Para a aplicac¸ ˜ao do controle ´otimo, ´e necess ´ario que o modelo matem ´atico esteja representado no espac¸o de estados. Para isso, faz-se necess ´ario utilizar a func¸ ˜ao de transfer ˆencia obtida para definir as matrizes A, B, C e D. Para a utilizac¸ ˜ao do controle, o firmware dever ´a utilizar as vari ´aveis de estado para realizar a realimentac¸ ˜ao (por meio da relac¸ ˜ao u = −Kx). Por esse motivo, as vari ´aveis de estado devem ser devidamente escolhidas, de forma que possam ser facilmente obtidas e utilizadas pelo firmware. Sendo a func¸ ˜ao de transfer ˆencia da forma
Y(s) U(s) =
b0
s3+ a1s2+ a2s+ a3
, (86)
´e poss´ıvel escolher a sa´ıda y, ˙y e ¨y como vari ´aveis de estado. Dessa forma temos a posic¸ ˜ao angular, a velocidade ˆangular e a acelerac¸ ˜ao angular como vari ´aveis de
estado. Sendo assim, as vari ´aveis de estado s ˜ao: x1= y, x2= ˙y,
x3= ¨y, (87)
e suas respectivas derivadas:
˙ x1= ˙y= x2, ˙ x2= ¨y= x3, ˙ x3=...y = −a3y− a2y˙− a1y¨+ b0u = −a3x1− a2x2− a1x3+ b0u. (88)
Logo, criando o espac¸o de estados na forma ˙
x= Ax + Bu
y= Cx + Du , (89)
temos na forma can ˆonica control ´avel:
˙ x1 ˙ x2 ˙ x3 = 0 1 0 0 0 1
−a3 −a2 −a1 x+ 0 0 b0 u (90) y=1 0 0 x1 x2 x3 + 0 u . (91)
De onde podemos extrair as matrizes:
A=
0 1 0
0 0 1
−a3 −a2 −a1 , (92) B= 0 0 b0 , (93) C=1 0 0 , (94) D= 0 , (95)
sendo: a1= 5, 561 , a2= 9, 645 , a3= 22, 19 , b0= 8, 931 . 6.5 CONTROLE ´OTIMO
Com as matrizes A e B definidas, para a resoluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao de Riccati ainda necessita-se definir as matrizes Q e R. Os valores de tais matrizes foram definidos empiricamente. Avaliando a velocidade de estabilizac¸ ˜ao, overshoot e as oscilac¸ ˜oes do ve´ıculo, a relac¸ ˜ao que gerou o melhor desempenho foi:
Q= 3200 0 0 0 700 0 0 0 10 e R = 1. (96)
Tendo definidas as matrizes A, B, Q e R, finalmente ´e poss´ıvel resolver a equac¸ ˜ao de Riccati, encontrando-se P, e, por fim, K.
Na aplicac¸ ˜ao real ´e tamb ´em somada `a entrada u uma refer ˆencia, que representa o ˆangulo de sa´ıda desejado. Para que ela esteja dimensionada de acordo com a vari ´avel de estado associada `a sa´ıda, deve ser inclu´ıdo na malha um ganho direto N. No caso, a sa´ıda y ´e a primeira vari ´avel de estado, logo esse ganho N possuir ´a o mesmo valor de K1. Sendo assim, aplicando a relac¸ ˜ao de controle u = −KX e o ganho direto N, obtemos a malha de controle representada na figura 35.
Figura 35: Malha de controle.
7 RESULTADOS
Definida a matriz de ganhos K, foram realizados testes com entradas do tipo degrau e rampa, e tamb ´em com a aplicac¸ ˜ao de dist ´urbios externos. Cada teste foi realizado duas vezes, uma com o controle ´otimo e outra com o controle PID, mantendo a mesma refer ˆencia, com o intuito de comparar a resposta do VANT para cada m ´etodo de controle. Para melhor avaliar a efici ˆencia de cada controlador, ser ´a calculada a func¸ ˜ao de custo J de cada um. Dada a equac¸ ˜ao (9), para um n ´umero N de amostras obtidas em um experimento, temos:
J= N
∑
k=0
(xTkQxk+ uTkRuk), (97)
O primeiro teste foi realizado aplicando-se uma entrada do tipo degrau. Foi solicitado ao VANT mudar de posic¸ ˜ao a cada cinco segundos, em um total de tr ˆes mudanc¸as de posic¸ ˜ao. A sequ ˆencia de ˆangulos definida foi de 20o, 10o e 30o respectivamente, iniciando-se na posic¸ ˜ao horizontal (0o). Observando a figura 36, podemos notar que a resposta `a mudanc¸a de refer ˆencia ´e bastante parecida para os dois tipos de controle. Por ´em, nos trechos em que o VANT est ´a posicionado em ˆangulo fixo o controle PID apresenta um offset maior que o LQR, evidente no trecho de 6 a 10 segundos da figura 36. Calculando-se a func¸ ˜ao de custo J para os dois casos, temos:
JPID= 1, 2278 × 109 e JLQR = 1, 1634 × 109,
demonstrando um custo 5, 54% maior para o PID em relac¸ ˜ao ao LQR.
No segundo teste, novamente foi pedida a sequ ˆencia de ˆangulos 20o, 10o e 30o, por ´em, nesse caso, ao inv ´es da transic¸ ˜ao ocorrer de forma instant ˆanea, a refer ˆencia aumentava na taxa de 1o a cada 0,1 s. A refer ˆencia utilizada e a resposta do VANT com cada estrat ´egia de controle podem ser observadas na figura 37. Durante a transic¸ ˜ao em rampa, ´e poss´ıvel notar que utilizando o controle LQR o VANT varia sua posic¸ ˜ao angular de forma constante, enquanto o controle PID gera certas irregularidades, como pode ser observado melhor no intervalo de 12 a 14 segundos (transic¸ ˜ao de 10o para 30o) da figura 37. Calculando-se a func¸ ˜ao de custo J de acordo com a equac¸ ˜ao (97) para o teste em quest ˜ao, foram obtidos:
JPID= 1, 0347 × 109 e JLQR = 1, 0244 × 109, demonstrando um custo 1, 01% maior para o controle PID.
Figura 36: Resposta ao degrau.
Fonte: Autoria pr ´opria.
Figura 37: Resposta `a rampa.
O terceiro teste foi realizado com o objetivo de analisar o comportamento de cada tipo de controle frente a dist ´urbios externos. Nesse teste foi requisitado ao VANT manter-se na posic¸ ˜ao fixa de 20o. Ap ´os a estabilizac¸ ˜ao, foram impostos dist ´urbios, por meio de impulsos mec ˆanicos causados manualmente no VANT. ´E importante ressaltar que, por terem sido realizados de forma manual, esses impulsos podem n ˜ao ter sido reproduzidos de forma totalmente equivalente em cada teste, portanto, esse experimento n ˜ao foi utilizado para avaliar a resposta de cada controle de forma quantitativa, mas sim, apenas para avaliar o comportamento do VANT para cada estrat ´egia de controle.
Observando a figura 38, podemos reparar que o controle LQR responde de forma precisa a dist ´urbios externos, retornando `a posic¸ ˜ao de refer ˆencia de forma r ´apida e sem causar nenhum overshoot ou offset. Por outro lado, a resposta do controle PID ao dist ´urbio, apresentada na figura 39, causa um overshoot consider ´avel, demorando um tempo elevado para retornar `a posic¸ ˜ao de refer ˆencia. Na perturbac¸ ˜ao causada aos 18 segundos (nas figuras 38 e 39), o VANT foi mantido em posic¸ ˜ao diferente da refer ˆencia durante um intervalo de aproximadamente 1 s. Nessa situac¸ ˜ao de dist ´urbio cont´ınuo (e n ˜ao pontual), o PID apresentou uma resposta ainda pior, com um overshoot extremamente grande, de quase 15o. Mesmo nesse caso, o controle LQR respondeu da mesma forma que respondeu aos impulsos, retornando para a posic¸ ˜ao de refer ˆencia de forma r ´apida e sem overshoot.
Figura 38: Resposta do controle LQR a dist ´urbios manuais.
Fonte: Autoria pr ´opria.
Como ´ultimo teste, foi realizado mais um experimento relacionado a dist ´urbio. Nesse caso, foi introduzido um impulso mec ˆanico controlado por pesos, de forma que fosse poss´ıvel a reproduc¸ ˜ao do dist ´urbio diversas vezes com mesma intensidade, para que um impulso de mesma intensidade pudesse ser aplicado tanto no teste com controle LQR quanto no teste com controle PID. Inicialmente, foi requisitado ao VANT manter-se na posic¸ ˜ao fixa de 20o. Ap ´os a estabilizac¸ ˜ao, o impulso mec ˆanico foi aplicado. O teste foi repetido v ´arias vezes com cada tipo de controlador, com o prop ´osito de comparar cada estrat ´egia de controle sob dist ´urbio de intensidade e durac¸ ˜ao exatamente igual. A figura 40 apresenta a resposta de cada controle ao teste realizado. Comparando as duas reac¸ ˜oes, fica novamente vis´ıvel o que o PID
Figura 39: Resposta do controle PID a dist ´urbios manuais.
Fonte: Autoria pr ´opria.
causa certo ovreshoot ao se recuperar de uma perturbac¸ ˜ao mec ˆanica, levando um tempo maior que o LQR para se estabilizar. Como pode ser observado, o dist ´urbio foi imposto com intensidade equivalente para cada tipo de controle, permitindo portanto a utilizac¸ ˜ao da func¸ ˜ao de custo como forma de comparar a efici ˆencia de cada controle. Aplicando a equac¸ ˜ao (97), foram obtidos os custos:
JPID= 2, 6022 × 109 e JLQR = 2, 5538 × 109, um valor 1, 19% maior para o PID em relac¸ ˜ao ao LQR.
Figura 40: Resposta a dist ´urbios controlado.
8 CONCLUS ˜OES
Por meio deste trabalho, foi poss´ıvel observar de forma pr ´atica as vantagens da utilizac¸ ˜ao de controle ´otimo para o controle de um grau de liberdade de um VANT quadric ´optero, bem como todo o processo de identificac¸ ˜ao e modelagem em espac¸o de estados que permitisse a aplicac¸ ˜ao dessa estrat ´egia de controle. Por meio de um projeto de baixo custo, foi poss´ıvel aplicar alguns conceitos da ´area de controle em um prot ´otipo real, e assim observar a validade e aplicabilidade de tais t ´ecnicas e teorias.
Apesar da dificuldade de modelar matematicamente o sistema com precis ˜ao, os testes realizados com as duas t ´ecnicas de controle comprovaram benef´ıcios do controle ´otimo sobre o controle convencional PID. Al ´em da otimizac¸ ˜ao do custo J, o controle LQR apresentou tamb ´em diminuic¸ ˜ao de overshoot, maior velocidade de estabilizac¸ ˜ao, diminuic¸ ˜ao das oscilac¸ ˜oes, al ´em de uma melhor resposta a dist ´urbios mec ˆanicos externos ao sistema. Todas essas caracter´ısticas puderam ser observadas nos testes realizados, e todas s ˜ao fatores bastante relevantes no funcionamento de VANTs quadric ´opteros. Dessa forma, verifica-se que a aplicac¸ ˜ao de controle ´otimo nesse tipo de ve´ıculo ´e uma alternativa v ´alida e pode ser explorada para aprimorar a performance de ve´ıculos a ´ereos n ˜ao tripulados.