3.2.1
Origine physique de la magnétorésistance dans des
particules magnétiques homogènes
Une des phénomènes physique le plus exploité dans ce travail est la magné- torésistance anisotropique (AMR). Dans ce contexte, la magnétorésistance réfère à la variation de résistance d’un échantillon ferromagnétique pendant un cycle d’hystérésis magnétique. (Il faut préciser sur ce point afin de ne pas confondre avec la variation de résistance d’un conducteur sous l’influence di- rect d’un champ magnétique appliqué sur des électrons de conduction, comme l’effet Hall par exemple). Il devrait s’appelé plutôt ferro-magnétorésistance : la variation de résistance d’un ferromagnet dû au changement de l’état ma- gnétique. A ce jour, le terme magnétorésistance est souvent associé à la ma- gnétorésistance dans un ferromagnet.
Conformément à l’explication acceptée [14,77], la magnétorésistance ani- sotropie d’un matériau poly-cristalline massif est bien approximativement proportionnel à cos2ϕ, où ϕ est défini comme l’angle entre la direction du courant et l’aimantation ~M ( ~H), en fonction de champ magnétique appliqué
~
H. Cela vient du fait que le tenseur de résistivité du matériau massif est bien symétrique.
Si l’aimantation est uniforme et mesurée le long de l’axe du courant, la magnétorésistive courbe R( ~H) est simplement reliée à l’aimantation M ( ~H). Dans le cas où M( ~H) = Mscosϕ, où Ms est l’aimantation à saturation, la magnétorésistance devient :
R( ~H) = R(H, θ) = R⊥+ ∆Rcos2ϕ (3.21) où : θ est l’angle entre ~H et la direction du courant électrique ; R⊥ est la
résistance lorsque l’aimantation saturée est perpendiculaire au courant et ∆R = R// − R⊥ avec R//, la résistance lorsque l’aimantation saturée est parallèle au courant. Dans le cas d’un fil long mono-domaine, on peut définir : Rmax = R// = R(Hsat, θ = 00) et Rmin = R⊥ = R(Hsat, θ = 900). Alors, l’AMR est définie de façons suivante :
AM R = ∆R Rmax = Rmax− Rmin Rmax = ρ//− ρ⊥ ρ// (3.22) où : ρ// est la résistivité lorsque l’aimantation est parallèle avec le courant électrique et ρ⊥ est celle où l’aimantation est perpendiculaire au courant électrique. Dans le meilleur des cas, AMR d’un fil permalloy peut atteindre 5% et autour de 2% pour un fil de nickel [14].
La magnétorésistance anisotropie est un effet dû à l’anisotropie du cou- plage spin-orbite qui résulte à son tour la dépendance de résistance en angle entre le courant et l’aimantation.
Un modèle de l’origine d’AMR des alliages des métaux ferromagnétiques de transition (métaux 3d) consiste à considérer que les bandes de conduction des électrons s+ et s− sont des canaux indépendants (i.e. sans relaxation de spin entre les canaux) et que les électrons 3d sont localisés [14]. Le tenseur de conductivité est :
ji = σijEj = − Z
e~vf d3~k (3.23)
où f(~r, ~k, t) est la fonction de distribution de la population d’électrons donné par l’équation de Boltzmann :
∂f ∂t + ~v ∂f ∂~r + ~F 1 h ∂f ∂~k = µ ∂f ∂t ¶ col (3.24) ~v(~k) est la vitesse de l’électron et ~F = −e( ~E + ~v ∧ ~B) est la force exercée sur l’électron ; µ ∂f
∂t ¶
col
est le terme de collision et souvent évalué à partir du temps de relaxation : µ ∂f ∂t ¶ col = −f − f0 τ (3.25)
Pour des petites déviations de l’équilibre, Eq. 3.24 peut résoudre en admet- tant que la réponse est linéaire : f = f0 + g, où f0(~r, ~k) est la solution d’équation 3.24 en cas d’équilibre et g est la déviation à partir d’équilibre.
L’hypothèse de petite perturbation permet de trouver le temps de relaxa- tion dans des métaux ferromagnétiques 3d :
1 τn
où : ϕ est l’angle entre l’aimantation et le courant ; les coefficients an, bn, cn dépendent la constante du couplage spin-orbite.
En remplaçant le temps de relaxation obtenu dans l’équation précédente, nous pouvons calculer des composantes du tenseur de conductivité, ainsi la conductivité longitudinale σ// et la conductivité transversale σ⊥.
Ce résultat général pour des métaux de transition 3d a été appliqué à l’AMR à basse température [77]. L’équation de Boltzmann est résolue en tenant compte d’une surface de Fermi sphérique et en supposant qu’il y a que les électrons au niveau de Fermi participent au courant, comme pour un gaz d’électron libre. ça nous donne :
τσ = λ σ vF
(3.27) où : λσ est le libre parcours moyen d’un électron de spin σ, et v
F est la vitesse associée avec l’énergie au niveau de Fermi (EF = 12mvF2) de cet électron, supposée indépendante de spin up ou down. En appliquant les conditions aux limites, on a :
λσ(ϕ) = λσ0(1 − aσcos2(ϕ)) − bσcos4(ϕ) (3.28) A partir des équations3.27,3.28 et3.23, on peut calculer la conductivité σω, ce qui donne σ// avec ϕ = 00 et σ⊥ avec ϕ = 900.
Les constantes phénoménologiques λσ
0, aσ et bσ sont déterminées en me- surant la dépendance angulaire et en spin de la résistivité.
3.2.2
AMR dans les nanofils
La relation reliant la résistance R et le champ magnétique appliqué H dans des nanofils ferromagnétiques est la suivante :
R(H) = R0+ ∆Rmax
µ Mϕ(H) Ms
¶2
(3.29) où : Mϕ = Mscos ϕ est le composant de l’aimantation sur l’axe du nanofil Cette relation permet de relier l’hystérésis magnétorésistive R(H) à l’hys- térésis magnétique M(H) dans le cas d’une aimantation uniforme. Par la comparaison des courbes magnétiques et magnétorésitives, il a été montré que les mesures d’AMR pouvaient être utilisées comme sonde nanoscopique pour étudier l’aimantation. Une simulation numérique qui nous a permis de mettre en évidence la relation entre la magnétorésistance et l’aimantation du fil est présentée sur la figure 3.4.
Fig.3.4 – Cycle d’hystérésis de la composante de l’aimantation d’un fil mono- domaine magnétique le long du champ appliqué pour un angle θ entre l’axe de facile aimantation et le champ appliqué. Nous avons reporté m = Mθ/Msat (en haut) et ∆R/∆Rmax = (R − R⊥)/(R//− R⊥) (en bas) en fonction de h = H/Ha. Le calcul numérique est fait avec le modèle de rotation uniforme de Stoner-Wohlfarth pour θ = 700 (à gauche) et pour θ = 200 (à droite). Les points en rouge sont pour h varie de −hmax à +hmax, ceux en bleu sont pour le sens inverse.
Avec l’approche statistique à température non nul, le composant de l’ai- mantation sur l’axe du nanofil est donné par :
M = Ms< cos ϕ >= Ms2π Z π 0 cos ϕe −V (H,ϕ)/kBT Z sin ϕdϕ (3.30)
où : < cos ϕ > est la valeur moyenne de cos ϕ, V (H, ϕ) est l’énergie total du system dans l’équation 3.12, Z = Z(H, T ) = 2πR0πe−V (H,ϕ)/kBTsin ϕdϕ est
la fonction partition qui ne dépend pas de ϕ.
A partir de l’équation 3.30 nous avons pu calculer la susceptibilité ma- gnétique χH et la susceptibilité thermique χH de l’aimantation dans le cas ferromagnétique. Le résultat sera présenté dans le chapitre 6. Le calcul dé- taillé est présenté dans l’annexe B.