On va montrer qu’un système aux q-différences linéaire à coefficients constants admet un majo- rant plus fin que le majorant√Lin0, ce qui permet de montrer que, pour un tel système, le groupe
de solutions associé à chaque transversale de P1C × Cn est un sous-groupe algébrique de GL n(C).
Jusqu’à la fin de ce chapitre, on considère un système aux q-différences linéaire à coefficients constants X(qz) = AX(z), défini par une matrice constante A ∈ GLn(C).
3.4.1 Le majorant √Const0
Selon l’exemple 2.2.2, les éléments de la dynamique Dyn(A) du système aux q-différences linéaire à coefficients constants X(qz) = AX(z) sont les germes des difféomorphismes locaux de P1C × Cn
de la forme
(z, X) 7→ (qkz, AkX)
La première composante de ces difféomorphismes est indépendante de la variable X et dépend linéairement de la variable z. La deuxième composante de ces difféomorphismes est indépendante de la variable z et dépend linéairement de la variable X. Aussi, on a la :
Proposition 3.4.1. Le D-groupoïde √Const0 engendré sur P1C × Cn par le groupoïde d’ordre 2 :
Const2 = ¿ ∂ ¯z ∂X, ∂ ¯z ∂zz − ¯z, ∂ 2z,¯ ∂ ¯X ∂z , ∂ ¯X ∂XX − ¯X, ∂ 2X¯ À ⊂ OJ∗ 2(P1C×Cn,P1C×Cn)
est un majorant, dans le sens de la définition 1.2.43, du D-groupoïde de Galois Gal(A) du système aux q-différences X(qz) = AX(z).
Ses solutions sol(√Const0) sont les germes des difféomorphismes locaux de P1C × Cn de la forme
(z, X) 7→ (αz, βX), avec α ∈ C∗ et β ∈ GL n(C).
Démonstration. On a montré dans la partie 1.2.2 du chapitre 1 que Q2 est un groupoïde d’ordre
2. On montre de façon analogue que les générateurs ∂ ¯∂zX,∂ ¯∂XXX − ¯X, ∂2X de Const¯ 2 vérifient les conditions (i), (ii) et (iii) de la définition 1.2.23. Aussi, l’idéal Const2 de OJ∗
2(P1C×Cn,P1C×Cn) est
un groupoïde d’ordre 2 sur P1C × Cn.
Les solutions de Const2 sont les germes des difféomorphismes locaux de P1C × Cn de la forme
(z, X) 7→ (αz, βX), avec α ∈ C∗et β ∈ GL
n(C). Elles contiennent donc les éléments de la dynamique
Dyn(A). Le D-groupoïde √Const0 engendré par Const2 sur P1C × Cn est donc un majorant du
D-groupoïde de Galois Gal(A).
On a : √
Q0 ⊂√Lin0 ⊂√Const0⊂ Gal(A)
et
Dyn(A) ⊂ sol(Gal(A)) ⊂ sol(√Const0) ⊂ sol(√Lin0) ⊂ sol(√Q0)
3.4.2 Structure des groupes de solutions associés à chaque transversale
Le calcul du majorant √Const0 permet de montrer que, pour un système aux q-différences
linéaires à coefficients constants, le groupe de solutions associé à chaque transversale de P1C × Cn est un sous-groupe algébrique de GLn(C). C’est l’objet de la proposition 3.4.2 ci-dessous.
Proposition 3.4.2. Soit z0 ∈ P1C. Le groupe de solutions Sol
z0(gGal(A)) associé à la transversale {z0} × Cn est un sous-groupe algébrique affine complexe de GLn(C).
Démonstration. Soit z0 ∈ P1C. D’après la proposition 3.4.1, les solutions de Gal(A) sont des so-
lutions de √Const0, et sont donc de la forme (z, X) 7→ (αz, βX), avec α ∈ C∗ et β ∈ GL
n(C) (et
vérifient a priori plus de contraintes). Aussi, le groupe Solz0(gGal(A)) est un sous-groupe de GLn(C).
On va montrer que les matrices qui constituent ce sous-groupe de GLn(C) correspondent au lieu
d’annulation de polynômes de l’algèbre affine de GLn(C). Cela assurera, d’après la définition 1.2.15,
que Solz0(gGal(A)) est un sous-groupe algébrique affine complexe de GLn(C).
On rappelle les inclusions √
Const0 ⊂ Gal(A) ⊂ gGal(A)
et
sol(gGal(A)) ⊂ sol(Gal(A)) ⊂ sol(√Const0)
On peut vérifier, comme pour la proposition 3.2.4, que toute solution de q
h¯z − zi0 est naturelle- ment définie au voisinage d’une transversale de P1C × Cn, et donc, toute solution de gGal(A) est
naturellement définie au voisinage d’une transversale de P1C × Cn. Aussi, les solutions de gGal(A)
définies au voisinage de la transversale {z0} × Cn sont en correspondance bijective avec les germes
en (z0, 0) de solutions des équations de la fibre gGal(A)(z0,0,z0,0). On a :
({z0}×Cn)sol(gGal(A)) = (z0,0)sol(gGal(A)(z0,0,z0,0))
On vérifie facilement que les solutions formelles et convergentes du D-groupoïde√Const0coïncident,
et que, par conséquent, les solutions formelles et convergentes de gGal(A)(z0,0,z0,0) coïncident aussi. On a (en notant en indice à gauche le lieu en lequel l’on germifie) :
(z0,0)sol(gGal(A)(z0,0,z0,0)) = (z0,0)sol(gc Gal(A)(z0,0,z0,0))
Les équations ∂2z et ∂¯ 2X et toutes leurs dérivées sont dans¯ √Const0 et donc dans gGal(A)
(z0,0,z0,0).
Aussi, les solutions formelles de gGal(A)(z0,0,z0,0)correspondent bijectivement aux solutions formelles d’ordre 1 de (gGal(A)1)(z0,0,z0,0). On a :
(z0,0)sol(gc Gal(A)(z0,0,z0,0)) = (z0,0)solc1(gGal(A)(z0,0,z0,0))
Une solution formelle d’ordre 1 de (gGal(A)1)(z0,0,z0,0) est un 1-jet de coordonnées
(z0, 0, z0, 0,
¡ 1 0
0 β
¢
, (det β)−1) telles que E(z0, 0, z0, 0,
¡ 1 0
0 β
¢
, (det β)−1) = 0 pour toute équation E de (gGal(A)1)(z0,0,z0,0).
Une solution formelle d’ordre 1 de (gGal(A)1)(z0,0,z0,0) est donc définie par une matrice β ∈ GLn(C)
solution des équations polynomiales
E µ z0, 0, z0, 0, µ 1 0 0 ∂ ¯∂XX ¶ , (det∂ ¯X ∂X) −1 ¶ ∈ C · ∂ ¯X ∂X, (det ∂ ¯X ∂X) −1) ¸
avec E une équation de (gGal(A)1)(z0,0,z0,0).
On vient de montrer, grâce au calcul du majorant √Const0, que pour les systèmes aux q-
différences linéaires à coefficients constants, les solutions du D-groupoïde de Galois qui fixent les transversales sont les germes de difféomorphismes locaux de la forme (z, X) 7→ (z, βX), où β par- court un sous-groupe algébrique de GLn(C).
Cette situation est analogue à la situation obtenue pour un système différentiel linéaire (cf intro- duction de la partie 3.3).
Cependant, dans le cas différentiel, on obtient facilement, en considérant les transformations d’holonomie qui fixent les transversales du feuilletage, que ce groupe contient une réalisation du groupe de monodromie du système. C’est une remarque sur laquelle s’appuie la preuve de [?]. Dans le cas des systèmes aux q-différences, on a sol(gGal(A)) ∩ Dyn(A) = {1} et donc aucun élément
non trivial des groupes de solutions tranverses ne correspond à un élément de la dynamique. Le calcul explicite du D-groupoïde de Galois d’un système aux q-différences à coefficients constants, que l’on va faire dans le chapitre 4 suivant, va permettre de donner une interprétation de ces groupes.
Chapitre 4
Les systèmes aux q-différences linéaires à
coefficients constants
Pour un système différentiel linéaire, les solutions du D-groupoïde de Galois qui fixent les trans- versales du feuilletage correspondent aux éléments d’un groupe algébrique qui contient la monodro- mie du système. Malgrange montre dans [?] que ce groupe est une réalisation du groupe de Galois différentiel du système.
Pour un système aux q-différences linéaire quelconque, les solutions du D-groupoïde de Galois qui fixent les transversales de P1C × Cn ne donnent pas naturellement un groupe algébrique de
matrices constantes. C’est seulement le cas pour les systèmes aux q-différences linéaires à coeffi- cients constants. De plus, pour ces systèmes, les exemples considérés dans le chapitre 3 précédent indiquent que les groupes de solutions associés à chaque transversale donnent le groupe de Galois du système.
Dans ce chapitre, on va calculer le D-groupoïde de Galois d’un système aux q-différences li- néaire à coefficients constants, et son D-sous-groupoïde de Galois qui fixe les transversales. On va constater que les groupes de solutions associés à chaque transversale sont des groupes algébriques de matrices constantes, indépendants de la transversale à laquelle ils sont associés.
On va ensuite montrer que le groupe transverse ainsi défini donne exactement une réalisation du groupe de Galois du système défini et décrit par Sauloy dans [?]. Plus qu’un groupe, la description de [?] met en évidence un groupoïde ensembliste avec lequel coïncident, on va le voir, toutes les solutions du D-groupoïde de Galois.
Nous commençons ce chapitre par rappeler les résultats de structure des sous-groupes algé- briques monogènes de GLn(C).
Nous calculons ensuite le D-groupoïde de Galois d’un système aux q-différences linéaire à co- efficients constants et son D-sous-groupoïde de Galois qui fixe les transversales. On décrira les sous-groupes algébriques monogènes de GLn(C) qui les déterminent.
Enfin, nous rappellons la description de [?] du groupe de Galois d’un tel système, et, grâce à cette description, nous comparons son D-groupoïde de Galois et son groupe de Galois.