4.3 Expériences numériques
5.1.2 Maximiser le périmètre et le diamètre
Cette section démontre les résultats annoncés dans la section5.1.1. Les polygones convexes équilatéraux de largeur unitaire qui maximisent le périmètre et le diamètre sont identiques et arbitrairement proches du trapèze ˆTn. Le théorème5.1.3démontre
le résultat de la maximisation du périmètre et le corollaire 5.1.4, celui du diamètre. Tous les résultats sont présentés en se basant sur les notations de la section5.1.1. Lemme 5.1.2 Dans tout polygone convexe à (2m + 1) côtés unitaires et de largeur minimale, le sommet avec y > 0 adjacent à A est B.
Démonstration. Considérons un polygone convexe à (2m + 1) côtés unitaires et de largeur minimale W∗
n, et soit A+ le sommet avec y > 0 adjacent à A.
Supposons par contradiction que A+ 6= B. Notons les angles intérieurs du poly-
gone α, β, γ et α+associés respectivement aux sommets A, B, C et A+. La définition
de ces sommets nous assure pour ces angles les inégalités strictes suivantes : α < π, β < π, γ > 0 et α+ > 0. Le quadrilatère AA+BC et les quatre angles sont illustrés
dans la figure 5.3. W ∗ n t d d d d t d d d t t d d d B A+ A C ...... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... α+ α γ β t t t d t d ... ... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... . ... B b A+ a+ A C
Figure 5.3 – Le quadrilatère AA+BC inscrit dans le polygone.
La démonstration consiste à construire un nouveau polygone convexe à (2m + 1) côtés unitaires de même périmètre, mais avec une largeur inférieure à l’original. La
5.1 - Étude sur les polygones convexes équilatéraux construction est basée sur une transformation du quadrilatère AA+BC en Aa+bC.
Afin de faire cela, notons b le point du plan xy satisfaisant kbCk = kBCk et dont l’ordonnée de b est légèrement inférieure à celle de B, et notons a+ un autre point
proche de A+ satisfaisant kAa+k = kAA+k et ka+bk = kA+Bk. Les points a+ et
b sont illustrés dans la partie droite de la figure 5.3, et sont localisés sur les arcs circulaires centrés en A et C.
Pour créer le nouveau polygone basé sur Aa+bC, on procède ainsi dans le sens
des aiguilles d’une montre à partir de C :
– On recopie tous les sommets entre C et A inclu.
– On considère la transformation qui préserve les distances et qui transforme A+
en a+ et B en b, puis en leur appliquant cette transformation, on ajoute tous
les sommets entre A+ et B inclus.
– On considère la rotation de centre C qui transforme B en b, et on l’applique à tous les sommets entre B et C.
Observons que les ordonnées de tous les sommets du nouveau polygone sont strictement inférieures à W∗
n, à l’exception peut-être de l’ordonnée yC de C.
Par construction, le nouveau polygone est équilatéral, avec le même périmètre que l’original, puisque toutes les transformations utilisées conservent les distances. La construction décroît la valeur des angles γ > 0 et α+ > 0 et croît celle de
α < π et β < π. Tous les autres angles restent inchangés. En prenant le sommet b suffisamment proche de B, ces inégalités restent valides pour le nouveau polygone, ce qui prouve qu’il est convexe.
Rappelons que la largeur du nouveau polygone ne peut être inférieure à la valeur minimale de W∗
n, ce qui implique nécessairement que yC = Wn∗. Or, le résultat issu
de la section 5.1.1 et illustré dans la figure 5.2 montre que la largeur du nouveau polygone est strictement inférieure à W∗
n, ce qui aboutit à une contradiction.
Ainsi, A+ = B.
Le lemme précédent assure que dans un polygone optimal, il y a un sommet adjacent à A tel que y = W∗
n. Ce résultat réduit le nombre des configurations
possibles et aboutit à la preuve de notre résultat principal.
Théorème 5.1.3 Le périmètre de tout polygone convexe équilatéral à (2m+1) côtés et de largeur unitaire est majoré par √2
3(2m + 1). Cette borne est atteinte à la limite
par des polygones arbitrairement proches du trapèze ˆTn.
Démonstration. Au lieu de maximiser le périmètre sur un polygone de largeur unitaire, la démonstration aborde la question équivalente de montrer que la largeur de tout polygone convexe équilatéral à (2m + 1) côtés avec un périmètre de ˆPn = √2n3
est supérieure à 1, et que cette borne inférieure est atteinte à la limite par des polygones arbitrairement proches du trapèze ˆTn.
Considérons un polygone convexe équilatéral à (2m + 1) côtés avec un périmètre de ˆPn et une largeur minimale Wn∗ > 0. Le lemme 5.1.2 assure que le sommet avec
y > 0 adjacent à A est B. Notons Z le sommet du polygone avec la plus grande abscisse sur la droite y = 0. Par symétrie avec le sommet A, le lemme 5.1.2 assure
que le sommet avec y > 0 adjacent à Z est sur la droite y = W∗
n. Ainsi, par convexité
du polygone, le polygone convexe équilatéral à (2m + 1) côtés avec un périmètre de ˆ
Pn et une largeur minimale Wn∗ est un trapèze, un parallélogramme ou un triangle.
Notons p le nombre de côtés du polygone sur la droite y = W∗
n et q le nombre
de côtés sur la droite y = 0. En appliquant une symétrie verticale si nécessaire, supposons que p ≤ q, les deux chemins de sommets consécutifs joignant A et Z satisfont q ≤ p + 2. C’est pourquoi, le nombre de côtés q ne peut prendre qu’une des valeurs suivantes : p, p + 1 ou p + 2. Mais puisqu’il y a au total p + q + 2 côtés, et que ce nombre est impair, il s’en déduit que la seule possibilité est q = p + 1. C’est pourquoi, le polygone convexe équilatéral à (2m + 1) côtés avec un périmètre de ˆPn
et une largeur minimale W∗
n est le trapèze ˆTn et donc Wn∗ = ˆWn= 1.
Le dernier théorème implique que le périmètre maximal d’un polygone convexe équilatéral à n côtés et de largeur unitaire est ˆPn = √23(2m + 1), lorsque n = 2m + 1.
Le résultat similaire sur le diamètre s’ensuit directement comme corollaire.
Corollaire 5.1.4 Le diamètre de tout polygone convexe équilatéral à (2m + 1) côtés et de largeur unitaire est majoré par 2m√
3. Cette borne est atteinte à la limite par des
polygones arbitrairement proches du trapèze ˆTn.
Démonstration. Pour n = 2m + 1, notons Pnle périmètre d’un polygone convexe
équilatéral de largeur unitaire. Les extrémités de toutes diagonales joignant deux sommets sont nécessairement jointes par un chemin d’au plus ⌊n
2⌋ = m sommets
consécutifs. En combinant ceci avec le fait que la longueur de chaque côté est Pn
n et
que le théorème 5.1.3fournit une borne supérieure, on obtient une borne supérieure du diamètre maximal du polygone : Pˆn
n × m = 2 √
3m. Cette borne est atteinte par le
trapèze ˆTn présentée dans la figure 5.1.