Considere-se o cabo AB da Fig. 3.3 submetido, agora, ao seu peso próprio p (x). A Fig. 3.5 considera o diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal do cabo com comprimento
dS0, submetido somente seu peso próprio, p(x), onde dx e dy são os comprimentos infinitesimais nas direções x e y, H0 e H0 + dH0 as forças horizontais, V0 e V0 + dV0 as forças verticais nas
extremidades do elemento, bem como o ângulo A que representa a inclinação do elemento
Figura 3.5 - Diagrama de corpo livre de um elemento de cabo sujeito ao peso próprio Aplicando-se as condições de equilíbrio no elemento e considerando que o termo de ordem superior dx2 seja aproximadamente igual a zero, pode-se escrever as seguintes expressões:
∑ 𝐻 = → = (3.37)
∑ 𝑉 = → = − (3.38)
∑ = → = ′ = 𝑉
𝐻 (3.39)
Da Eq. (3.37) pode-se concluir que a força horizontal H0 no cabo é constante. Derivando-se a
Eq. (3.39) e com auxílio das Eqs. (3.38) e (3.12) tem-se a Eq. (3.40), que é a equação diferencial do elemento de cabo na sua posição de equilíbrio.
" = −𝐻 √ + ′ (3.40)
Integrando-se a Eq. (3.40), tem-se a tangente à curva do cabo ou rotação A, dada pela
expressão:
′ = sinh −
𝐻 + (3.41)
Integrando a Eq. (3.41), chega-se a equação da curva do cabo representada por uma catenária, dada pela Eq. (3.42).
= −𝐻 cosh −𝐻 + + (3.42)
Como já dito anteriormente, as constantes C1 e C2 dependem da geometria inicial do cabo e
serão definidas a seguir considerando-se as variáveis conhecidas h, A, xv e fv. H0+ dH0 y x A B dx A p (x) dy H0 V0 V0 + dV0 dS0
3.2.3.1 Cabos suspensos com os apoios desnivelados
Analogamente ao estudo desenvolvido para o cabo parábola, considere a estrutura da Fig. 3.3 com os apoios desnivelados, onde o apoio B (L, h) apresenta um desnível h em relação ao apoio
A (0, 0). São analisadas três condições em função das variáveis conhecidas: h e A, ou h e xv, ou h e fv.
a)
Variáveis h e A conhecidasPara se determinar os valores das constantes C1 e C2 das Eqs. (3.41) e (3.42) consideram-se as
seguintes condições de contorno: para x = 0 ′ = tan (A) e yA = 0, obtendo-se:
= sinh− [tan ] (3.43)
= 𝐻 cosh{sinh− [tan ]} (3.44)
Levando-se as Eqs. (3.43) e (3.44) nas Eqs. (3.41) e (3.42), encontram-se a equação da tangente à curva do cabo, Eq. (3.45), e a equação da configuração de equilíbrio do cabo dada pela equação catenária, Eq. (3.46).
′ = sinh {−
𝐻 + sinh− [tan ]} (3.45)
= −𝐻 {cosh {−𝐻 + sinh− [tan ]} − cosh{sinh− [tan ]}} (3.46)
A força horizontal H0 é calculada por tentativas aplicando-se a condição de contorno: para
x = L yB = h, que substituindo-se na Eq. (3.46) obtém-se:
ℎ = −𝐻 {cosh {−𝐻𝐿+ sinh− [tan ]} − cosh{sinh− [tan ]}} (3.47)
Conhecendo-se a força horizontal, H0, e integrando-se a Eq. (3.12) com o auxílio da Eq. (3.45),
= −𝐻 {sinh {−𝐻𝐿+ sinh− [tan ]} + sinh{sinh− [tan ]}} (3.48)
Como já mostrado, a força de tração no cabo, T, tendo em vista a Fig. 3.5, onde H0 é constante,
é definida pela Eq. (3.15), dada por:
T = 𝐻𝜃
Sabendo-se que cos = , com a ajuda das Eqs. (3.12) e (3.45), obtém-se à força de tração (T) no cabo que varia continuamente em intensidade e direção ao longo de toda a sua extensão.
= cosh {−𝐻 + sinh− [tan ]} (3.49)
Dessa forma, conhecidos o peso próprio do cabo, p, a inclinação do cabo no apoio A, A, e o
desnível h, é possível determinar, por tentativas, a força horizontal, H0 através da Eq. (3.47).
Com o valor de H0, a curva do cabo, y, o comprimento do cabo, S0, e a força de tração no cabo, T são determinados pelas Eq. (3.46), (3.48) e (3.49), respectivamente.
Apoio A (0, h) com desnível h em relação ao apoio B (L, 0)
Analogamente à condição anterior determinam-se as constantes C1 e C2 das Eqs. (3.41) e (3.42)
aplicando-se as condições de contorno do problema: para x = 0 ′ = tan (A), para x = 0 yA = h, têm-se:
= sinh− [tan ] (3.50)
= 𝐻 cosh{sinh− [tan ]} + ℎ (3.51)
Substituindo-se os valores das constantes C1 e C2 nas Eqs. (3.41) e (3.42), encontram-se as
equações da tangente à curva do cabo, Eq. (3.45) e a equação da catenária, Eq. (3.52), definindo- se a configuração de equilíbrio do cabo suspenso.
= −𝐻 {cosh {−𝐻 + sinh− [tan ]} − cosh{sinh− [tan ]}} + ℎ (3.52)
A força horizontal H0 é calculada ao se aplicar a seguinte condição de contorno: para
ℎ =𝐻 {cosh {−𝐻𝐿+ sinh− [tan ]} − cosh{sinh− [tan ]}} (3.53)
Então, conhecidos p, L, h, A, determina-se H0 por tentativas pela Eq. (3.53), com isso, encontra-
se y, T e S0, através das Eqs. (3.52), (3.49) e (3.48), respectivamente.
b)
Variáveis h e xv conhecidasVoltando-se à Fig. 3.3 e substituindo-se na Eq. (3.45) a condição de contorno em que para
x = xv y’ = 0, tem-se:
tan = sinh 𝐻 (3.54)
Pode-se ver que a Eq. (3.54) ainda continua indeterminada porque está em função da força horizontal, H0. Para se obter esse esforço, deve-se substituir a Eq. (3.54) na Eq. (3.46), que será
calculado por tentativas, onde se sugere que para a primeira tentativa seja utilizado o valor de
H0 dado pela Eq. (3.22). Após calculado, o valor de H0 deverá ser substituído na Eq. (3.54) para
que seja corrigida a tangente de A.
No caso em que o apoio A (0, h) com desnível h em relação ao apoio B (L, 0), a condição de contorno e a equação são as mesmas utilizadas anteriormente para obtenção da variável A.
Portanto, segue-se o mesmo procedimento descrito, onde sugere-se a Eq. (3.24) para a primeira tentativa de se obter o valor de H0.
c)
Variáveis h e fv conhecidasVoltando-se à Fig. 3.3 e substituindo-se na Eq. (3.46) a condição de contorno em que para
x = xvy = fv, e com o auxílio da Eq. (3.54), tem-se:
tan = 𝐻 (√ + 𝐻 ) (3.55)
onde, a força horizontal, H0, é obtida por tentativas, substituindo-se a Eq. (3.55) na Eq. (3.47),
Eq. (3.28). O valor calculado de H0 deverá ser substituído na Eq. (3.55) para que seja obtida a
tangente de A corrigida.
No caso em que o apoio A (0, h) com desnível h em relação ao apoio B (L, 0), a condição de contorno é a mesma utilizada anteriormente, x = xv y = fv, para obtenção da variável A.
Substituindo essa condição com o auxílio da Eq. (3.54) na Eq. (3.52) obtém-se:
tan =𝐻 (√ − ℎ + 𝐻 − ℎ ) (3.56)
Desta forma, a força H0 é obtida por tentativas substituindo a Eq. (3.56) na Eq. (3.53), que para
primeira tentativa é aconselhável utilizar a Eq. (3.31). O valor calculado de H0 deverá ser
substituído na Eq. (3.56) para que seja obtida a nova tangente de A.
3.2.3.2 Cabos suspensos com os apoios nivelados
Considerando-se a estrutura de cabo da Fig. 3.3 com os apoios A e B nivelados (h = 0) e aplicando-se nas Eqs. (3.41) e (3.42) as condições de contorno, onde para x = L/2 y’ = 0 e
x = 0 yA = 0, respectivamente, têm-se C1 e C2 dados por:
= 𝐻𝐿 (3.57)
= 𝐻 cosh 𝐻𝐿 (3.58)
Levando as Eqs. (3.57) e (3.58) nas Eqs. (3.41) e (3.42), respectivamente, encontram-se as equações da tangente à curva do cabo e a equação da catenária que define a configuração de equilíbrio do cabo suspenso com apoios nivelados.
A força H0 pode ser obtida levando a condição de contorno em que x = 0 ′ = tan (A) na
Eq. (3.41), com o auxílio da Eq. (3.57):
= − 𝐿[ 𝜃 ] (3.59)
Levando-se a condição de contorno em que para x = L/2 y = fv na Eq. (3.42), com auxílio das
= −𝐻 [ − cosh 𝐻𝐿 ] (3.60) Conhecida a variável fv, a força H0 é calculada através da Eq. (3.60), por tentativas, onde se
sugere utilizar a Eq. (3.35) como primeira tentativa.