Matrices ` a Signes Alternants et le mod` ele ` a 6 vertex

F.2.7 Des int´egrales de contour

Dans ce travail on a préféré utiliser une autre méthode. Soit a = {a1, . . . , an}, où ai ≥

ai−1 pour tous n ≥ i > 1, an≤ 2n et a1 ≥ 1.

On introduit l’int´egrale de contour :

Φa(y1, . . . , y2n) = 2n Y i<j (qyi− q−1yj) I . . . I Y i dwi 2πi Qn j>i(wj− wi)(qwi− q −1_w j) Q j≤ai(wi− yj) Q j>ai(qwi− q −1_w j) (F.4)

où l’intégration est faite autour des pôles wj = yi mais pas des pôles wj = q−2yi.

On prouve dans la section1.6que ces quantit´es Φa(y1, . . . , y2n) engendrent le mˆeme

espace vectoriel que les polynˆomes Ψπ. En fait il existe un changement triangulaire (et

inversible) de bases :

Φa(y1, . . . , y2n) =

πa

Ca,πΨπ(y1, . . . , y2n).

F.2.8 La limite homog`ene

Quand on a yi = 1 pour tout i, les ´equations se simplifient. Utilisant la transformation

de variables :

ui =

wi− 1

qwi− q−1

on obtient facilement la formule : φa= I . . . I Y i dui 2πiuai i Y j>i (uj − ui)(1 + τ uj+ uiuj)

On peut maintenant calculer le vecteur ψ. Malheureusement ces int´egrales sont encore trop difficiles et la transformation de bases Ca,π est compliqu´ee.

F.3 Matrices à Signes Alternants et le modèle à 6 vertex

Dans cette section on introduit trois modèles, les Matrices à Signes Alternants (ASM), le 6-vertex et les boucles compactes (FPL - Fully Packed Loops). Tous ces modèles sont en bijection (voir chapitre 3). On calcule la fonction de partition du modèle à 6 vertex qui nous permettra de compter, par exemple, les ASM. Dans la dernière sous-section on présente le théorème de Razumov–Stroganov.

F.3.1 Matrices `a Signes Alternants

Une Matrice à Signes Alternants est une matrice carrée composée uniquement de 0 et de ±1, de manière à ce que si l’on ignore les 0, les 1 et les −1 alternent sur chaque ligne ou chaque colonne, et que chaque ligne (et colonne) débute et termine par un 1. Voyons les 7 exemples du cas n = 3 :

0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Le nombre de matrices de taille n × n est donn´e par la formule : An= n−1 Y j=0 (3j + 1)! (n + j)! = 1, 2, 7, 42, 429, . . . (F.5)

Cette expression fut prouvée par Zeilberger [80]. Mais c’est la preuve trouvé par Kuper- berg [44] qui nous intéresse, celle-ci utilise un autre modèle, le 6-vertex.

F.3.2 Mod`ele `a 6 vertex

Prenons un réseau carré de taille n × n. À chaque arête on associe une orientation (une flèche) telle que chaque sommet a deux flèches entrantes et deux flèches sortantes. Il n’y a donc que 6 configurations possibles pour un vertex (d’où le nom du modèle). Ici, on impose que toutes les flèches dans les bords gauche et droit soient entrantes et celles au-dessus et en dessous soient entrantes. On peut prouver qu’il y a une bijection entre les configurations de ce modèle et les ASM. Voyons les sept configurations de taille n = 3 :

F.3.3 La fonction de partition

On donne `a chaque vertex un poids :

| {z }

qz−q−1_w | _z−w{z } |_(q−1_−q){z√_zw}

o`u w (resp. z) caract´erise les colonnes (resp. les lignes). On utilise {yn+1, . . . , y2n} (resp.

{y₁, . . . , yn}) pour chaque colonne (resp. ligne). q est un param`etre global qui vaut,

normalement, e2πi/3.

La fonction de partition est d´efinie par : Zn= (−1)( n 2)(q−1− q)−n 2n Y i=1 y_i−1/2 X configurations n Y i,j wi,j

F.3. MATRICES À SIGNES ALTERNANTS ET LE MOD ÈLE À 6 VERTEX 143 où wi,j est le poids de la configuration de chaque sommet.

Le point intéressant est que ce modèle est aussi intégrable, dans le sens que l’on peut aussi construire une matrice R, similaire à celle du modèle CPL (dans la section F.2), qui obéit aussi à l’équation de Yang–Baxter. Cela nous permet de découvrir plusieurs propriétés de la fonction de partition :

• la fonction de partition est un polynˆome homog`ene dans les variables {y1, . . . , y2n} ;

• le degr´e total est δ = n(n − 1) et le degr´e partiel est δi = n − 1 ;

• la fonction de partition est un polynˆome sym´etrique dans les ensembles {y1, . . . , yn}

et {yn+1, . . . , y2n} ;

• la fonction de partition obéit à la relation de récurrence suivante : Zn(y1, . . . , yn, yn+1= q2y1, . . . , y2n) = (−1)n−1 n Y i=2 (y1− yn+i)(yi− yn+1)Zn−1(y2. . . , yn−1, yn+1, . . . , y2n); (F.6)

• si q = e2πi/3_{, la fonction de partition est un polynˆ}_{ome sym´}_{etrique en {y}

1, . . . , y2n}.

Ces propriétés permirent à Izergin de calculer la fonction de partition : Zn(y1, . . . , y2n) =

i,j(yi− yn+j)(qyi− q−1yn+j)

i<jQ(yi− yj)(yn+i− yn+j)

× det 1≤i,j≤n 1 (yi− yn+j)(qyi− q−1yn+j)

pour q g´en´eral.

Pour q = e2πi/3_{, cette formule se simplifie. En fait on obtient une fonction de Schur :}

Zn(y1, . . . , yn, yn+1, . . . , y2n) = sYn(q

−1_y

1, . . . , q−1yn, qyn+1, . . . , y2n). (F.7)

Pour prouver ces deux formules il suffit de prouver qu’elles ont toutes les propriétés citées ci-dessus.

Un exemple d’application de cette formule est le calcul du nombre d’ASM. Si l’on fixe tous les poids yi `a la valeur q pour 1 ≤ i ≤ n et yi = q−1 pour n < i ≤ 2n, on

obtient que la fonction de partition est d’un cˆot´e un multiple du nombre de Matrices `

a Signes Alternants, et de l’autre qu’elle est ´egal `a la fonction de Schur sYn(1, . . . , 1).

Après quelques calculs pas très difficiles on obtient le résultat désiré.

F.3.4 Boucles compactes

Il y a plusieurs modèles qui sont en bijection avec les ASM. Par exemple, le modèle de glace carré, certains modèles de chemins, ... Celui qui nous intéresse particulièrement est le modèle à boucles compactes (FPL - Fully Packed Loops).

Prenons un réseau carré n × n. Par chaque sommet il y a un et seulement un chemin qui passe. Donc, ou bien les chemins commencent dans le bord et finissent au bord, au bien ce sont des chemins fermés (ils forment des boucles). On considère des conditions de bords typeparois de domaines(DWBC - Domain Wall Boundary Condition). De

toutes les arêtes qui sont au bord, une sur deux est traversée par un chemin, de manière alternée. Voyons, par exemple, toutes les sept configurations pour n = 3 :

On a groupé les configurations par leur connectivité au bord. L’absence de croisement entre les arches est une conséquence du fait qu’en chaque sommet passe un seul un chemin.

On d´efinit la quantit´e Aπ comme le nombre de configurations FPL dont la connec-

tivité est π. En 1991, Wieland [79] prouva que ces quantités sont stables par réflexion et par rotation de leur connectivité π.

Evidemment P

πAπ = An. Remarquez que les connectivit´es correspondent aux mo-

tifs d´efinis dans la sectionF.2. En fait la connexion est encore plus profonde :

Théorème F.2 (Razumov–Stroganov [65]). Les composantes ψπ de l’état fondamental

du modèles à boucles denses, normalisé de manière à ce que la composante la plus petite vaille 1, comptent les configurations du modèle à boucles compactes avec connectivité π :

ψπ = Aπ

Ce théorème a été démontré par Cantini et Sportiello en 2010 [8].

Dans le document Alternating Sign Matrices, completely Packed Loops and Plane Partitions (Page 158-161)