Mesh Adaptive Direct Search (MADS)

Comme pour les deux précédents algorithmes, l’utilisateur doit d’abord fournir des valeurs pour les paramètres internes de MADS :

: le nombre maximal d’évaluations du modèle hydrologique;

∆ : le dimensionnement initial du maillage de l’espace paramétrique (valeur fournie ou valeur par défaut);

de même que ces vecteurs associés aux paramètres du modèle hydrologique à caler : : le vecteur constitué des valeurs minimales que peuvent prendre les paramètres;

: le vecteur constitué des valeurs maximales que peuvent prendre les paramètres; : le vecteur constitué des jeux de paramètres initiaux (un seul ou plusieurs).

L’algorithme évalue le ou les jeux de paramètres initiaux ( ) et identifie le plus performant de ceux-ci comme étant le meilleur jeu de paramètre ( ).

Étape 1 - La recherche

Tout d’abord, il est à noter que par les diverses fonctionnalités qu’offre le logiciel d’optimisation NOMAD, l’étape de la recherche peut être remplacée complètement par toute autre stratégie de recherche que l’utilisateur souhaite incorporer à l’algorithme d’optimisation MADS (Le Digabel, 2011). De plus, lors de la première itération de cette méthode d’optimisation, l’étape de la recherche n’est pas effectuée et l’algorithme passe directement à l’étape 2.

MADS est basée sur le principe de séparation de l’espace paramétrique en un réseau de mailles à dimensions constantes (le treillis). Le paramètre interne ∆ gère le dimensionnement du maillage et chaque jeu de paramètres considéré par l’algorithme se trouve à l’intersection des mailles (Audet et Dennis, 2006; Le Digabel, 2011).

L’étape de la recherche génère aléatoirement un certain nombre de jeux de paramètres positionnés à une distance égale à la dimension du maillage (∆ ) autour du meilleur point trouvé jusqu’ici ( ). La figure 2.1 présente cette méthode de génération des points.

Figure 2.1 Directions visitées lors de l’étape de la recherche sur le motif de points ( )

à partir du meilleur point trouvé ( ) pour un problème à deux paramètres où

les points , et sont tirés aléatoirement sur le motif de points ( )

Les points sont alors évalués selon un ordonnancement établi à partir d’un modèle quadratique1 qui se perfectionne à mesure que le nombre de points évalués au sein du problème réel d’optimisation augmente. Les points générés aléatoirement sur le motif et ayant un meilleur potentiel (bonne valeur de la fonction objectif selon le modèle quadratique) sont ainsi évalués au sein du problème réel dans un premier temps. Si l’algorithme obtient un jeu de paramètres de meilleure qualité, il est retenu comme étant le nouveau meilleur jeu de paramètres trouvé ( ), l’étape de la recherche est déclarée comme étant réussie et l’algorithme passe à l’étape 3a. Sinon, cette étape est déclarée insatisfaisante et l’algorithme poursuit à l’étape 2.

1 _{Modèle quadratique : fonction mathématique qui approxime localement la surface de l’espace}

paramétrique sous la forme ∗ + ∗ ∗ + ∗ + , où ⋀ = 1, … , è , < et où , , et sont des constantes (≠ 0). Fk pk t3 Étape 1 - La recherche t1 t2 ∆k

Étape 2 - La sonde

La satisfaction des conditions d’optimalité (obtention d’un optimum local) est issue de la stratégie utilisée à l’étape de sonde (Audet et Dennis, 2006). L’algorithme construit un motif de points ( ) autour du meilleur jeu de paramètres trouvé ( ) à une distance égale à la dimension du maillage (∆ ) suivant différentes directions orthogonales de l’espace paramétrique. La figure 2.2 présente un exemple de directions orthogonales envisageables lors de la construction d’un motif de points ( ).

Figure 2.2 Directions orthogonales 2N visitées lors de la génération du motif de points ( )

à partir du meilleur point trouvé ( ) pour un problème à deux paramètres (N = 2) où

les points et sont orthogonaux avec les points et

De cette façon, l’algorithme explore le voisinage situé à une distance égale à la dimension du maillage (∆ ) depuis le meilleur jeu de paramètres trouvé ( ). MADS visite un certain nombre de points dans les directions orthogonales faisant partie du motif ( ) et ceux-ci sont alors évalués. De la même manière que pour l’étape de la recherche, l’ordonnancement des points se fait à partir du modèle quadratique. Si l’algorithme obtient un jeu de paramètre de meilleure qualité au sein du motif de points ( ), il est retenu comme étant le nouveau

Étape 2 - La sonde ∆k Fk pk t4 t2 t3 t1

meilleur jeu de paramètres trouvé ( ), l’étape de sonde est déclarée comme étant réussie et l’algorithme passe à l’étape 3a. Sinon, cette étape est déclarée insatisfaisante et il passe à l’étape 3b.

Étape 3a - Mise à jour des paramètres (réussie)

Si l’étape de la recherche ou celle de la sonde a été déclarée comme étant réussie, la dimension du maillage (∆ ) est augmentée; c’est-à-dire que les prochains points générés seront à une distance plus grande du meilleur jeu de paramètres trouvé ( ). Le facteur d’agrandissement du maillage ( ) est de 4 fois la dimension du maillage existant (∆ ) (valeur par défaut de l’algorithme). Ce faisant, on accélère la recherche si on vient de trouver une nouvelle direction de descente. La figure 2.3 illustre le procédé de mise à jour du dimensionnement du maillage (∆ ) qui est utilisé à l’itération subséquente de l’algorithme. L’algorithme passe ensuite à l’étape 3c.

Figure 2.3 Mise à jour du dimensionnement du maillage (∆ ) à l’itération de MADS k+1 dans l’éventualité où la recherche ou la sonde soit déclaré réussi (étape 3a) et dans

l’éventualité où la recherche et la sonde soient déclarés insatisfaisants (étape 3b)

∆k+1

p_k

Étape 3b - Mise à jour des paramètres (insatisfaisante)

p_k

∆k

Fk+1

Étape 3a - Mise à jour des paramètres (réussie) ∆k Fk ∆k+1 Fk+1 Fk

Étape 3b - Mise à jour des paramètres (insatisfaisante)

Si l’étape de la recherche et celle de la sonde ont été déclarées comme étant insatisfaisantes, la dimension du maillage (∆ ) est réduite de façon à raffiner le procédé de recherche autour du meilleure jeu de paramètres ( ). Le facteur de réduction du maillage (1⁄ ) est de ¼ fois la dimension du maillage existant (∆ ) (valeur par défaut de l’algorithme). C’est ce procédé de convergence vers une dimension toujours plus faible du maillage qui permet de qualifier la méthode de semi-exacte puisqu’elle garantit d’une certaine façon que le jeu de paramètres final est le meilleur point du voisinage. La figure 2.3 illustre le procédé de mise à jour du dimensionnement du maillage (∆ ) qui est utilisé à l’itération subséquente de l’algorithme. L’algorithme passe ensuite à l’étape 3c.

Étape 3c - Vérification des critères d’arrêt

Finalement, une vérification est faite quant au nombre d’évaluations du modèle hydrologique effectué jusqu’alors en le comparant avec le nombre d’évaluations maximal du modèle hydrologique ( ). Si le nombre maximal d’évaluations ( ) est atteint (critère d’arrêt), la recherche de l’algorithme MADS est terminée. Sinon, il y a retour à l’étape 1 pour recommencer le processus de recherche. Signalons qu’il peut y avoir un arrêt si la maille minimale est atteinte (la valeur employée est celle par défaut), et ceci, même si la condition d’arrêt sur m n’est pas satisfaite. Seul l’arrêt conditionnel à l’atteinte de la maille minimale assure l’obtention d’un optimum local.

2.5 Algorithme Complètement Aléatoire (ACA)