4.6 Écoulements incompressibles
4.6.2 Marche en temps
Dans cette section on relate les travaux [2, 10] concernant la discrétisation en temps des équations de NSI instationnaires,
Btuν△ui Bjpuiujq Bip fi dans Ωp0, tFq, iPt1, . . . , du, (4.48a)
Biui0 dans Ωp0, tFq, (4.48b) u0 surBΩp0, tFq, (4.48c)
upx, t0qu0 dans Ω (4.48d)
xpyΩ0 dansp0, tFq, (4.48e)
où encore une fois dPt2, 3u, ν¡0 dénote la viscosité dynamique et et f PrL2
pΩqs
d la force volumique.
Le schéma monolithique de [10] Une première famille de schémas de discrétisation en temps couplée avec la discrétisation en espace de [12] a été proposée dans [10]. On considère ici un schéma monolithique où le bilan de la quantité de mouvement et la contrainte de divergence nulle sont résolus en même temps. Comme la dérivée temporelle de la pression n’apparaît pas dans l’équation de conservation de la masse (4.48b), la matrice de masse du système est singulière. Cette difficulté est contournée dans [10] en utilisant des schémas de Runge–Kutta sémi-implicits de type Rosenbrock. La méthode résultante est appliquée dans [10] à une variété de problèmes modèle, et la robustesse par rapport à la convection est montrée en résolvant le problème d’Euler incompressible dans les configurations test de Liu et Shu [LS00] et Bell, Colella et Glaz [BCG89]. Les avantages principaux de cette famille de schémas sont essentiel-lement liés à la possibilité d’obtenir une discrétisation en temps d’ordre élevé, et aux bonnes propriétés de stabilité des schémas de type Runge–Kutta. Cependant la solution monolithique du système issu de la discrétisation ressent du mauvais conditionnement de ce dernier. Comme remarqué par Hesthaven et Warburton [HW08, §1.1], le déve-loppement de solveurs efficaces pour les systèmes discrets issus de l’approche dG est moins avancé que pour d’autres méthodes, ce qui demande d’envisager des schémas de marche en temps plus efficaces.
Le schéma de correction de pression de [2] Afin de réduire le coût de la marche en temps, dans [2] on propose un schéma de correction de pression inspiré par [GQ98]. Pour réduire le couplage entre la conservation de la quantité de mouvement et la conser-vation de la masse, on considère une formulation non stabilisée avec vitesse discontinue et pression continue. L’analyse de la méthode appliquée au problème de Stokes insta-tionnaire est effectuée dans [1, §6.3], et son extension aux équations de Navier–Stokes complètes est en cours [17].
Le principe des méthodes de correction de pression consiste à résoudre les équa-tions de conservation de la quantité de mouvement et de la masse de manière indé-pendante, et ensuite corriger la vitesse par une projection sur l’espace des fonctions à divergence (discrète) nulle. Cette dernière étape peut être formulée comme un pro-blème de Poisson pour l’incrément de pression avec une condition fictive de Neumann homogène au bord ; voir [2, eq. (8)] et [1, §6.3.2] pour plus de détails. Ce n’est que sur la première approximation de la vitesse que les conditions au bord sont imposées (de manière faible), tandis que la deuxième prend en charge la contrainte d’incompressibi-lité.
La méthode de correction de pression originale est due à Chorin [Cho68] et Temam [Tem68]. Une forme incrémentale a été ensuite proposée par Goda [God79], et une variante du second ordre par Van Kan [VK86]. Comme remarqué par Karniadakis et Sherwin [KS04], les méthodes de correction de pression montrent un intérêt particulier à grand nombre de Reynolds. Dans ce cas, les solveurs monolytiques sont souvent mis en échec par le mauvais conditionnement du problème discret, et leur applicabilité aux simulations tridimensionnelles à large échelle est limitée. En outre, l’effet de la condition au bord fictive sur la pression diminue à grand nombre de Reynolds ; voir, p.e., [2, Figure 2].
Soit Th un maillage simplicial conforme [1, Définition 1.29] et considérons, par simplicité, une partition de l’interval temporelp0, tFqen N pas de temps δt. Pour k¥1 on définit les espaces discrets suivants :
UhdefrPk dpThqs d , PhdefPkdpThq{R, XhdefUhPh, où PkdpThq def vh PC0pThq|vh|T PPk dpTqT PTh (
est l’espace des polynômes de degré total inférieur ou égale à k et globalement continus dans Ω. Le terme diffusif est discrétisé à l’aide de la forme bilinéaire ahPLpU:
U:, Rqsuivante : ahpw, vq def d ¸ i1 asiph pwi,viq,
Pour le couplage vitesse-pression on utilise encore la forme bilinéaire bhdéfinie par (4.43), en remarquant que le terme d’interface comportant les sauts du deuxième argument de bh est nul car Ph P: (voir (4.41)) et les éléments de P:sont continus presque par-tout aux interfaces9. Pour le terme de convection non linéaire, on retiendra la forme trilinéaire th (4.46). La méthode de correction de pression consiste à résoudre succes-sivement les deux problèmes suivants pour nPt0, . . . , N1u:
(i) Trouver ˜un 1h PUhtel que, pour tout vh PUh,
δt1
p˜un 1h unh,vhqL2pΩq νahp˜un 1h ,vhq thp˜un 1h ,˜un 1h ,vhq bhpvh,pnhq fhn 1; (4.49a)
(ii) Trouver un 1h PUhet pn 1h PPhtels que # δt1 pun 1h ˜un 1h ,vhqL2 pΩq bhpvh,pn 1h pn hq0 vhPUh, bhpun 1h ,qhq0 qhPPh. (4.49b)
Le problème (4.49b) peut être classiquement découplé en un problème de Poisson avec conditions de flux nul au bord pour l’incrément de pression pn 1h pn
hplus une expres-sion explicite pour la vitesse un 1h .
Dans [1, §6.3] on prouve la convergence de l’algorithme appliqué au problème de Stokes instationnaire,
Btu△ui Bipfi dans Ωp0, tFq, iPt1, . . . , du, (4.50a)
Biui0 dans Ωp0, tFq, (4.50b)
u0 surBΩp0, tFq, (4.50c)
upx, t0qu0 dans Ω (4.50d)
xpyΩ0 dansp0, tFq, (4.50e)
Pour une fonction du temps fptqon note fn fptnqpour tout n P t0, . . . , N1u. Pour tout nPt0, . . . , N1u, on introduit la projection de Stokes de la solution exacte
pun,pnqobtenue en résolvant le problème suivant : Trouverpwnh,rhnqPXht.q. ahpwnh,vhq bhpvh,rnhqp△un ∇pn,vhq
rL2
pΩqs
d vhPUh,
bhpwnh,qhq0 qhPPh.
Théorème 4.25 (Estimation du taux de convergence pour la vitesse). Soitpu, pqla solution de (4.50) et supposons, de plus, qu
(i) uPC2 pr0, tFs;rL2 pΩqs d qXC1 pr0, tFs;rHk 1 pThqs d q; (ii) pPC2 pr0, tFs; L2 pΩqqXC1 pr0, tFs; Hk pThqq; (iii) les choix initiaux u0h, ˜u0het p0hsont tels que
}u0hw0h} rL2 pΩqs d }˜u0hw0h} rL2 pΩqs d¤Cphk 1 δtq, (4.51a) }˜u0hw0h}dG¤Cδt1{2 phk 1 δtq, (4.51b) }∇pp0hrh0q} rL2 pΩqs d¤C, (4.51c)
où C dénote une constante indépendante à la fois du pas de maillage h et du pas de temps δt. Alors, pour δt 1, il existe Cu,pdépendent de normes bornées de u et p mais indépendant à la fois du pas de maillage h et du pas de temps δt tel que
}uuh}C0 pr0,tFs;rL2 pΩqs d q }u˜uh}C0 pr0,tFs;rL2 pΩqs d q ¤Cu,pphk 1 δtq, (4.52a) N ¸ n0 δt}un˜unh} 2 dG 1{2 ¤Cu,pphk δtq. (4.52b)
Théorème 4.26 (Estimation du taux de convergence pour la pression). Admettons les
hypothèses du Théorème 4.25, et supposons, de plus que (i) uPC3pr0, tFs;rL2pΩqs d qXC2pr0, tFs;rHk 1pThqs d q; (ii) pPC3 pr0, tFs; L2 pΩqqXC2 pr0, tFs; Hk pThqq;
up1, 0q
(a) Description du problème (b) Lignes de courant pour Re2104
Figure 4.4 – Le problème de la cavité entraînée.
(iii) les choix initiaux sont tels que
}˜u0hw0h} rL2 pΩqs d }u0hw0h} rL2 pΩqs d ¤Cδtphk δtq, (4.53a) }˜u0hw0h}dG¤Cδt1{2 phk δtq, (4.53b) }∇pp0hr0hq} rL2 pΩqs d ¤Cphk δtq, (4.53c)
où C dénote une constante indépendante à la fois du pas de maillage h et du pas de temps δt. Alors, il existe Cu,pdépendent de normes bornées de u et p mais indépendant à la fois du pas de maillage h et du pas de temps δt tel que
}pph}L2pp0,tFq;L2pΩqq
¤Cu,pphk δtq.