Soit Eun espace vectoriel muni d’une base B= (~a
On appelle matrice de changement de base, de la base Bà la baseB0, la matrice de l’identité :
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 39 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Soit Eun espace vectoriel muni d’une base B= (~a
On appelle matrice de changement de base, de la base Bà la baseB0, la matrice de l’identité :
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Soit Eun espace vectoriel muni d’une base B= (~a
On appelle matrice de changement de base, de la base Bà la baseB0, la matrice de l’identité :
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 39 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Soit Eun espace vectoriel muni d’une base B= (~a
On appelle matrice de changement de base, de la base Bà la baseB0, la matrice de l’identité :
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 40 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 1
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 40 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 1
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la base B.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0) DoncP
1P
2est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B) P1P
2=In
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 41 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE
Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la base B.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0) DoncP
1P
2est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B) P1P
2=In
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la baseB.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0) DoncP
1P
2est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B) P1P
2=In
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la baseB.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0) DoncP
1P
2est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B) P1P
2=In
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la baseB.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0)
DoncP
1P
2est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B) P1P
2=In
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la baseB.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0) DoncP
1P
2 est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B)
P1P
2=In
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité.
Soit Eun espace vectoriel muni d’une baseB= (~a
1,a~
2,· · · ,a~n) et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base deE Soit P
1la matrice de passage de la baseB à la baseB0 etP
2la matrice de passage de la baseB0à la baseB.
É P
1est la matrice de l’application Id : (E,B0)7−→(E,B)
É P
2est la matrice de l’application Id : (E,B)7−→(E,B0) DoncP
1P
2 est la matrice deId : (E,B)7−→(E,B) P1P
2=In
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Théorème :SiB= (a~
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) sont deux bases d’un espace vectorielE de dimensionn,
É La matriceP, ayant pour colonneiles coordonnées du vecteura~0i sur la base {a~j}(1≤j≤n)est inversible.
É P=M
(id,B0,B) P−1=M
(id,B,B0)
É SiX est la matrice colonne des coordonnées dans la base Bd’un vecteurx~∈Eet X0 est la matrice colonne des coordonnées dans la base B0 dumême vecteurx~ :
X=PX0 et X0=P−1X
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Théorème :SiB= (a~
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) sont deux bases d’un espace vectorielE de dimensionn,
É La matriceP, ayant pour colonneiles coordonnées du vecteura~i0sur la base {a~j}(1≤j≤n)est inversible.
É P=M
(id,B0,B) P−1=M
(id,B,B0)
É SiX est la matrice colonne des coordonnées dans la base Bd’un vecteurx~∈Eet X0 est la matrice colonne des coordonnées dans la base B0 dumême vecteurx~ :
X=PX0 et X0=P−1X
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Théorème :SiB= (a~
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) sont deux bases d’un espace vectorielE de dimensionn,
É La matriceP, ayant pour colonneiles coordonnées du vecteura~i0sur la base {a~j}(1≤j≤n)est inversible.
É P=M
(id,B0,B) P−1=M
(id,B,B0)
É SiX est la matrice colonne des coordonnées dans la base Bd’un vecteurx~∈Eet X0 est la matrice colonne des coordonnées dans la base B0 dumême vecteurx~ :
X=PX0 et X0=P−1X
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Théorème :SiB= (a~
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) sont deux bases d’un espace vectorielE de dimensionn,
É La matriceP, ayant pour colonneiles coordonnées du vecteura~i0sur la base {a~j}(1≤j≤n)est inversible.
É P=M
(id,B0,B) P−1=M
(id,B,B0)
É SiX est la matrice colonne des coordonnées dans la base Bd’un vecteurx~∈Eet X0 est la matrice colonne des coordonnées dans la base B0 dumême vecteurx~ :
X=PX0 et X0=P−1X
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Théorème :SiB= (a~
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) sont deux bases d’un espace vectorielE de dimensionn,
É La matriceP, ayant pour colonneiles coordonnées du vecteura~i0sur la base {a~j}(1≤j≤n)est inversible.
É P=M
(id,B0,B) P−1=M
(id,B,B0)
É SiX est la matrice colonne des coordonnées dans la base Bd’un vecteurx~∈Eet X0 est la matrice colonne des coordonnées dans la base B0 dumême vecteurx~ :
X=PX0 et X0=P−1X
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Soit l’espace vectoriel R3 rapporté à sa base canonique {e~
1,e~
2,e~
3}.
Soit les trois vecteurs :
~
La matrice de passage de la base canonique à la base B0 est :
P=
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Soit l’espace vectoriel R3 rapporté à sa base canonique {e~
1,e~
2,e~
3}.
Soit les trois vecteurs :
~
La matrice de passage de la base canonique à la base B0 est :
P=
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Soit l’espace vectoriel R3 rapporté à sa base canonique {e~
1,e~
2,e~
3}.
Soit les trois vecteurs :
~
La matrice de passage de la base canonique à la base B0 est :
P=
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 43 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Soit l’espace vectoriel R3 rapporté à sa base canonique {e~
1,e~
2,e~
3}.
Soit les trois vecteurs :
~
La matrice de passage de la base canonique à la base B0 est :
P=
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Exercice 3 : L’inverse de la matrice Pest :
P−1= 1
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Exercice 3 : L’inverse de la matrice Pest :
P−1= 1
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Exemple 2
Exercice 3 : L’inverse de la matrice Pest :
P−1= 1
Paris Descartes Mathématiques et calcul 15 décembre 2009 44 / 54
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Effet sur une matrice
Soit Eun espace vectoriel de dimensionn, muni d’une base B= (~a
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base de E
Soit Mla matrice d’une application linéairef de Edans Edans la baseB
Proposition : SiPest la matrice de passage de la baseBà la baseB0, la matrice :
M0=P−1MP
est la matrice de l’application f dans la baseB0.
Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Effet sur une matrice
Soit Eun espace vectoriel de dimensionn, muni d’une base B= (~a
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base de E
Soit Mla matrice d’une application linéairef de Edans Edans la baseB
Proposition : SiPest la matrice de passage de la baseBà la baseB0, la matrice :
M0=P−1MP
est la matrice de l’application f dans la baseB0.
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Matrices Changement de bases
Matrice de passage
Effet sur une matrice
Soit Eun espace vectoriel de dimensionn, muni d’une base B= (~a
1,a~
2,· · · ,~an)et B0= (a~0
1,a~0
2,· · ·,a~0n) une nouvelle base de E
Soit Mla matrice d’une application linéairef de Edans Edans la baseB
Proposition : SiPest la matrice de passage de la baseBà la baseB0, la matrice :
M0=P−1MP
est la matrice de l’application f dans la baseB0.
Matrices Changement de bases