1.3 Etape 2 : le maillage
1.3.2 Maillage des lits catalytiques
Traitement de la g´eom´etrie
On consid`ere trois types d’empilement de particules dans un r´ecipient tubulaire (Table 1.2 et figure 1.14). Ces trois cas consid´er´es permettrons d’´etudier l’influence de la taille et de la forme des particules sur la dynamique de l’´ecoulement et les transferts thermiques. Il a ´et´e par exemple montr´e [37]
Figure 1.12 – L’orthogonalit´e [36].
Figure 1.13 – La dissym´etrie [36].
que c’est le rapport entre le diam`etre du tube et le diam`etre ´equivalent des particules N qui avait une influence sur la conductivit´e thermique effective λef f et le coefficient de transfert `a la paroi N u, plutˆot que le diam`etre des particules ou celui du tube. Pour estimer N lorsque la particule n’est pas sph´erique on utilise le diam`etre ´equivalent dp qui dans le cas d’une sph`ere est ´egal au diam`etre de celle-ci,
V = π 6d
3
p N = dt
dp (1.8)
avec V le volume de la particule et dt le diam`etre du tube. La longueur des tubes est diff´erente pour chaque cas ´etudi´e. En effet, plus la taille des particules empil´ees est grande et la forme complexe, plus il faut agrandir le domaine d’empilement afin qu’il y ait assez de particules pour atteindre la convergence statistique (voir Chapitre 2).
Cas forme des particules N Longueur du tube (m)
1 sph´erique 5 0.2
2 sph´erique 10 0.1
3 cylindrique avec trous (pellets) 5 0.4 Table 1.2 – Caract´eristiques des empilements.
Figure 1.14 – Empilement al´eatoire et p´eriodique de sph`eres. Gauche : Cas 1, N = 5. Droite : Cas 2, N = 10.
De tels empilements pr´esentent deux difficult´es majeures `a savoir la dif-ficult´e `a g´en´erer le maillage et la difdif-ficult´e `a obtenir toutes les convergences depuis la convergence des r´esidus jusqu’`a la convergence des VERs en passant par la convergence du maillage (voir Chapitre 2 et section 1.4). La princi-pale contrainte rencontr´ee lors de la g´en´eration du maillage est la gamme d’´echelles rencontr´ee. La tailles des pores que l’on peut rencontrer peut aller de 0 (points de contact) jusqu’`a environ une taille avoisinant le diam`etre des particules empil´ees dp. Ces diff´erentes ´echelles sont `a priori al´eatoirement r´eparties dans tout le domaine. Pour faire face `a la variabilit´e de la taille des pores, on peut utiliser le raffinement local du maillage, ce qui permet d’avoir une forte densit´e de cellules dans les r´egions plus ´etroites et une den-sit´e moins importante ailleurs. Ceci a un impact sur l’uniformit´e du maillage, ce qui se traduit par la g´en´eration d’erreurs notamment lors d’estimation des termes de diffusion (Section 1.4). Mais la contrainte la plus difficile `a g´erer est le probl`eme des points de contact. Lorsque deux sph`eres sont tr`es proches, voire se touchent alors dans ces zones on peut rencontrer des cellules de tr`es mauvaise qualit´e. Dans de telles cellules, la conservation de la masse, de la quantit´e de mouvement et de l’´energie n’est pas obtenue. Au fil des it´erations l’´ecart entre la solution v´erifiant les ´equations de conservation et la solution obtenue dans ces cellules se creuse, les erreurs de discr´etisation continuent `a croˆıtre et le calcul finit par diverger. Une des solutions consiste `a ´eviter les zones tr`es ´etroites. Il est possible par exemple de diminuer ou d’augmenter la taille de toutes les particules d’un petit δr. Mais il a ´et´e montr´e [38] que les modifications globales (diminution ou augmentation du diam`etre des parti-cules de 1%) induisent des erreurs importantes sur l’estimation de la porosit´e et de la perte de charge (environ 4% sur la porosit´e et 12− 15% sur la perte de charge). Ainsi, il est conseill´e de pr´ef´erer des strat´egies de modification locale `a celles qui sont bas´ees sur des modifications globales.
Ici, la strat´egie retenue consiste `a ´evaluer la distance s´eparant les parti-cules et `a appliquer une modification locale d`es lors que la distance s´eparant deux particules est inf´erieure `a une distance seuil pr´ed´etermin´ee ds. On s’as-sure ainsi que la distance minimale s´eparant les particules est au-dessus de ds. La modification locale se fait de la fa¸con suivante : lorsqu’une particule ayant une distance inf´erieure ou ´egale `a ds avec une autre est d´etect´ee, on agrandit la particule de 4ds. Autrement dit, le rayon de la nouvelle particule est maintenant ´egal `a rnew = r + 2ds. La nouvelle particule va chevaucher un certain nombre de voisines. On retranche alors chez ces voisines les parties qui recouvrent la nouvelle particule. La nouvelle particule reprend ensuite ses
mensions initiales (figure 1.15). Quant aux points de contact particule-tube, ceux-ci sont trait´es avec la mˆeme approche : on cr´ee un nouveau cylindre dont le rayon est inf´erieur de 0.4% au rayon du tube. Les zones de particules se trouvant `a l’ext´erieur du cylindre sont ´elimin´ees. En corrigeant ainsi les pores trop ´etroits, on s’assure de ne pas trouver de mailles de tr`es mauvaise qualit´e `a l’int´erieur du domaine.
Figure 1.15 – Traitement local de la g´eom´etrie pour s’affranchir des points de contact et des pores trop ´etroits.
Maillage du domaine fluide
La tr`es grande complexit´e de la g´eom´etrie exclut d’office la possibilit´e de g´en´erer un maillage structur´e. Le domaine est pav´e `a l’aide de t´etra`edres uniquement. La g´en´eration du maillage s’est faite avec l’algorithme NETGEN propos´e par le logiciel Open Source SALOME. Le maillage obtenu est ensuite export´e en format .unv pour ensuite ˆetre converti en .msh via OpenFoam pour qu’il puisse ˆetre lu par le logiciel de calcul ANSYS Fluent. Les faces d’entr´ee et de sortie sont ensuite reli´ees par p´eriodicit´e non conforme.
Les figures 1.16, 1.17 et 1.18 ´evaluent la qualit´e du maillage en se basant sur quatre crit`eres `a savoir la d´eviation du volume, la d´eviation angulaire, l’orthogonalit´e et la valeur de y+. Avec ANSYS Fluent, la d´eviation du vo-lume est ´evalu´ee comme suit,
δv = Vcellule ´equilat´erale− Vcellule
Vcellule ´equilat´erale (1.9) avec Vcellule ´equilat´erale le volume du t´etra`edre r´egulier dont les sommets se trouvent sur la surface du sph`ere contenant les sommets de la cellule de
notre maillage Vcellule. La qualit´e est d’autant meilleure que δv est proche de z´ero. Si δv est ´egale `a l’unit´e, tous les noeuds de la cellule sont coplanaires et la cellule est compl`etement d´eg´en´er´ee. La d´eviation angulaire est mesur´ee comme suit,
δθ = M ax[θmax− θeq
180− θeq
,θmin− θeq
θeq ] (1.10) avec θeq l’angle du t´etra`edre r´egulier alors que θmax et θmin sont les angles maximum et minimum de notre cellule. La qualit´e est d’autant meilleure que δθ est proche de z´ero. L’orthogonalit´e δO est ´evalu´ee en estimant le cosinus de l’angle αN (voir la figure 1.12). La qualit´e est d’autant meilleure que δO
(a) D´eviation du volume (b) D´eviation angulaire
(c) Orthogonalit´e (d) R´epartition des y+
(a) D´eviation du volume (b) D´eviation angulaire
(c) Orthogonalit´e (d) R´epartition des y+
(a) D´eviation du volume (b) D´eviation angulaire
(c) Orthogonalit´e (d) R´epartition des y+
Figure 1.18 – Cas 3 : ´Evaluation de la qualit´e du maillage (maillage obtenu avec le logiciel Distene).