Sur la figure 5.19, les SER bistatiques obtenues par les méthodes IE-DDM avec et sans préconditioneur HLU sont comparées au résultat de la MoM-MLFMA. Il y a une bonne correspondance entre les quatre courbes.
-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 -180 -135 -90 -45 0 45 90 135 180 SER (dB.m 2 ) Angle d'observation θ (°) MoM - MLFMA IE-DDM - sans HLU IE-DDM - εHLU=10-1 IE-DDM - εHLU=10-2 IE-DDM - εHLU=10-3
Figure 5.19 – SER bistatique dans le plan ˆxz en polarisation θ
Sur la figure 5.20, nous affichons la convergence externe du solveur MGCR-DDM. Celle-ci est comparée avec la convergence de la MoM. La méthode IE-DDM nécessite 32 itérations pour converger contre environ 450 pour la MoM. Il est intéressant de constater que le nombre d’itérations pour simuler cet avion en mono-domaine a triplé entre le cas PEC et le cas Léontovitch (155 itérations pour le PEC, 450 pour le Léontovitch). En revanche, pour la méthode IE-DDM, le nombre d’itérations externes est quasiment le même (31 pour le PEC, 32 pour le Léontovitch). Cela prouve que la méthode IE-DDM est un bon préconditionneur, spécialement pour la formulation des matériaux Léonto- vitch.
L’apport du préconditionneur HLU dans le cadre de la résolution des matériaux Léontovitch est très intéressant malgré le coût de la décomposition HLU partielle des blocs CFIE. En effet, la convergence interne (figure 5.21) est fortement améliorée par rapport à la convergence interne sans préconditionneur HLU. Concernant les temps de calcul sur le tableau 5.4, nous notons que le préconditionneur HLU grossier est de nouveau la solution la plus performante sur le temps total de simulation.
10-3 10-2 10-1 100 0 100 200 300 400 500 Nor me du r ésidu r ela tif Itération
MoM - sans HLU IE-DDM - sans HLU IE-DDM - εHLU=10-1 IE-DDM - εHLU=10-2 IE-DDM - εHLU=10-3
Figure 5.20 – Convergence externe
0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 30 35 Nombr e d'itérations inter nes Itération externe
IE-DDM - sans HLU IE-DDM - εHLU=10-1 IE-DDM - εHLU=10-2 IE-DDM - εHLU=10-3 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 5 10 15 20 25 30 35 Nombr e d'itérations inter nes Itération externe
IE-DDM - sans HLU IE-DDM - εHLU=10-1
IE-DDM - εHLU=10-2
IE-DDM - εHLU=10-3
(a) Sous-domaine 1 (b) Sous-domaine 2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0 5 10 15 20 25 30 35 Nombr e d'itérations inter nes Itération externe
IE-DDM - sans HLU IE-DDM - εHLU=10-1
IE-DDM - εHLU=10-2
IE-DDM - εHLU=10-3
(c) Sous-domaine 3
5.5. Conclusion du chapitre Précision de la décomposition HLU Temps d’assemblage (s) Temps de résolution (s) Temps total (s) Sans HLU 7 039 8 345 15 419 εHLU= 10−1 7 676 494 8 206 εHLU= 10−2 8 526 500 9 061 εHLU= 10−3 9 885 557 10 477
Table 5.9 – Temps CPU des résolutions
5.5 Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons d’abord présenté le préconditionneur mis en place et qui est basé sur la résolution locale des sous-domaines.
Pour le mettre en œuvre, nous avons développé un solveur itératif MGCR-DDM, une variante du MGCR. La description de cet algorithme a mis en relief une nouvelle étape propre au préconditionneur utilisé. Elle est appelée résolution interne. En effet, tous les sous-domaines vont être résolus indépendamment à chaque itération du solveur MGCR-DDM qui est appelée résolution externe. La résolution interne utilise le solveur GCR pour résoudre le sous-domaine car il n’y a qu’un second membre à résoudre à chaque itération externe. Nous avons d’abord testé ce solveur sur un objet parfaite- ment conducteur éclairé par une seule onde plane. La première constatation était que le nombre d’itérations externes était fortement réduit par rapport à une MoM sans précon- ditionneur. Cependant, nous avons aussi constaté que le coût d’une itération IE-DDM était sensiblement plus important qu’une itération MoM à cause de la résolution interne. Nous avons remarqué que cette résolution interne était même l’étape la plus coûteuse du solveur ; nous avons donc exploré plusieurs pistes pour l’accélérer. La première piste consistait à recycler les espaces de Krylov mais il était difficile de choisir quel sous- espace recycler. Toutefois, il serait intéressant d’approfondir cette piste par la suite. La deuxième possibilité consistait à calculer une solution plus grossière des sous-domaines à chaque itération externe. Cependant, avec une solution interne trop grossière, la solution externe n’est plus recherchée dans le bon espace de Krylov et est donc dégradée. Enfin, la dernière solution consistait à profiter de la représentation hiérarchique des matrices de sous-domaines. Ainsi, on peut calculer leur décomposition HLU pour l’utiliser en tant que préconditionneur des résolutions internes. Nous avons noté que bien que la décom- position HLU puisse être longue à calculer, les temps de résolution étaient fortement réduits.
Étant donné que l’un des objectifs de la thèse est de développer une méthode efficace pour la résolution de seconds membres multiples, nous avons testé le solveur MGCR- DDM sur la diffraction de 360 ondes planes. Nous avons d’abord constaté que le solveur MGCR-DDM réduisait fortement le nombre d’itérations externes pour converger vers une solution finale comparée à un solveur MoM sans préconditionneur. De plus, nous avons noté le fort impact du préconditionnement HLU de la résolution interne. Cette technique est particulièrement bénéfique pour des applications nécessitant un grand nombre de produits matrice-vecteur.
Enfin, nous avons testé le solveur MGCR-DDM sur un objet Léontovitch. L’observa- tion de la convergence externe a montré que la formulation IE-DDM était un excellent préconditionneur pour la simulation des matériaux Léontovitch. De plus, la décomposi- tion HLU partielle des blocs CFIE Léontovitch permet un très bon préconditionnement de la résolution interne.
Nous avons désormais présenté tous les points importants de la méthode : le dé- veloppement d’une formulation IE-DDM, sa représentation hiérarchique combinée à l’approximation ACA des interactions lointaines et le solveur MGCR-DDM avec pré- conditionneur HLU pour la résolution de la formulation IE-DDM. Nous allons donc maintenant étudier la diffraction d’ondes planes et le rayonnement d’antennes aéropor- tées sur de larges plateformes. La méthode IE-DDM va être parallélisée pour être portée sur supercalculateurs. Les performances de la méthode IE-DDM seront ensuite compa- rées aux performances de la MoM avec ses solveurs directs, FMM et ACA ainsi qu’à des mesures quand elles sont disponibles.
Chapitre 6
Simulation électromagnétique de
larges plateformes
6.1 Introduction du chapitre
La méthode IE-DDM que nous avons développée a pour objectif de simuler des problèmes de grande taille. Dans cette étude, nous avons considéré les deux applications suivantes :
— diffraction d’ondes planes par un avion afin de calculer les SER bistatiques et monostatiques,
— rayonnement d’antennes aéroportées.
Les cas de validation présentés précédemment étaient de taille relativement faibles (moins de 25 000 degrés de liberté) et pouvait être traités sur les stations de travail usuelles. Cependant, certaines études que nous allons présenter dans ce chapitre ne peuvent plus tourner sur ces stations. Il devient nécessaire de paralléliser la méthode IE-DDM pour la porter sur supercalculateur. Pour cela, nous avons développé trois niveaux de parallélisation : OpenMP, MPI et hybride MPI /OpenMP. Ensuite, nous proposons cinq études sur la simulation électromagnétique de modèles d’avions. Dans ces études, nous nous efforcerons de valider la précision de la méthode sur des cas com- plexes en comparant les observables avec des mesures expérimentales et des logiciels de référence (MoM et solveur DDM). En outre, nous mettrons en évidence les avantages et les limites de la méthode IE-DDM par l’étude des performances de calcul.
NB1 : Les maillages de modèles d’avions utilisés ont été générés à partir de leur CAO avec le logiciel GiD. Nous précisons qu’hormis la décomposition en sous-domaines, la CAO n’a pas été simplifiée. De plus, les modèles approchés utilisés (Fokker F100, ATR 42 et Mirage III ) ont permis de tester la méthode IE-DDM sur des géométries réalistes mais les observables calculés à partir des simulations réalisées sur ces modèles n’ont pas vocation à représenter les véritables caractéristiques de ces aéronefs.
NB2 : Toutes les études sont réalisées en configuration CFIE avec un coefficient α = 0.5.
6.2. Parallélisations de la méthode IE-DDM