§ Soit 𝐸 un espace vectoriel de base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ). Soit 𝑓 un endomorphisme de 𝐸 tel que 𝑓(𝑖 ) = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 et 𝑓(𝑗 ) = 𝑐𝑖 + 𝑑𝑗 où 𝑎; 𝑏; 𝑐 et 𝑑 sont quatre réels. On appelle matrice de 𝑓 dans la base ℬ le tableau noté 𝑀(𝑓;ℬ) ou 𝑀𝑓 tel que 𝑀𝑓 = (𝑎 𝑐
𝑏 𝑑)
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SAYOU Lynda Une matrice est dite carrée si elle comporte autant de lignes que de colonnes. Dans ce cas, ce nombre de ligne est appelé ordre de la matrice.
L’ensemble des matrices carrées d’ordre 𝑛 à coefficients dans ℝ est souvent noté ℳ𝑛(ℝ).
§§ Soient 𝐴 = (𝑎 𝑐
𝑏 𝑑) et 𝐵 = (𝑎′ 𝑐′
𝑏′ 𝑑′) deux matrices et 𝑘 un réel. On a : 𝐴 + 𝐵 = (𝑎 + 𝑎′ 𝑐 + 𝑐′
𝑏 + 𝑏′ 𝑑 + 𝑑′) ; 𝑘𝐴 = (𝑘𝑎 𝑘𝑐
𝑘𝑏 𝑘𝑑) ; 𝐴 × 𝐵 = (𝑎 𝑐
𝑏 𝑑) × (𝑎′ 𝑐′
𝑏′ 𝑑′) = (𝑎𝑎′+ 𝑐𝑏′ 𝑎𝑐′+ 𝑐𝑑′
𝑏𝑎′+ 𝑑𝑏′ 𝑏𝑐′+ 𝑑𝑑′) 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |𝑎 𝑐
𝑏 𝑑| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 La matrice 𝐴 = (𝑎 𝑐
𝑏 𝑑) est inversible si et seulement si 𝑑é𝑡𝐴 ≠ 0 et l’inverse 𝐴−1 de 𝐴 est définie par 𝐴−1 = 1
𝑑é𝑡𝐴( 𝑑 −𝑐
−𝑏 𝑎 ) Exercices :
Exercice 1 :
Soit ℬ(𝑖 , 𝑗 ) une base d’un espace vectoriel 𝐸 et 𝑓: 𝐸 ⟶ 𝐸 définie par 𝑓(𝑖 ) = 𝑖 − 2𝑗 et 𝑓(𝑗 ) = 3𝑖 − 𝑗 un endomorphisme de 𝐸.
Montrer que 𝑓 est un automorphisme.
Exercice 2 :
𝑓 et 𝑔 sont deux endomorphismes d’un espace vectoriel 𝐸 de base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ) tel que 𝑓(𝑖 ) = 2𝑖 + 3𝑗 , 𝑓(𝑗 ) = 5𝑖 − 4𝑗 et 𝑀𝑔= ( 3 8
−4 1).
1- Déterminer 𝑀𝑓.
2- Déterminer 𝑔(𝑖 ) et 𝑔(𝑗 ).
Exercice 3 :
Dans une base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ) de 𝐸, 𝑒⃗⃗⃗ (−1; 2), 𝑒1 ⃗⃗⃗ (1; −1) et 𝑀2 (𝑓;ℬ)= (2 −3 4 1 ).
1- Vérifier que ℬ′ = (𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ ) est une base de 𝐸. 2 2- Ecrire 𝑖 puis 𝑗 en fonction de 𝑒⃗⃗⃗ et 𝑒1 ⃗⃗⃗ . 2 3- Déterminer la matrice de 𝑓 dans la base ℬ′.
Exercice 4 : Calculer : ( 2 −3
−1 4 ) + (6 −6 8 5 ) 4 × (1 −2
3 5 ) ( 2 −3
−1 4 ) × (6 −6 8 5 )
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MATRICES
SAYOU Lynda (6 −6
8 5 ) × ( 2 −3
−1 4 ) 𝑑é𝑡 ( 2 −3
−1 4 ) Exercice 5 :
Dans chacun des cas suivants, dire si la matrice 𝐴 est inversible. Si oui, déterminer son inverse 𝐴−1 1- 𝐴 = ( 3 −5
−2 4 ) 2- 𝐴 = ( 2 −6
−1 3 ) Exercice 6 :
Le plan vectoriel 𝒲 est muni d’une base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ). On définit l’application 𝑓 de 𝒲 vers 𝒲 par: ∀𝑤⃗⃗ ∈ 𝒲, 𝑤⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , 𝑓(𝑤⃗⃗ ) = (𝑥 − 2𝑦)𝑖 + (−𝑥 + 2𝑦)𝑗
1- Montrer que 𝑓 est un endomorphisme de 𝒲.
2- Déterminer la matrice 𝑀 de 𝑓 dans la base 𝐵. 𝑓 est-elle un automorphisme? Justifier votre réponse.
3- Déterminer :
a) 𝐾𝑒𝑟𝑓 et une base de 𝐾𝑒𝑟𝑓.
b) 𝐼𝑚𝑓 et une base de 𝐼𝑚𝑓.
4- On considère les vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 de 𝒲 tels que 𝑢⃗ = 𝑖 + 2𝑗 et 𝑣 = −𝑖 + 𝑗 . a) Montrer que ℬ′ = (𝑢⃗ , 𝑣 ) est une base de 𝒲.
b) Déterminer la matrice 𝑀′ de 𝑓 dans la base ℬ′.
Exercice 7 :
Soit 𝐸2 un plan vectoriel rapporté à une base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ), 𝑔 l’endomorphisme de 𝐸2 qui à tout vecteur 𝑢⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 associe le vecteur 𝑢′⃗⃗⃗ = 𝑥′𝑖 + 𝑦′𝑗 tel que 𝑢′⃗⃗⃗ = (𝑘𝑥 +1
2𝑦) 𝑖 + (−2𝑘𝑥 − 𝑘𝑦)𝑗 où 𝑘 est un réel.
1- Déterminer la matrice de 𝑔 dans la base ℬ.
2- Déterminer l’ensemble des valeurs de 𝑘 pour lesquelles 𝑔 est un automorphisme.
3- Déterminer les valeurs de 𝑘 pour lesquelles 𝑔 est involutive (𝑔 ∘ 𝑔 = 𝐼𝑑𝐸2).
4- Dans toute la suite, on pose 𝑘 = 1.
a) Déterminer le noyau 𝐾𝑒𝑟𝑔 et l’image 𝐼𝑚𝑔 de 𝑔. On donnera une base pour chacun.
b) En déduire que 𝐾𝑒𝑟𝑔 = 𝐼𝑚𝑔.
c) Soit 𝑣 un vecteur de 𝐾𝑒𝑟𝑔. Montrer qu’il existe un vecteur 𝑢⃗ de 𝐸2 tel que 𝑔(𝑢⃗ ) = 𝑣 . d) Soient 𝑒⃗⃗⃗ et 𝑒1 ⃗⃗⃗ de coordonnées respectifs (−1; 2) et (−1; 1). 2
i) Montrer que ℬ′ = (𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ ) est une base. 2 ii) Donner la matrice de 𝑔 dans la base ℬ′.
Exercice 8 :
On considère un espace vectoriel 𝐸 de base (𝑖 , 𝑗 ), 𝑓 est l’endomorphisme de 𝐸dont la matrice dans la base (𝑖 , 𝑗 ) est 𝑀𝑓= (4 𝑚
𝑚 −4) où 𝑚 est un nombre réel. 𝐹 est l’ensemble des vecteurs 𝑢⃗ de 𝐸 tels que 𝑓(𝑢⃗ ) = 5𝑢⃗ .
1- Déterminer l’ensemble des valeurs de 𝑚 pour lesquelles 𝑓 est un automorphisme.
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SAYOU Lynda 2- On suppose pour la suite que 𝑚 = 3 et on pose 𝑒⃗⃗⃗ = 3𝑖 . 2
a) Montrer que 𝐹 est une droite vectorielle dont on precisera une base 𝑒⃗⃗⃗ . 1 b) Montrer que (𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ ) est une base de 𝐸. 2
c) Ecrire la matrice 𝑀′𝑓 de 𝐸 dans la base (𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ ). 2 Exercice 9 :
Soit 𝐸 le plan vectoriel rapporté à la base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ). On considère l’endomorphisme 𝑓 de 𝐸 dans 𝐸 tel que pour tout vecteur 𝑢⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 de 𝐸, on a 𝑓(𝑢⃗ ) = 3(𝑥 − 2𝑦)(𝑖 + 𝑗 ).
1- Ecrire la matrice de 𝑓 dans la base ℬ.
2- Trouver la matrice de 𝑓 ∘ 𝑓 dans la base ℬ.
3- Déterminer le noyau de 𝑓 et en preciser une base.
4- Déterminer 𝑓(𝐸) et préciser une base de 𝐼𝑚𝑓.
5- Soient 𝑒⃗⃗⃗ = −2𝑖 + 𝑗 1 et 𝑒⃗⃗⃗ = 𝑖 + 𝑗 2 .
a) Justifier que ℬ′ = (𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒1 ⃗⃗⃗ ) est une base de 𝐸. 2 b) Trouver la matrice de 𝑓 dans la base ℬ′.
Exercice 10 :
𝐸 est un plan vectoriel de base ℬ = (𝑖 , 𝑗 ) et 𝑓 l’endomorphisme de 𝐸 défini par {𝑓(𝑖 − 3𝑗 ) = 𝑖 + 𝑗 𝑓(2𝑖 − 𝑗 ) = −5𝑖 . 1- Ecrire la matrice de 𝑓 dans la base ℬ.
2- 𝑓 est-il bijectif ? Si oui, déterminer la matrice de sa bijection réciproque 𝑓−1.
3- Soit l’endomorphisme 𝑔 de ℝ2 vers ℝ2 qui à tout vecteur 𝑢⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 associe le vecteur 𝑢′⃗⃗⃗ = 𝑥′𝑖 + 𝑦′𝑗 tel que {𝑥′= −𝑥 + 3𝑦
𝑦′ = 2𝑥 − 6𝑦.
Déterminer le noyau 𝐾𝑒𝑟𝑔 et l’image 𝐼𝑚𝑔 de 𝑔. (On précisera une base 𝑒⃗⃗⃗ de 𝐾𝑒𝑟𝑔 et une base 1 𝑒2
⃗⃗⃗ de 𝐼𝑚𝑔.)
4- Déterminer l’expression analytique de 𝑔 ∘ 𝑓.
Exercice 11 :
Le plan vectoriel réel 𝐸 est muni d’une base (𝑖 , 𝑗 ). On désigne par 𝜑 l’endomorphisme de 𝐸 qui à tout vecteur 𝑢⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 associe le vecteur 𝜑(𝑢⃗ ) = [(√2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 1)𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑡]𝑖 + [2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑡 + (√2𝑐𝑜𝑠𝑡 + 1)𝑦]𝑗 où 𝑡 ∈ ℝ.
1- Donner la matrice 𝑀 de 𝜑 dans la base (𝑖 , 𝑗 ).
2- a) Déterminer les valeurs de 𝑡 pour lesquelles 𝜑 n’est pas bijectif.
b) Représenter les valeurs trouvés sur le cercle trigonométrique.
Exercice 12 :
Le plan vectoriel 𝒱2 est muni d’une base (𝑖 , 𝑗 ), 𝑢⃗ = 2𝑖 + 𝑗 et 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗 deux vecteurs de 𝒱2. 1- Montrer que (𝑢⃗ ; 𝑣 ) est une base de 𝒱2.
2- Déterminer les coordonnées de 𝑖 et 𝑗 dans la base (𝑢⃗ ; 𝑣 ).
3- En déduire les coordonnées de 𝑤⃗⃗ = 𝑖 + 3𝑗 dans (𝑢⃗ ; 𝑣 ).
4- Soit 𝐿⃗ le vecteur de coordonnées (𝑥, 𝑦) dans la base (𝑖 , 𝑗 ) et (𝑎, 𝑏) dans la base (𝑢⃗ ; 𝑣 ). Exprimer 𝑎 et 𝑏 en fonction de 𝑥 et 𝑦.
MINESEC GPM-Mai2020 Année scolaire 2019-2020 Cluster PC TRAVAUX DIRIGES Vecteurs de l’espace
Placer un point dans un repère de l’espace EXERCICE 1 :
ABCDEFGH est un cube d’arête 1. Dans le repère (A;−→
1. Donner les coordonnées des points A, E et H dans le repère (A;−→
AB;−−→ AD;−→
AE).
2. Placer M, N etP sur la figure.
3. Propose un autre repère de l’espace de ton choix et donne les coordonnées de chacun points A,B, C,D,E,F,G et H dans ton repère.
Points alignés dans l’espace EXERCICE 2 :
ABCDEFGH est un cube, I est le milieu du segment[HF].
Le pointM vérifie :2−−→
IM =−−→
M A 1. Exprimer le vecteur −−→
AM en fonction du vecteur −→ AI.
3. Déduire que les points E,M et C sont alignés Droites parallèles dans l’espace
EXERCICE 3 :
ABCD est un tétraèdre, I est le milieu du segment [AB].
E est le symétrique de D par rapport C.
F est un point tel que −→
AF =−−→
DB
1. Démontrer par une méthode de votre choix que :
−→EF =−2−→ IC
2. Justifier que les droites (IC) et (EF) sont parallèles dans l’espace.
2. Existe-t-il des réels a etb tels que les droites42 / 58(AC) et (BD)sont parallèles ?
Vecteurs coplanaires EXERCICE 5 :
ABCDEFGH est un cube I, J et T sont les milieux respectifs de [EF], [BC] et[AC]
ABCDEFGH est un pavé droit.I est le milieu de [BF].
1. Les vecteurs −→
Ces quatre points sont-ils coplanaires ? Justifier.
Calcul dans le repère Orthonormal EXERCICE 8 :
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O;−→ i ;−→
1. Déterminer les coordonnées du milieuI du segment [AB]
2. Calculer la distance AB puis la norme du vecteur −→ U
1. Déterminer l’équation paramétrique de la droite (AB).
2. Déterminer l’équation du plan de repère (O;−→ i ;−→
j ).
3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de la droite (AB) avec le plan de repère (O;−→ i ;−→
j )
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