A condição de invariância translacional sobre a topologia da rede faz com que a matriz
Tn seja completamente definida pelas conexões de um sítio arbitrário, por exemplo, o sítio
i= 1. Esta restrição, como vimos, reduz a quantidade de matrizes de acoplamento possíveis e,
juntamente com a condição de periodicidade da rede, assegura que as matrizes de acoplamento sejam circulantes. Devido a esta propriedade encontramos uma expressão para os autovalores efetivos a qual utilizaremos, agora, para construir a matriz de acoplamento do sistema efetivo. Esta é a principal razão pela qual consideramos uma rede sob tais condições.
Demonstramos no capítulo anterior, que os autovalores efetivos de uma rede com in- variância translacional sobre a topologia podem ser obtidos por meio da Equação (4.22). No entanto, para que esta equação seja útil precisamos conhecer tanto a probabilidade de ocor- rer determinada matriz de acoplamento como seu espectro de autovalores. A probabilidade de ocorrer um dado acoplamento é, de acordo com (4.18), uma função da matriz topologia cujos elementos são 0 ou 1. Então, se considerarmos todas as sequências binárias possíveis para os elementos da matriz topologia obtemos de (4.18) a probabilidadeπkde ocorrer uma dada matriz
k. Resta-nos, portanto, encontrar uma expressão para os autovalores.
Para determinar os autovalores de cada matriz de acoplamento lembramos que, devido a condição de invariância translacional sobre a topologia da rede, essas matrizes são necessari- amente circulantes. Esta classe de matrizes possui um espectro de autovalores bem definido103 e, portanto, podemos obter todos os autovalores de cada uma das matrizes de acoplamento pos- síveis sem muito esforço. De fato, se C é uma matriz circulante N× N, o m−ésimo autovalor dessa matriz é dado por
Γm= N−1
∑
w=0
[C]0we−(2πi)mw/N, (5.5)
em que[C]0,wdenota o w−ésimo elemento da primeira linha da matriz. Se, além de circulante,
a matriz for simétrica com N ímpar, então a Equação (5.5) torna-se
Γm= [C]00+ 2 M
∑
w=1 [C]0wcos 2π mw N , (5.6)em que M= (N − 1)/2. Dado que as matrizes acoplamento são simétricas, a Equação (5.6) nos permite determinar todo o espectro de autovalores dessas matrizes.
Outra propriedade importante das matrizes circulantes é que são fechadas para o pro- duto. Isto significa que a matriz Qn também é circulante e, consequentemente, os vetores de
Lyapunov de S são dados por[S]qw= exp(−(2πi)qw/N)/√N, onde utilizamos os índices q e
w ao invés de i e j para não causar confusão com a quantidade imaginária presente na equação.
Então, substituindo a Equação (5.6) em (4.22) obtemos os autovalores efetivos e os expoentes de Lyapunov efetivos. Usando estes expoentes em (5.4) encontramos
[ ˆG]qw= 1 N ( 1+ 2 M
∑
s=1 eλˆs+1cos 2πs(w − q) N ) . (5.7)Como cos(·) é uma função par com período 2π, ˆG é uma matriz circulante, estocástica
e simétrica. Isto significa que a matriz de acoplamento do sistema efetivo satisfaz todas as suposições sobre a rede com topologia variável. Na Figura (5.4) representamos pictoricamente a matriz de acoplamento efetiva para a rede em consideração. Podemos observar que esta matriz também resulta em uma rede regular, isto é, cujos acoplamentos são invariantes sob translacões da rede. A dedução detalhada da Equação (5.7) é apresentada na subseção seguinte, em que consideramos uma rede sob condições menos restritivas do que esta.
Para verificar a equivalência da dinâmica dos sistemas original e efetivo analisamos a evolução temporal de trajetórias típicas em relação à S . Aqui, como no que segue, con- sideramos que a dinâmica local das redes é regida pelo mapa da tenda, Equação (2.2), com parâmetro a= 2. A Figura (5.5) mostra a evolução temporal da distância ao subespaço de
sincronização para algumas trajetórias e parâmetros de acoplamento específicos. Podemos ob- servar que, para a rede com topologia variável, dnevolui de modo irregular, enquanto que, para
a rede com acoplamento efetivo, dn decai seguindo uma curva exponencial. De fato, para a
rede com acoplamento variável, se em um dado instante n cada sítio é influenciado por poucos sítios que estão em estados muito diferentes, a trajetória se afasta de S . Por outro lado, se os sítios são influenciados por outros sítios com estados próximos, a trajetória tende a se aproxi- mar de S . Portanto, a irregularidade observada na evolução temporal dndeve-se à dependência
temporal do acoplamento.
Embora o comportamento de trajetórias individuais, evoluídas a partir da rede com topologia variável, seja diferente daquele observado para o sistema efetivo, em média eles exi- bem o mesmo comportamento. A Figura (5.6) mostra o tempo de sincronização médio em função do parâmetroα para ambas as redes. Podemos observar que o tempo de sincronização
Figura 5.4: Representação pictórica dos elementos da matriz ˆG, exceto os elementos da diagonal principal. A
intensidade das cores corresponde à intensidade de acoplamento. Esta matriz foi gerada usando os seguintes valores de parâmetro: N= 31,ε= 0, 7 eα= 0, 6.
0
10
w
20
30
0
10
20
30
q
0
0,04
0,08
[G]
^ qw FONTE: O autor.Figura 5.5: Convergência para S de trajetórias típicas para a rede com topologia variável (linhas pontilhadas) e para o sistema efetivo (linhas sólidas). Utilizamos para ambos N= 31, ε= 0, 7 eα= 0, 6. Cada cor de linha
representa uma condição inicial distinta.
0 500 1000 1500 2000
n
10-9 10-6 10-3 100d
n FONTE: O autor.τs aumenta com α e diverge em seu valor crítico, αc(ε, N), para o qual S torna-se transver-
salmente instável. Verificamos, ainda, que a transição para a sincronização ocorre no mesmo ponto para ambos os sistemas e que a dispersão, medida pelo desvio padrão de diversas reali- zações das redes, é pequena. Este resultado indica que o comportamento médio das trajetórias
do sistema com topologia variável é equivalente ao comportamento do sistema efetivo para qualquer conjunto de parâmetros.
Figura 5.6: Tempo de sincronização médio em função do alcance da probabilidade de acoplamento para o sistema com topologia variável (círculos) e para o sistema efetivo (triângulos), com N= 31. Barras verticais e horizontais
representam a dispersão do tempo para as redes com topologia variável e efetiva, respectivamente. As linhas verticais representam os valores críticos deαpara os quais S torna-se transversalmente instável.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
α
101 102 103<
τ
s>
sistema efetivo sistema original ε = 0,6 ε = 0,7 ε = 0,9 FONTE: O autor.Nossa abordagem também pode ser aplicada para redes em que a topologia varia peri- odicamente no tempo, trocandoπk pela frequência relativa associada com a k-ésima topologia.
Em geral, devido à dependência explícita da matriz Jacobiana sobre os pontos da trajetória, podemos demonstrar formalmente a equivalência entre ambos os sistemas somente na vizin- hança linear de S . Quando esta dependência não existe, os vetores de Lyapunov de todos os pontos no espaço de fase são idênticos e os nossos resultados são globalmente válidos, isto é, a equivalência entre os dois sistemas, para propósitos de sincronização, é genérica.91, 104