Nesta seção serão apresentadas algumas aplicações para as quais se utilizou a aritmética RDM-IA na busca das soluções intervalares para o problema em questão. Ainda que poucas, em sua maioria essas aplicações são desenvolvidas pelos pró- prios autores de RDM-IA, buscando comparar com SIA com o intuito de provar suas vantagens e validade.
2.5.1 RDM-IA para solução de equações quadráticas
O trabalho desenvolvido por Landowski (LANDOWSKI, 2017b) apresenta o uso da aritmética multidimensional RDM-IA para a resolução da equação intervalar quadrá- tica. Os resultados obtidos a partir de exemplos são comparados com as soluções aritméticas seguindo o padrão SIA, de Moore.
Segundo Landowski, equações quadráticas intervalares são utilizadas quando al- guns dos coeficientes são incertos. O problema nesse caso é encontrar a região com as raízes do polinômio. Salienta-se que a solução obtida por RDM-IA pode ser apresentada sob a forma de uma fórmula, ilustração, extensão, distribuição de cardi- nalidade ou centro de gravidade.
Um polinômio quadrático, ou equação do segundo grau, possui a forma geral des- crita na Equação (42):
Ax2+ Bx = C, ou
Logo, dado que A, B e C ∈ IR em notação de intervalos temos:
[a, ¯a]x2 + [b, ¯b]x = [c, ¯c].
Para a definição de RDM-IA, A = [a, ¯a], B = [b, ¯b] e C = [c, ¯c], tem-se:
A = [a, ¯a] = {a : a = a + αa(¯a − a), αa∈ [0, 1]},
B = [b, ¯b] = {b : b = b + αb(¯b − b), αb ∈ [0, 1]} e
C = [c, ¯c] = {c : c = c + αc(¯c − c), αb ∈ [0, 1]}.
Considerando a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C, o polinômio apresentado em (42) assume a forma conforme (43).
[a + αa(¯a − a)]x2+ [b + αb(¯b − b)]x = [c + αc(¯c − c)], (43)
onde αa∈ [0, 1], αb ∈ [0, 1], αc∈ [0, 1], 0 /∈ A.
A solução de uma equação do segundo grau sabidamente pode ser encontrada a partir da fórmula de Bhaskara. Primeiramente o valor de ∆ = B2 − 4AC deve ser
encontrado. Em RDM-IA tem-se:
∆ = [b + αb(¯b − b)]2− 4[a + αa(¯a − a)][c + αc(¯c − c)]. (44)
Existem três possibilidades de solução:
• Para ∆ > 0, tem-se duas soluções inteiras e diferentes (x1, x2), calculadas con-
forme (45). x1 = [−b − αb(¯b − b)] + √ ∆ 2[a + αa(¯a − a)] x2 = [−b − αb(¯b − b)] − √ ∆ 2[a + αa(¯a − a)] (45)
• Caso ∆ = 0, uma única solução real é possível:
x = −b − αb(¯b − b) 2[a + αa(¯a − a)]
. (46)
Nas Equações (44), (45) e (46) αa, αb e αc∈ [0, 1] e, 0 /∈ A.
• Se ∆ < 0 não existe solução real.
A partir das definições estabelecidas para o método de resolução de equações quadráticas em RDM-IA, o autor apresentou dois exemplos numéricos para demons- tração do método. Em modo comparativo, duas formas de solução foram apresenta- das para cada exemplo, uma utilizando SIA e outra RDM-IA para obter as raízes do
polinômio quadrático. Os valores apresentados, bem como as soluções desenvolvi- das, provam que a aritmética de Moore possui problemas quanto à dependência de variáveis (o coeficiente não mantém o mesmo valor ao longo do cálculo), além de que se demonstrou incapaz de chegar a uma solução em um problema mais completo, retornando valor de resposta incorreto. Por sua vez, RDM-IA, fazendo uso da variável RDM α ∈ [0, 1] possibilita chegar a uma resposta correta, fazendo-se mais confiável e completa.
2.5.2 RDM-IA aplicada à solução de equações cúbicas
Para o exemplo de aplicação de RDM-IA em equações de terceiro grau, será con- siderado novamente um trabalho desenvolvido por Landowski (LANDOWSKI, 2017a), o qual desenvolveu uma extensão intervalar para a regra de Cardano.
Uma equação cúbica possui a seguinte forma geral:
Ax3+ Bx2 + Cx + D = 0. (47)
Sendo coeficientes intervales, tem-se: A = [a, ¯a], B = [b, ¯b], C = [c, ¯c] e D = [d, ¯d], 0 /∈ A. Logo, levando para a definição de RDM-IA, teremos estes coeficientes semelhantes aos demonstrados anteriormente para A, B e C.
A partir disso, a Equação (47) em notação RDM é apresentada em (48):
[a + αa(¯a − a)]x3+ [b + αb(¯b − b)]x2+ [c + αc(¯c − c)]x + [d + αd( ¯d − d)] = 0, (48)
onde αa, αb, αc, αd∈ [0, 1].
Seguindo o método de solução pela regra de Cardano, a forma canônica para uma equação cúbica é dada:
y3+ P y + Q = 0, (49) onde: P = C A − B2 3A2, Q = 2B 3 27A3 + D A − BC 3A2.
Assim, novamente transformando os coeficientes para a notação de RDM-IA, tere- mos P e Q conforme expresso em (50).
P = c + αc(¯c − c) a + αa(¯a − a) − [b + αb(¯b − b)] 2 3[a + αa(¯a − a)]2 , Q = 2[b + αb(¯b − b)] 3 27[a + αa(¯a − a)]3 +d + αd( ¯d − d) a + αa(¯a − a) −[b + αb(¯b − b)][c + αc(¯c − c)] 3[a + αa(¯a − a)]2 , onde αa, αb, αc, αd ∈ [0, 1]. (50)
O número de soluções reais possíveis para uma equação quadrática depende do valor de ∆, o qual é calculado conforme mostra a Equação (51).
∆ = P 3 3 + Q 2 2 (51)
Três casos são considerados para o valor de ∆:
• ∆ > 0 ⇒ existe uma solução real e duas soluções complexas;
• ∆ = 0 ⇒ no máximo duas soluções reais podem ser obtidas;
– se P = Q = 0, então existe uma solução real tripla igual a zero.
– se (P/3)3 = −(Q/2)2 6= 0, então existem duas raízes reais e uma delas é
uma solução dupla.
• ∆ < 0 ⇒ existem três soluções reais diferentes.
Pela regra de Cardano, as soluções para a Equação (49) são dadas em (52):
y1 = u + v y2 = e1u + e2v y3 = e2u + e1v, (52) onde: u =r −Q3 2 + √ ∆, v =r −Q3 2 − √ ∆, e1 = − 1 2 + i √ 3 2 , e2 = − 1 2 − i √ 3 2 .
O autor utiliza exemplos em SIA como comparativo de solução aos resultados ob- tidos, além de que o método de teste pontual é usado para verificar a corretude da solução. Se um valor pontual dado for uma solução da equação cúbica, ao substituir este ponto na equação, um intervalo contendo o valor zero deve ser obtido. Caso contrário, um intervalo que não contém o zero será retornado.
Em vista dos exemplos numéricos utilizados pelo autor, SIA retorna resultados in- tervalares onde existem pontos que não estão contidos nos intervalos de RDM-IA. A prova para isso segue pelo teste pontual, onde demonstrou que SIA chegou a um resultado incorreto. Conclui-se que SIA não é capaz de retornar uma solução com- pleta para problemas mais complexos, como por exemplo equações cúbicas. Porém, RDM-IA é capaz de solucionar problemas como este e prover intervalos solução não superestimados.
2.5.3 Aplicação de RDM-IA em problema de decisão sob incerteza
No trabalho desenvolvido por LALA (2017) a tomada de decisões é tratada utili- zando uma função de utilidade sob os conceitos da aritmética intervalar. Um aspecto levado em conta é o problema gerado ao utilizar valores exatos de probabilidades, o que conduz a consequências indesejáveis associadas à impossibilidade de se deter- minar com precisão o valor da probabilidade, sobretudo sobre dados experimentais. Portanto, o trabalho mostra a aplicação da RDM-IA ao problema de tomada de deci- sões através do uso de uma função de utilidade.
Seguindo a definição de LEVIN (2006), a função de utilidade é definida:
Definição 2.5.1. A função de utilidade U : P → R tem uma forma de utilidade espe- rada se existirem números (u1, . . . , un) para cada N resultados (x1, . . . , xn) de modo
que paca cada p ∈ P :
U (p) =
n
X
i=1
piui. (53)
Formalmente, o problema de tomada de decisão sob incerteza é formulado por uma 4-tupla (S, A, X, ), onde:
- S = {s1, s2, . . . , sn} ⇒ é um espaço de estados de natureza mutuamente exclu-
sivos e exaustivos;
- A ⇒ é um conjunto infinito de ações que são funções h : S → X; - X ⇒ é um conjunto de resultados;
- ⇒ é uma relação de preferência não aditiva sobre A.
Sendo uma probabilidade sobre S imprecisa, o problema é determinar as preferên- cias entre alternativas por meio de uma função de utilidade. No estudo apresentado, uma função de utilidade é usada como representação de preferências entre alternati- vas. A metodologia de utilidade esperada é utilizada para a descrição das preferên- cias. Logo, a função de utilidade utilizada é conforme a descrita pela Equação (54).
U (h) = Z
S
v(h(s))p(s), (54)
onde h(s) é um resultado de uma ação h ∈ A em um estado de natureza s ∈ S e, v(h(s)) é o valor de uma função de utilidade de valor real v : X → R medindo a utilidade de um resultado h(s).
O problema de decisão consiste então na determinação de uma ação ótima h∗ ∈ A
de tal modo: U (h∗) = max h∈A n R Sv(h(s))p(s) o . (55)
A partir da modelagem do problema, uma sequência de oito passos é proposta para a solução do problema de tomada de decisão onde a definição intervalar seguindo a notação de RDM-IA faz parte. Após, uma solução 3-dimensional pode ser obtida.
O problema prático abordado no trabalho desenvolvido consiste em encontrar um valor para quantos quartos construir para maximizar o retorno do investimento em um hotel. Os valores das utilidades de cada ato tomado em vários estados e probabilida- des em estados são fornecidos nas Tabelas 2 e 3, respectivamente.
Tabela 2 – Valores de utilidades de ações em diferentes estados
{s1} {s2} {s3}
h1 [7, 10] [6, 9] [4, 7]
h2 [6, 9] [3, 6] [6, 9]
h3 [6, 9] [7, 10] [4, 7]
Tabela 3 – Valores de probabilidade dos estados
p(s1) = [0.25, 0.35] p(s2) = [0.35, 0.45] p(s3) = [0.2, 0.4]
Tais valores foram convertidos para a notação de RDM-IA: x ∈ [a, ¯b] : x = a + αx(¯b − a), αx ∈ [0, 1]. Os valores retornados após o cálculo da função de utilidade sob
a aritmética multidimensional RDM foram os seguintes:
U (h1(s)) = [6.124, 8.562],
U (h2(s)) = [5.244, 7.66],
U (h3(s)) = [6.29, 8.66].
A conclusão para o problema abordado no trabalho foi de que um atributo quali- tativo importante da informação em que as decisões se baseiam é a sua informativi- dade. Nesse aspecto, a aritmética multidimensional RDM foi utilizada para o cálculo de um exemplo real para o problema de tomada de decisão utilizando uma função de utilidade. Os resultados intervalares obtidos demonstram mais informatividade em re- lação aos valores, além de que a largura dos intervalos solução são menores quando comparados aos obtidos por SIA.