Matrices de Rotation

Supposons donc que l’une des particules du corps soit fix´ee, par exemple `a l’origine des coordonn´ees, et attardons-nous aux trois degr´es de libert´e de rotation. Consid´erons un rep`ere cart´esienS, dont les axes sont fixes dans l’espace et les vecteurs de base sont not´es(e₁,e₂,e₃). Un deuxi`eme rep`ere cart´esien,S⁰, a ses axes fixes par rapport `a l’objet et ses vecteurs de base sont not´es(e<sup>0</sup><sub>1</sub>,e<sub>2</sub><sup>0</sup>,e<sup>0</sup><sub>3</sub>); ce deuxi`eme rep`ere est qualifi´e demobile. Le deuxi`eme rep`ere peut ˆetre exprim´e en fonction du premier, `a l’aide d’une matrice R, dont les composantes sont not´eesRij:

e⁰_i=Ri1e₁+Ri2e₂+Ri3e₃=Rije_j (3.1) (nous adopterons laconvention de sommation, par laquelle on somme sur les indices r´ep´et´es). La position rd’un point mat´eriel peut alors ˆetre exprim´ee dans l’une ou l’autre base :

r=xie_i=x⁰_ie⁰_i =x_i⁰Rije_j=x⁰_jRjie_i (3.2) En faisant correspondre les coefficients de e_i de part et d’autre – ce qui est l´egitime puisque les e_i forment une base – on trouve

xi =x⁰_jRji (3.3)

D´esignons parxle vecteur-colonne abritant les composantesx_i(et de mˆeme pourx⁰). On ´ecrit alors

x=eRx⁰ et donc x⁰=eR⁻¹x (3.4)

o `uRed´esigne la transpos´ee de la matriceR.

1. `A condition qu’elles ne soient pas situ´ees sur une mˆeme droite, bien s ˆur.

Notation Nous allons utiliser les caract`eres sans s´erif pour d´esigner les vecteurs-colonnes et les ma-trices (ex.x,R,A), mais les caract`eres italiques ordinaires pour leurs composantes (ex.xi,Rij). Les ca-ract`eres gras seront r´eserv´es aux vecteurs g´eom´etriques (ex.r). La distinction entreretxest importante : rest un objet g´eom´etrique ind´ependant de la base utilis´ee, alors quexest un ensemble de composantes dans une base donn´ee.

La relation entre les deux rep`eresSetS⁰est une rotation, et doit pr´eserver la distance entre deux points, en particulier la norme du vecteur r. Cette norme au carr´e peut s’exprimer, en notation matricielle, commeexxet donc une condition essentielle sur la matriceRest

ex⁰x⁰ =_e^xx=(^{gRxe 0})^{Rxe 0} =_e^x0ReRx0 (3.5) Comme cette relation doit s’appliquer sur tous les vecteurs x⁰ pour une matrice R donn´ee, on doit conclure queReR=1: l’inverse de la matriceRest sa transpos´ee. On peut ´egalement ´ecrire cette condi-tion commeRRe =1Sachant cela, la relation ci-haut entrexetx⁰devient

x⁰ =^Rx et x=^{Rxe 0} (3.6)

Une matrice dont l’inverse co¨ıncide avec sa transpos´ee est dite orthogonale. Ces matrices ont les pro-pri´et´es suivantes :

1. La relationRRe =1signifie que les colonnes deRforment une base orthonorm´ee.

2. Le produit de deux matrices orthogonales est encore orthogonal. En effet, sieR₁R₁=1eteR₂R₂=1, alors(^Rg₁^R2)(^R₁^R2) =Re₂Re₁R₁R₂=Re₂R₂=1.

3. L’ensemble des matrices orthogonales forment ce qu’on appelle ungroupe, qu’on noteO(n)dans l’espace `andimensions (ici on s’int´eresse `aO(3)). Pour qu’un ensemble de matrices forment un groupe, il faut que :

– le produitg1g2de deux ´el´ements de l’ensemble soit encore un ´el´ement de l’ensemble.

– chaque ´el´ement gcomporte un inverseg⁻¹dans l’ensemble (donc la matrice identit´e doit ap-partenir `a l’ensemble).

4. Le d´eterminant d’une matrice ´etant ´egal `a celui de sa transpos´ee, on a la relation det(eRR) = (detR)<sup>2</sup> =1, c’est-`a-dire que le d´eterminant d’une matrice orthogonale est±1. Si le d´eterminant est+1, alors la matriceRest qualifi´ee dedirecte, sinon elle estindirecte.

e1

FIGURE3.1 `A gauche : rotation passive d’un angleθ par rapport `a l’axe desz. `A droite, rotation active correspondante.

La matrice qui effectue une rotation d’angleθautour de l’axe deszest

R(z,θ) =

3.1. Cin´ematique des corps rigides Cette matrice, appliqu´ee `a un vecteurx, produit les composantes du vecteurx<sup>0</sup>qui repr´esente le mˆeme vecteur position r, mais cette fois dans le rep`ere S⁰ en rotation par rapport au rep`ere S (voir partie gauche de la figure3.1).

On montre que, pour un axe de rotation g´en´eral n, les composantes de la matrice de rotation sont donn´ees par l’expression suivante :

Rij=ninj(1−^cosθ) +δ_ijcosθ+ε_ijknksinθ (3.8) ou encore

R(n,θ) =







n²_x(1−^cosθ) +cosθ nxny(1−^cosθ) +nzsinθ nxnz(1−^cosθ)−nysinθ nynx(1−^cosθ)−nzsinθ n²_y(1−^cosθ) +cosθ nynz(1−^cosθ) +nxsinθ nznx(1−^cosθ) +nysinθ nzny(1−^cosθ)−nxsinθ n²_z(1−^cosθ) +cosθ





 (3.9) Cette repr´esentation est g´en´erale : toute matrice de rotation directe (donc de d´eterminant unit´e) peut ˆetre caract´eris´ee par un axe de rotationnet un angle de rotationθ.

Th´eor`eme 3.1 : Th´eor`eme d’Euler

Toute matrice de rotation directeRpeut ˆetre caract´eris´ee par un axe de rotationnet un angle de rotation θautour de cet axe.

Preuve:

Consid´erons l’identit´e suivante, valable pour une matrice orthogonale :

(¹−^R)^Re= (^Re−¹) (3.10)

Prenons le d´eterminant de chaque membre de cette ´equation et appliquons la propri´et´e detA= detA,e ainsi que la propri´et´e detR=detRe=1 pour une matrice orthogonale directe. On trouve alors

det(1−^R) =det(Re−¹) =det(R−¹) =−^det(1−^R) (3.11) la derni`ere ´egalit´e s’appliquant `a toute matrice 3×3. On conclut que det(^R−¹) =0, ce qui signifie que 1 est toujours une valeur propre deR. Appelonsnle vecteur propre correpondant `a cette valeur propre : Rn = n. Ce vecteur n’est donc pas affect´e par la rotation et d´etermine l’axe de rotation : tout multiple de ce vecteur restera aussi invariant par application de la rotation, et la droitex=αn(α∈R) constitue l’axe de rotation.

D’autre part, la matriceRest forc´ement diagonalisable, car elle est normale.²Elle poss`ede donc trois valeurs propresλ_1,2,3. On sait par ailleurs que le d´eterminant d’une matrice est le produit de ses valeurs propres, et que sa trace est la somme de ses valeurs propres :

detR=λ₁λ₂λ₃ et trR=λ₁+λ₂+λ₃ (3.12) Comme detR=1, on a doncλ₁λ₂λ₃=1. Comme on vient de le voir, on peut choisirλ₃=1, ce qui nous laisse avecλ₁λ₂=1. De plus, comme une matrice orthogonale est r´eelle, son polynˆome caract´eristique est `a coefficients r´eels et ses racines sont soit r´eelles, soit existent en paires complexes conjugu´ees. Nous avons donc deux possibilit´es :

1. λ₁=λ₂⁻¹est r´eel. Dans ce cas, les vecteurs propres deRseraient ´egalement r´eels. Soitxun vecteur propre associ´e `a la valeur propreλ<sub>1</sub>. CommeRx=λ<sub>1</sub>x, on voit que la rotation ne pr´eserve pas la longueur du vecteurx, `a moins queλ₁= λ₂= 1 ouλ₁= λ₂= −1. Dans le premier cas,Rest la matrice identit´e. Dans le deuxi`eme cas,Rd´ecrit une rotation deπautour de l’axen.

2. λ₁=λ^∗₂etλ₁est unimodulaire : on peut l’´ecrire sous la forme e^iθ. Dans ce cas, trR=1+2 cosθ etθ, en comparant avec l’expression (3.7), est bien l’angle de rotation.

Dans tous les cas, la direction du vecteur propre associ´e `a la valeur propreλ₃ = 1 est la direction de l’axe de rotation, car un vecteur dans cette direction n’est pas affect´e par la rotation :Rx=^x.

2. Rappelons qu’une matriceAest ditenormalesiAA^†=A^†A. Une matrice normale est diagonalisable.