Magn´ etostriction

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Fig. II.18: Calcul de relaxation de contraintes thermique dans une nanopiste de NiPd de 1 µm de large et 50 nm d’´epaisseur (effectu´e par J. Miltat). Le code de couleur repr´esente les d´eformations yy (a), zz (b) et yz (c) pour une demi-section de piste. La forme de la piste est repr´esent´ee en fonction des d´eplacements (×100 par rapport cas r´eel).

II.2.3.3 Magn´etostriction

La magn´etostriction au sens propre est la d´eformation d’un ´echantillon fer-romagn´etique au cours de son processus d’aimantation. Elle est caract´eris´ee par l’´elongation maximum λ obtenue pour un volume “magn´etiquement” satur´e appel´e

coefficient de magn´etostriction. Deux effets peuvent ˆetre distingu´es. Le premier est le changement de volume entre un ´echantillon aimant´e et d´esaimant´e. Cet effet, n´egligeable dans nos syst`emes, est appel´e magn´etostriction isotrope ou d’´echange. Le deuxi`eme est la d´eformation le long ou perpendiculairement `a l’axe d’aimantation `

a volume constant : c’est la magn´etostriction anisotrope. Pour un polycristal, elle est d´efinie par la constante de magn´etostriction anisotrope λ_S. Suivant le signe de λ_S, l’´echantillon subit une contraction (λ_S < 0) ou une extension (λ_S > 0) dans la direction d’aimantation.

En r´ealit´e, c’est l’effet inverse qui faut consid´erer dans notre probl`eme, c’est `a dire l’orientation des moments magn´etiques en fonction de la d´eformation.

La mani`ere la plus simple pour introduire le couplage magn´eto-´elastique est de consid´erer le probl`eme pour un ´echantillon monocristallin en sym´etrie cubique. L’´energie magn´eto-´elastique Emagel s’´ecrit :

Emagel =B₁

_xx m²_x− 1/3
+ _yy m²_y− 1/3
+ _zz m²_z− 1/3
^

+B₂(_xym_xm_y+ _yzm_ym_z+ _zxm_zm_x) ^(II.43)

avec les m_i les composantes du vecteur unitaire aimantation et B₁ = ³ 2 E 1 + ν^{λ100 et B2 =} 3 2 E 1 + ν^{λ111 (II.44)}

les coefficients de couplage magn´eto-´elastique avec les constantes de magn´etostriction λ100 et λ111 pour les axes cristallographiques du mˆeme nom. Pour obtenir l’´equilibre l’´energie totale E = Eel+Emagel doit ˆetre minimis´ee par rapport aux d´eformations.

Cependant, les ´echantillons ´etant polycristallins ici, nous avons besoin de la magn´eto-´elasticit´e isotrope. C’est `a dire que B1 = B2. Le but de ce d´eveloppement est d’exprimer l’anisotropie magn´etique.

Un point de d´epart pour ce mod`ele serait le cas du film continu. L’´energie magn´eto-´elastique peut se r´e´ecrire dans le cas isotrope, du fait que  est diagonal, comme : Emagel = ³ 2 E 1 + ν^λS  _xx m²_x− 1/3
+ _yy m_y²− 1/3
+ _zz m²_z− 1/3
^ (II.45) L’anisotropie magn´etique perpendiculaire K_perppeut se d´efinir comme la diff´erence d’´energie pour des syst`emes satur´es selon l’axe perpendiculaire m_z = 1 et dans le plan de la piste m_y = 1. Donc :

Kperp = ³ 2

E

1 + ν^λS(zz− yy) (II.46)

Par cons´equent, dans le cas du film continu d´eform´e par des contraintes ther-miques (§ II.2.3.2), l’anisotropie devient :

K_perp=−³ 2^EλS

∆α∆T

1− ν ^(II.47)

Exp´erimentalement, l’´evaluation de ∆T n’est pas ´evidente. Le probl`eme peut alors ˆetre pris `a l’envers. En effet, l’anisotropie perpendiculaire Kperpn´ecessaire pour

l’apparition des weak stripes ´etant connue (§ II.2.2.5), il est alors possible d’´evaluer la diff´erence de temp´erature ∆T . Consid´erant K_perp = 3.1×104 J/m3 et les coefficients ´

elastiques (E = 199.3 GPa et ν = 0.346) et magn´eto-´elastiques (λ_S =−36 × 10−6) du Ni “isotrope”, on obtient ∆T ≈ 170 K.

On peut alors calculer la carte d’anisotropie pour de telles conditions initiales. La figure II.19 pr´esente la carte d’anisotropie sur une demi-section d’une piste de 50 nm d’´epaisseur et de 1 µm de large pour des d´eformations calcul´ees plus haut (§ II.2.3.2). L’axe de facile aimantation est repr´esent´e en chaque point par les fl`eches. Le contraste repr´esente soit la composante transverse (a) soit la composante per-pendiculaire (b) de l’anisotropie.

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Fig. II.19: Carte d’anisotropie sur une demi-section d’une demi-section d’une piste de 50 nm d’´epaisseur et de 1 µm de large dans le cas d’un substrat infiniment rigide. L’axe facile d’anisotropie est repr´esent´e par des fl`eches en chaque point. Le code de couleur repr´esente sa composante transverse (a) ou sa composante perpendiculaire (b)

L’anisotropie est principalement perpendiculaire, ce qui est en accord avec les r´esultats pour un film mince. On remarque alors que seulement sur les bords de la structure, cet axe de facile aimantation s’incline cr´eant une composante transverse `a l’anisotropie. On peut alors injecter cette carte d’anisotropie dans un calcul micro-magn´etique. On proc`ede de la mani`ere suivante. On utilise les conditions initiales n´ecessaires `a l’apparition des weak stripes. Les cartes d’anisotropie ont ´et´e calcul´ees pour ₀ = 10⁻³ multipli´e par 1.724 correspondant `a ∆T = 170 K. Les calculs micro-magn´etiques sont effectu´es avec OOMMF pour diff´erentes dimensions de nanopistes. Discutons tout d’abord les structures larges. Des nanopistes identiques aux exp´eriences, de 5 µm de long, 1 µm de large et 50 nm d’´epaisseur sont simul´ees. On initialise un ´etat magn´etique transverse `a 10 parois ce qui est similaire aux observations XPEEM, auquel on superpose un bruit de 10% en orientation pour ˆetre certain de ne pas bloquer un ´etat m´etastable. La figure II.20 pr´esente le r´esultat du calcul micromagn´etique en fonction des trois composantes (x,y,z) et de la divergence de l’aimantation. On note clairement que l’´etat transverse initial n’est pas stable, ni mˆeme m´etastable. En revanche, les images en fonction de la composante perpendi-culaire, ainsi que celles en fonction des charges magn´etiques mettent clairement en ´

evidence le d´eveloppement du r´egime de weak stripes. Remarquons que l’amplitude des rouleaux est plus importante au centre de la structures o`u l’anisotropie perpen-diculaire est la plus importante. Cependant dans les images “en div” qui simulent le contraste MFM (§ I.1), on distingue aux bords, une alternance du contraste entre

noir et blanc. Ceci nous indique alors que l’alternance observ´ee aux bords de struc-tures en MFM n’est pas forc´ement synonyme de domaines magn´etiques transverses. Or les exp´eriences XPEEM montrent clairement le caract`ere transverse de la distri-bution d’aimantation mˆeme pour les structures de 1 µm de large.

D’autre part, des calculs micromagn´etiques de nanopistes plus fines ont aussi ´et´e r´ealis´es dont les dimensions ´etaient les suivantes : 5000× 500 × 30 nm3, 5000× 200 × 30 nm³, 5000× 300 × 50 nm3 et 5000× 100 × 10 nm3. Elles ont toutes ´et´e initialis´ees avec 11 domaines transverses incluant un bruit num´erique de 10% sur la direction de l’aimantation et une anisotropie correspondant `a ∆T = 170 K . Les structures repassent toutes dans un ´etat d’aimantation longitudinal, except´e la structure de 5000× 300 × 50 nm3. N´eanmoins, elle pr´esente un minimum d’´energie pour l’´etat longitudinal. Cependant, il semble que l’´etat autour de 13 parois soit m´etastable.

Quoi qu’il en soit, l’anisotropie transverse obtenue par relaxation de contraintes thermiques semble trop faible pour `a elle seule expliquer les distributions d’aimanta-tion observ´ees exp´erimentalement. Paradoxalement, nous remarquerons que la dis-tribution d’aimantation de certaines structures de 120×12 nm2 semblent clairement transverses (voir§ II.3) alors qu’`a de telles dimensions l’anisotropie de forme devrait forcer l’aimantation `a ˆetre le long de la piste.

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Fig. II.20: Calcul micromagn´etique d’une piste de NiPd de 5 µm de long, 1 µm de large et 50 nm d’´epaisseur. Sont pr´esent´es ici, les trois composantes d’aimantation. Remarquons que le contraste en z a ´et´e augment´e d’un facteur 10. La derni`ere repr´esentation est en div ~m, simulant une image MFM.