

m(ǫ) = sup

u≤V(ǫ)

(ǫ

u

−ǫ

0

) = sup

u≤V(ǫ)

ǫ

u

−x,

et pour toutη >0, on noteH

η

, invariablement sous IP

^l_x

(resp. IP

x

) ou sous n

^lx

(resp.n

x

),

le premier temps d’atteinte dex+η.

Proposition 1.6 On a la relation d’absolue continuit´e suivante : pour toute

fonction-nelle mesurable positiveF,

n

^l_x

(F(ǫ)) =n

x

(F(ǫ)e

^ρV

1

{V <T}

),

o`u T d´esigne toujours le premier temps de sortie de (0, a).

D´em.Pour toutδ >0, on noteg

δ

etd

δ

les bornes gauche et droite du premier intervalle

d’excursion de longueur sup´erieure `aδ :

d

δ

.

= inf{u > δ :∀s > u−δ X

s

6=x, etX

u

=x},

g

δ

.

= sup{u < d

δ

:X

u

=x}.

On a par cons´equent l’´egalit´e :

n

^l_x

(F(ǫ)|V > δ) = IE

^l_x

(F(X

t+gδ

;t≤d

δ

−g

δ

))

= IE

_x

(F(X

_t+gδ

;t≤d

_δ

−g

_δ

)1

{dδ<T}

e

^ρdδ

),

car d

δ

est un temps d’arrˆet et X

dδ

= x p.s. On va appliquer maintenant la formule

de compensation apr`es avoir trouv´e une ´ecriture ad´equate pour la quantit´e pr´ec´edente.

Celle-ci vaut encore :

IE

x

(^X

s>0

e

^ρτs−

e

^ρV(es)

1

{τs−<T}

1

{τs−<dδ}

1

{V(es)>δ}

F(e

s

)1

{es∈(0,a)}

)

= IE

x

(

Z

∞ 0

ds

Z

n

x

(dǫ)e

^ρτs

e

^ρV(ǫ)

1

{τs<T}

1

{τs<dδ}

1

{V(ǫ)>δ}

F(ǫ)1

{ǫ∈(0,a)}

)

= c

x

(δ)n

x

(F(ǫ)e

^ρV(ǫ)

1

{V(ǫ)>δ}

1

{T >V(ǫ)}

),

o`u

c

x

(δ) =

Z

∞

0

dsIE

x

(e

^ρτs

1

{τs<T}

1

{τs<dδ}

).

Or le fait que X

τs

= x p.s. assure par la formule exponentielle appliqu´ee au processus

ponctuel des excursions hors de {x} sous IP

^l

que

IE

x

(e

^ρτs

1

{τs<T}

1

{τs<dδ}

) = IE

^l_x

(1

{τs<dδ}

) = exp(−sn

^l_x

(V > δ)),

d’o`uc

x

(δ) = 1/n

^lx

(V > δ), et pour tout δ >0,

n

^l_x

(F(·)|V > δ)n

^l_x

(V > δ) =n

x

(F(·)e

^ρV

1

{V <T}

1

{V >δ}

).

On a donc, sur l’espace des excursions de dur´ee de vie sup´erieure `a δ, l’´egalit´e :

n

^l_x

(F(·)) =n

x

(F(·)e

^ρV

1

{V <T}

).

Mais δ est arbitrairement petit, aussi on a l’´egalit´e sur l’espace E tout entier.

(Pour une d´emonstration alternative, voir [16]). ₂

1.5.2 D´esint´egration de l’excursion g´en´erique sous n^lx

On va maintenant donner une description assez pr´ecise de l’excursion g´en´erique hors

de{x}sous IP

^l

dans le caso`u le coefficient gaussien est nul, c’est-`a-dire quand le

proces-sus n’a pas de composante brownienne (prendreb = 0 dans la formule de L´evy-Khintchine

(1.1)). On sait alors queX ne passe les niveaux inf´erieurs qu’en sautant au travers et qu’il

existe donc pour l’excursion g´en´erique issue de x un unique instant j de saut `a travers

x, avant (resp. apr`es) lequel l’excursion prend ses valeurs dans [x, a) (resp. (0, x]).

Proposition 1.7 On a la description suivante de l’excursion g´en´eriqueǫsousn

^lx

d´ecompos´ee

en son instant j de saut `a travers x :

(i) n

^lx

(j =∞) = 0 et n

^lx

(ǫ

j−

=x) = 0.

(ii) Pour tous y∈(0, a), z ∈(−y, x−y),

n

^l_x

(ǫ

j−

∈dy,∆ǫ

j

∈dz) = ^W

(−ρ)

(a−y)W

(−ρ)

(y+z)

W

(−ρ)

(a−x)W

(−ρ)

(x) ^e

−φ(0)y

dyΛ(dz)

(iii) Sousn

^lx

(· |ǫ

j−

=y,∆ǫ

j

=z), les processus pr´e-j et post-j sont ind´ependants et :

•(−ǫ

(j−u)−

;u≤j) a mˆeme loi que (X

t

;t≤T

(a−x,∞)

) sous IP

^l_a−y

,

•(ǫ

j+u

;u≤V −j) a mˆeme loi que (X

t

;t≤T

(x,∞)

) sous IP

^l_y+z

.

D´em.Nous nous servons de r´esultats de [1] et [5], qui utilisent judicieusement la propri´et´e

de Markov forte et un r´esultat de L.C.G. Rogers ([21, p.25]) :

1.5. MESURE D’EXCURSION DU PROCESSUS CONFIN ´E 33

Sous l’hypoth`ese que le processus canonique sous IP est un processus de L´evy sans

sauts positifs et sans composante brownienne, la mesure d’excursion n associ´ee au choix

(1.9) du temps local en 0 peut ˆetre d´ecrite en ces termes :

Si sous IP X d´erive vers −∞ (resp. est r´ecurrent, resp. d´erive vers +∞), alors

(i) n(ǫ

j−

= 0|j <∞) = 0 etn(j =∞) = 0 (resp. id, resp. n(j =∞) =ψ

′

(0

+

)).

(ii) Pour tous 0< y <−z,

n(ǫ

j−

∈dy,∆ǫ

_j

∈dz |j <∞) = e

^−φ(0)y

dyΛ(dz)

(iii) Sousn(· |j <∞, ǫ

j−

=y,∆ǫ

_j

=z), les processus pr´e-jet post-jsont ind´ependants

et :

•(−ǫ

(j−u)−

;u ≤ j) a mˆeme loi que (X

t

;t ≤ T

(0,∞)

) sous IP

−y

(· | T

(0,∞)

< ∞) (resp. sous

IP

−y

, resp. sous IP

−y

),

•(ǫ

j+u

;u≤V −j) a mˆeme loi que (X

t

;t ≤T

(0,∞)

) sous IP

y+z

.

Nos assertions en d´ecoulent ais´ement :

(i) imm´ediat par la proposition 1.6 et la description pr´ec´edente de n.

(ii) On applique successivement les deux arguments cit´es pr´ec´edemment :

n

^l_x

(ǫ

j−

∈dy,∆ǫ

j

∈dz) = n

x

(1

{V <T}

e

^ρV

1

{ǫj−∈dy,∆ǫj∈dz}

)

= n

x

(ǫ

j−

∈dy,∆ǫ

j

∈dz)n

x

(1

{V <T}

e

^ρV

|ǫ

j−

=y,∆ǫ

j

=z)

= n

x

(ǫ

j−

∈dy,∆ǫ

j

∈dz)IE

a−y

(e

^ρTa−x

1

{Ta−x<T_(−∞,0)}

)IE

y+z

(e

^ρTx

1

{Tx<T_(−∞,0)}

)

= n

x

(ǫ

j−

∈dy,∆ǫ

j

∈dz)^W

(−ρ)

(a−y)W

(−ρ)

(y+z)

W

(−ρ)

(a−x)W

(−ρ)

(x) ^.

(iii) se montre grˆace au lemme de dualit´e et `a la propri´et´e de Markov forte, ou alors

`a l’aide de la proposition 1.6. 2

1.5.3 Expressions de quantit´es usuelles sous n^lx

On donne ici quelques pr´ecisions utiles sur n

^lx

, le temps local au niveau x ´etant fix´e

par (1.9). On rappelle que pour toute excursion ǫ hors de {x}, on d´esigne par m(ǫ) le

maximum de ǫ−x.

Notre proposition principale admet deux cons´equences qui donnent chacune une

ex-pression usuelle, l’une de n

^lx

(m > η), l’autre de l’exposant de Laplace de l’inverse du

temps local sous IP

^l_x

. On sait en effet que si τ

t

d´esigne cet inverse, x ´etant fix´e dans

(0, a), (τ

t

, t≥0) est un subordinateur dont l’exposant de Laplace φ

^lx

est d´efini par :

IE

^l_x

(e

^−λτt

) = exp(−tφ

^l_x

(λ)), λ≥0.

Proposition 1.8 Pour tout λ positif et tout η∈[0, a−x],

n

^l_x

(1−e

^−λV

1

{m<η}

) = ^W

(λ−ρ)

(x+η)

W

(λ−ρ)

(x)W

(λ−ρ)

(η)^.

En particulier, on a pour tout λ positif,

φ

^l_x

(λ) = ^W

(λ−ρ)

(a)

W

(λ−ρ)

(x)W

(λ−ρ)

(a−x)^,

et pour tout η∈[0, a−x],

n

^l_x

(m > η) = ^W

(−ρ)

(x+η)

W

(−ρ)

(η)W

(−ρ)

(x)^.

D´em.La derni`ere assertion est imm´ediate en prenant λ= 0.

Montrons l’identit´e suivante :

n

^l_x

(1−e

^−λV

1

{m<η}

) =

IE

^l_x

(

Z

Tx+η 0

e

^−λt

dL

^x_t

)

−1

. (1.10)

On a

IE

^l_x

(

Z

Tx+η 0

e

^−λt

dL

^x_t

) = IE

^l_x

(

Z

∞ 0

dse

^−λτs

1

{τs<Tx+η}

)

=

Z

∞ 0

dsIE

^l_x

exp(− ^X

0≤u≤s

λ(τ

_u

−τ

u−

)χ

{m(eu)<η}

)

!

,

o`u χ

A

(ω) =

∞ si ω∈A

c

1 si ω∈A

La quantit´e pr´ec´edente vaut donc

Z

∞ 0

ds exp −sn

^l_x

(1−exp(−λV χ

{m<η}

))

=

n

^l_x

(1−e

^−λV

1

{m<η}

)

−1

.

La deuxi`eme assertion de la proposition se d´eduit de la premi`ere et de (1.10) en prenant

η =a−x. Pour prouver la premi`ere assertion, nous nous servons du lemme suivant, dont

la d´emonstration est donn´ee plus bas :

Lemme 1.9 Pour tous x, y ∈(0, a), pour tout λ >0, on a l’identit´e :

IE

^l_y

(

Z

∞

0

1.5. MESURE D’EXCURSION DU PROCESSUS CONFIN ´E 35

D’apr`es le lemme, on peut ´ecrire

IE

^l_x

(

Z

∞ 0

e

^−λs

dL

^x_s

| F

t

) =

Z

t 0

e

^−λs

dL

^x_s

+ e

^−λt

u

^l_λ

(X

t

, x),

ce qui, en appliquant le th´eor`eme d’arrˆet en T

x+η

, assure que

IE

^l_x

(

Z

Tx+η

0

e

^−λs

dL

^x_s

) =u

^l_λ

(x, x)−u

^l_λ

(x+η, x)IE

^l_x

(e

^−λTx+η

).

Le th´eor`eme 1.2 et la proposition 1.3(ii), joints avec l’expression (1.8) de la densit´e de la

λ-r´esolvante u

^l_λ

(x, y) que l’on rappelle ici :

u

^l_λ

(x, y) =

W

(λ−ρ)

(x)W

(λ−ρ)

(a−y)

W

(λ−ρ)

(a) −1

{x>y}

W

^(λ−ρ)

(x−y)

W

(−ρ)

(y)

W

(−ρ)

(x)^,

fournissent le r´esultat de la proposition pour tout λ > ρ, puis par un argument de

prolongement analytique, pour tout λ≥0.

Montrons maintenant le lemme et rappelons ([2, proposition V.2]), que si e est une

v.a. ind´ependante de loi exponentielle de param`etre λ >0, alors

(2ε)

⁻¹

Z e

0

1

{|Xs−x|<ε}

ds

converge vers L

x

e ^{dans L}

²

^{(IP). En cons´equence, pourvu que λ > ρ, alors cette mˆeme}

quantit´e converge vers L

x

e ^{dans L}

²

^(IP

^l

^{). En particulier,}

IE

^l_y

(

Z

∞ 0

e

^−λt

dL

^x_t

) = IE

^l_y

(L

^x

_e)

= lim

ε→0+

1

2ε^IE

l y

(

Z

∞ 0

dte

^−λt

1

{|Xt−x|<ε}

)

= lim

ε→0+

1

2ε

Z

x+ε x−ε

u

^l_λ

(y, u)du = u

^l_λ

(y, x),

car la continuit´e deW

(λ−ρ)

et la nullit´e deW

(λ−ρ)

(0) (dans le cas `a variation infinie, qui

nous occupe) assurent pour tout y la continuit´e de u

^l_λ

(y,·) (voir l’expression de u

^l_λ

, qui

a d´ej`a ´et´e redonn´ee plus haut). Pour voir que l’identit´e reste valable pourλ ∈(0, ρ], on

peut par exemple se servir de l’´equation r´esolvante. ₂

La proposition pr´ec´edente nous permet de pr´eciser le comportement asymptotique du

temps local. Rappelons que d’apr`es le th´eor`eme 1.2(iv), la probabilit´e stationnaire µdu

processus confin´e est absolument continue avec pour densit´e p.

Corollary 1.10 Pour tout x∈(0, a), on a p.s.

lim

t→∞

L

^x_t

/t=p(x) = ^µ(dx)

dx ^.

D´em. Il s’agit essentiellement d’une application du th´eor`eme ergodique (voir aussi la

section XIX.46 dans [11]). Donnons une br`eve justification. On d´eduit de la proposition

1.8 que φ

^lx

admet une d´eriv´ee `a droite en 0, qui vaut

c(a)

W

(−ρ)

(x)W

(−ρ)

(a−x) ^=p(x)

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