La r´epartition optimale des flots sur le r´eseau est un probl`eme bien connu sous le nom de (( Multi Commodity Flow Problem )) . Partant d’un ensemble de flots et d’un ensemble de routes possibles pour chacun d’entre eux, l’id´ee est de trouver le (ou les) chemin(s) sur lequel (lesquels) placer chacun des flots. Pour ce faire, il est n´ecessaire de proposer une ´evaluation des solutions trait´ees et le plus souvent, le d´elai moyen de bout en bout est le crit`ere retenu. L’ensemble de ces probl`emes est connu pour ˆetre NP difficile ([36]) aussi des techniques bas´ees principalement sur les m´ethodes de descentes admissibles ou sur des heuristiques permettent de les r´esoudre (voire [50]). Une extension du probl`eme o`u le nombre de chemins est contraint est propos´e par Duhamel et Mahey [86]. Les lecteurs int´eress´es pourront de r´ef´erer aux travaux de Pioro et Al. dans [40] pour plus de d´etails sur l’ensemble des travaux r´ealis´es sur ce sujet. N´eanmoins, mettre en place un tel routage n’est pas chose ais´ee. Il n’y a aucune garantie que le routage trouv´e pr´ec´edemment puisse ˆetre mis en place `a l’aide des protocoles de routage IP qui utilisent les plus courts chemins. Ce second probl`eme est lui connu sous le nom de (( Probl`eme Inverse des Plus Courts Chemins )) . Didier Burton l’a longuement ´etudi´e lors de sa th`ese [29]. Une autre formulation du probl`eme existe dans laquelle les auteurs cherchent `a maximiser le nombre de chemins pr´ec´edemment calcul´es qui sont effectivement mis en place par les m´etriques choisies (voir les travaux de Pioro et Al. dans [64] et ceux de Ameur et Al. dans [60]).
Pour contourner l’ensemble de ces probl`emes, une approche diff´erente peut ˆetre choisie : supposons que l’on ait d´ej`a un plan de routage d´efini par un ensemble de m´etriques donn´e. Quelles sont alors les
modifications de m´etrique permettant d’optimiser un crit`ere de performance ? Ce crit`ere de performance peut porter sur la QoS des flots et/ou sur l’utilisation des ressources du r´eseau. De plus, l’optimisation ´etant faite sur le fonctionnement nominal du r´eseau, qu’en est-il en r´egime de panne ? Il faut garantir des performances (( acceptables )) dans ce cas de figure ´egalement.
On peut trouver une d´efinition de ce probl`eme appel´e (( Flow Allocation Problem )) (FAP) dans les travaux de Bertsekas et Galager [13] et [15]. Bertsekas cherche l’ensemble des m´etriques IP permettant de satisfaire des contraintes d’utilisation sur les interfaces inf´erieures `a 100%. Ces travaux aboutissent sur un probl`eme lin´eaire qu’il prouve ˆetre NP difficile. De nombreux auteurs ont alors propos´e des heu- ristiques permettant de r´esoudre ce probl`eme (recuit simul´e, ajustement de m´etrique). Des techniques bas´ees sur la relaxation lagrangienne sont ´egalement propos´ees par Pioro dans [64]. L’ensemble de ces travaux ont des r´esultats limit´es, la raison principale ´etant la difficult´e et les temps de calculs n´ecessaires pour relier les changements de m´etriques aux ´evolutions de charges sur les interfaces.
Plus tard, Fortz et Thorup ont relanc´e la recherche sur ce sujet qui fut quelque peu d´elaiss´ee de part l’adh´esion mondiale `a MPLS. Ils publient alors deux articles [51] en 2000 et [62] 2 ans plus tard proposant une m´eta-heuristique bas´ee sur des notions de recherche locale menant `a une solution de bonne qualit´e et ce dans des temps de calculs relativement courts compar´es aux travaux plus anciens. Pour cela, ils proposent une structure de voisinage, s’inspirant fortement des particularit´es du routage, o`u un voisin est obtenu `a partir de la solution courante
– par un changement al´eatoire sur une et une seule m´etrique, – et par introduction de partage de charge.
Fortz et Thorup cr´eent ainsi un voisinage compos´e d’un cˆot´e de voisins al´eatoires permettant de sor- tir des minimas locaux et de voisins ajoutant du partage de charge de l’autre. Comme ce voisinage est relativement important, l’exploration est al´eatoire et porte sur 20% de ce voisinage. Les auteurs mettent ´egalement en place une recherche dite tabou permettant une sortie plus efficace des minimums locaux.
Les deux points cl´es associ´es `a l’´evaluation des voisins sont le routage et la propagation. Pour ´eviter des temps de calculs inacceptables, Fortz et Thorup proposent d’utiliser des techniques de propagation dynamique et de reroutage cibl´e. L’id´ee ´etant que quelques changements de m´etriques ne vont pas faire changer tout le routage et en cons´equence toutes les charges sur le r´eseau. Les deux auteurs obtiennent alors des r´esultats convaincants montrant que dans certains cas, le routage OSPF optimis´e peut ˆetre tr`es proche de la solution de r´epartition optimale des flots.
Partant de leurs travaux, nous proposons une modification de la structure du voisinage et du fonc- tionnement de l’algorithme menant `a deux contributions qui nous semblent int´eressantes : une diminu- tion des temps de calcul de part un voisinage plus petit, et une solution exploitable par les op´erateurs de part son aspect incr´emental.
Mod´elisation du probl`eme 69
3.2
Mod´elisation du probl`eme
Nous proposons dans cette partie un ensemble de notations et la mod´elisation nous permettant ainsi de poser de mani`ere claire le probl`eme que nous cherchons `a r´esoudre. Nous donnons ´egalement une d´efinition du coˆut du r´eseau.
A quelques diff´erence pr`es que nous avons volontairement introduites pour conserver les nota- tions pr´ec´edemment utilis´ees dans le chapitre2, la mod´elisation propos´ee est identique `a celle utilis´ee par Fortz et Thorup dans leurs travaux ([51] et [62]). Cette mod´elisation permet principalement une d´efinition ais´ee de la propagation dynamique des flots et de la mise `a jour cibl´ee des routes suite `a des modifications de m´etriques.
3.2.1 Mod´elisation de la topologie
Le r´eseau sera mod´elis´e sous la forme d’un graphe orient´e dont les nœuds correspondent aux routeurs et les arcs aux interfaces de communication des routeurs. On note N le nombre de nœuds
du graphe et L le nombre d’arcs du graphe. A chaque arc a du graphe est associ´e un poids wa qui
repr´esente la m´etrique de l’interface correspondante et qui peut prendre toute valeur dans l’intervalle
Ω =1, 216− 1. ´Etant donn´e une solution admissible w= (w
1, . . . , wL), on lui associe
– Dix(w), la distance du nœud i au nœud destination, x,
– δxi,j(w), qui vaut 1 si l’arc (i, j) est sur un plus court chemin vers la destination x et 0 sinon,
– etnx i(w) =
P
jδxi,j(w), qui repr´esente le nombre d’arcs sortants du nœud i qui sont sur un plus
court chemin vers le nœud destinationx.
Ces notations permettent de repr´esenter les plus courts chemins (PCC) dans un graphe. Elles sont illustr´ees sur la figure3.2dans laquelle la destinationx est 3, et o`u les m´etriques sont indiqu´ees sur les
arcs du graphe.