6.3
Marcheurs en cavit´e
6.3.1 Couplage entre ondes du marcheur et cavit´e
L’´etude de la dynamique des marcheurs confin´es dans des cavit´es a ´et´e initi´ee dans les exp´eriences d’effet tunnel. Deux configurations distinctes ont ´et´e mises en place en utilisant des cavit´es de forme carr´ee ou triangulaire. Dans les deux cas, la trajectoire suivie par un marcheur montre une sensibilit´e `a la m´emoire de chemin. La pr´esence de sources nombreuses `a la surface conduit `a une d´estabilisation des trajectoires limites observ´ees loin du seuil de l’instabilit´e de Faraday.
La forme de la cavit´e qui limite la trajectoire d´efinit la forme du cycle limite d´ecrit, le marcheur ´etant r´efl´echi par les parois quand celles-ci sont suffisamment ´epaisses. Les collisions successives conduisent `a une trajectoire r´eguli`ere du marcheur dans la cavit´e. Ces trajectoires typiques sont pr´esent´ees sur la figure 6.1. Dans la g´eom´etrie carr´ee, la trajectoire est d´ecal´ee par rapport `a la cavit´e. Cet effet est `a mettre `a l’actif des propri´et´es sp´ecifiques de la r´eflexion des marcheurs : les angles d’entr´ee et de sortie (par rapport `a la normale) ne sont pas ´egaux.
Ces cycles se d´estabilisent lorsque l’influence des ondes est plus importante. En effet, si la m´emoire de chemin est importante, on peut observer une influence grandissante de la trajectoire pass´ee, qui conduit, in fine, `a des travers´ees tunnel des barri`eres de potentiel. Comment r´eagit un marcheur si le confinement est herm´etique ? Il va subir l’influence des points visit´es dans le pass´e et il est possible que le syst`eme rejoigne un r´egime chaotique. Pour tester cette hypoth`ese, une premi`ere s´erie d’exp´eriences a ´et´e entreprise en choisissant une nouvelle g´eom´etrie, circulaire cette fois.
6.3.2 Cavit´e circulaire
Une cavit´e circulaire est plac´ee dans le bain. Elle est form´ee par un cadre en laiton et d´epos´e au fond de la cellule de travail. Le cadre, de diam`etre int´erieur Dc, est ´epais ;
la profondeur d’huile est r´eduite `a h1 = 0.5 mm. Cette configuration permet d’assurer
une ´etanch´eit´e au niveau des ondes de surface entre l’int´erieur et l’ext´erieur de la cavit´e : l’instabilit´e de Faraday peut ˆetre d´eclench´ee `a l’ext´erieur du cadre sans que la surface interne de la cavit´e ne soit perturb´ee.
Avec ce dispositif, un marcheur lˆach´e de mani`ere quelconque se place le long d’une tra- jectoire circulaire apr`es quelques rebonds sur les bords de la cavit´e (fig. 6.2 (a)). Le rayon de cette orbite d´epend `a la fois du diam`etre de la cavit´e Dc et de la vitesse du
marcheur VW. Ces trajectoires limites existent loin du seuil de l’instabilit´e de Faraday.
(a)
(b)
Figure 6.1 – (a) Mode propre d’une cavit´e en forme de triangle, observ´ee au cours d’une exp´erience d’effet tunnel sans passage du marcheur au-dessus de la barri`ere. (b) Mode propre d’une cavit´e carr´ee.
la trajectoire semble ˆetre d´esordonn´ee (fig. 6.2 (b)).
Des exp´eriences ont ´et´e men´ees avec deux huiles de viscosit´e µ = 10 · 10−3 Pa.s et µ = 20 · 10−3 Pa.s, les fr´equences, acc´el´erations de for¸cage et tailles de gouttes ´etant adapt´ees `a l’huile utilis´ee. Le motif de l’instabilit´e de Faraday au seuil est circulaire, mais son axisym´etrie est bris´ee (fig. 6.2 (b)). On peut le d´ecrire comme la combinaison d’une fonction Jn de Bessel et d’une partie angulaire π-p´eriodique. Le seuil de d´eclenchement
de l’instabilit´e γF d´epend du rayon Rc de la cavit´e et augmente lorsque Rc diminue en
dessous de quelques λF. Un marcheur est d´epos´e dans la cavit´e circulaire et sa trajec-
toire est enregistr´ee en fonction de l’acc´el´eration impos´ee γm. L’objectif est d’´etudier
l’´evolution de la trajectoire du marcheur quand la m´emoire de chemin augmente.
6.3.3 Evolution des trajectoires avec la m´´ emoire de chemin
Les trajectoires observ´ees d´ependent `a la fois des propri´et´es du marcheur et du rayon de la cavit´e.
– Si l’on utilise un marcheur rapide et une cavit´e relativement large, les trajectoires observ´ees correspondent `a celle des figures 6.3 (a-c). Le cycle limite circulaire exis- tant loin du seuil de Faraday se d´estabilise pour laisser place `a une trajectoire ´
epicyclo¨ıdale (form´ee par la superposition de deux cercles), qui correspond `a l’ap- parition d’une deuxi`eme fr´equence dans le mouvement du marcheur. L’origine de cette deuxi`eme fr´equence n’est pas comprise, mais elle pourrait correspondre `a celle
6.3. MARCHEURS EN CAVIT ´E 117
(a)
(b)
Figure 6.2 – (a) Marcheur dispos´e dans une cavit´e circulaire avec une m´emoire de chemin faible. La trajectoire est circulaire, et les ondes associ´ees sont centr´ees sur la goutte. (b) Marcheur dispos´e dans une cavit´e circulaire avec une m´emoire de chemin impor- tante. La trajectoire est d´esordonn´ee et les ondes sur la surface sont complexes.
qui existe dans les modes de promenades oscillantes et d’´epicycles `a deux gouttes mis en ´evidence par S. Proti`ere dans sa th`ese [69]. Ce comportement s’amplifie et finit par conduire `a une trajectoire d´esordonn´ee lorsque l’on se place a des valeurs de Γ = γF−γm
γF 1.
– Avec des marcheurs lents dans une cavit´e plus petite (fig. 6.3 (d-f)), on constate que la s´equence observ´ee est l´eg`erement diff´erente : la trajectoire initiale n’est pas circulaire, mais d´ej`a ´epicyclo¨ıdale, et elle se d´estabilise en une forme de huit, la seconde fr´equence s’accordant dans un rapport12 avec celle de rotation du marcheur dans la cavit´e. Ce huit laisse place, au voisinage du seuil de l’instabilit´e de Faraday, `
a des trajectoires d´esordonn´ees semblables `a celles observ´ees pour des marcheurs rapides.
6.3.4 Vers un chaos spatiotemporel ?
Peut-on caract´eriser l’´evolution observ´ee ?
Les ´epicycles et les huit correspondent `a l’apparition d’une seconde fr´equence dans la trajectoire. On choisit de se placer en coordonn´ees polaires (R, θ) pour d´ecrire la position du marcheur, et l’on trace R en fonction du temps pour les diff´erents cas de figure exp´erimentaux (fig. 6.4). Dans le cas d’un marcheur rapide, la trajectoire circulaire
−10 0 10 −10 0 10 −10 0 10 −10 0 10 −10 0 10 −10 0 10
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(mm)
(a)
(b)
(c)
−10 0 10 −10 0 10(mm)
(mm)
(d)
−10 0 10 −10 0 10(mm)
(mm)
(f)
−10 0 10 −10 0 10(mm)
(mm)
(e)
Figure 6.3 – Trajectoires enregistr´ees dans des cavit´es circulaires. (a-c) Avec une cavit´e de diam`etre Dc = 27.9 mm et une huile de viscosit´e µ = 20 · 10−3 Pa.s. (a) Γ = 19%
et VW = 5.1 ± 0.1 mm/s (b) Γ = 10% et VW = 6.5 ± 0.1 mm/s (c) Γ = 2% et
VW = 6.3 ± 0.1 mm/s. (d-f) Avec une cavit´e de diam`etre Dc = 19.85 mm et une
huile de viscosit´e µ = 10 · 10−3 Pa.s. (d) Γ = 13% et VW = 12 ± 0.1 mm/s (e)
6.3. MARCHEURS EN CAVIT ´E 119 2 4 6 8 0 0 20 40 60 80 100 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 5 0 10 5 0 10 5 R (mm) R (mm) R (mm) R (mm) t (s) t (s) t (s) t (s) (a) (c) (b) (d)
Figure 6.4 – Distance R(t) entre le marcheur et le centre de la cavit´e en fonction du temps t. (a) Dc = 27.9 mm, µ = 20 · 10−3 Pa.s, Γ = 19% et VW = 5.1 ± 0.1 mm/s
(b) Dc = 27.9 mm, µ = 20 · 10−3 Pa.s, Γ = 10% et VW = 6.5 ± 0.1 mm/s. (c
Dc = 19.85 mm, µ = 10 · 10−3Pa.s, Γ = 9% et VW = 12 mm/s. (d) Dc = 27.9 mm,
µ = 20 · 10−3 Pa.s, Γ = 2% et VW = 6.3 ± 0.1 mm/s.
correspond `a un rayon R(t) constant (fig. 6.4 (a)). L’apparition d’´epicycles co¨ıncide avec des oscillations de R `a la seconde fr´equence (fig. 6.4 (b)). Quand cette seconde fr´equence r´esonne avec la fr´equence de rotation avec un rapport 12, le marcheur d´ecrit des huit dans la cavit´e, et le rayon pr´esente des oscillations d’amplitude importante (fig. 6.4 (c)). Enfin, dans le r´egime d´esordonn´e observ´e au voisinage imm´ediat du seuil, le rayon semble ´
evoluer de mani`ere al´eatoire (fig. 6.4 (d)). Les bouff´ees r´eguli`eres correspondent `a une succession de boucles serr´ees, qui peuvent ˆetre ferm´ees sur elles-mˆemes. La taille typique de ces boucles semble ˆetre reli´ee `a λF et pourrait correspondre aux auto-orbites obtenues
dans les exp´eriences en rotation.
Quelle est la nature du d´esordre que pr´esente la trajectoire ? S’agit-t-il d’une transition vers un chaos spatio-temporel ?