Le maître utilisant le document A peut avoir pour objectifs :

- Faire comparer différentes techniques de la multiplication pour mieux faire comprendre celle apprise.

- Consolider la maîtrise de la technique enseignée.

Le maître utilisant le document B peut avoir pour objectifs :

- Présenter différentes techniques de la multiplication par un nombre à deux chiffres et les faire fonctionner.

- Travailler sur la notion d'ordre de grandeur d'un résultat.

- Proposer une situation de quadrillage pour appliquer une technique proposée.

Remarque concernant le document B :

Un maître pourrait proposer l'activité des quadrillages en situation introductive pour construire le sens de la technique opératoire de la multiplication plutôt que de la proposer comme un exercice d'application.

3) Dans les deux documents, les propriétés de la multiplication utilisées sont : La distributivité de la multiplication sur l'addition

La commutativité de la multiplication 4) Les avantages présentés par le document A sont :

Une présentation d'une variété de procédures qui permet aux élèves de prendre du recul par rapport à celle qu'ils connaissent

Une question n°2 très ouverte qui peut amener une mise en commun assez riche.

Les inconvénients présentés par le document A sont :

Les élèves ne font pas fonctionner les différentes procédures proposées. On peut penser alors qu'ils auront des difficultés pour se les approprier et donc pour les comparer.

Il ne leur est pas proposé un travail sur l'ordre de grandeur du produit de deux nombres.

Les avantages présentés par le document B sont :

Une bonne explicitation des procédures proposées avec un souci d'aides méthodologiques

Une insistance sur la recherche de l'ordre de grandeur du produit de deux nombres.

Les élèves doivent faire fonctionner les procédures proposées.

Les inconvénients présentés par le document B sont :

Les élèves sont essentiellement en situation de reproduction ; peu d'initiative leur est laissée.

L'exemple donné en introduction évoque un contexte parasite puisque ensuite on ne travaille que sur la technique opératoire de la multiplication.

Les opérations ne mettant pas en jeu les mêmes nombres, les produits partiels sont différents, et ne favorisent pas le lien entre le tableau des premiers exercices et le schéma fléché de l'exercice 5.

L'ordre des exercices pourrait être changé (voir la remarque dans le corrigé de la question 2).

5) L'objectif du maître utilisant le document A se dégage bien : il s'agit de réviser une technique déjà apprise en faisant le lien avec d'autres techniques voisines.

L'objectif du maître utilisant le document B est la "découverte" de la technique de la multiplication par un nombre à deux chiffres. Le fait de placer les élèves en situation

d'application dès le début n'est pas la meilleure façon de construire le sens de cette technique.

Donc ce document semble moins bien adapté à l'objectif visé.

DIJON

PREMIER VOLET (12 POINTS)

PREMIERE EPREUVE (8 POINTS)

MAITRISE DE CONNAISSANCES MATHEMATIQUES.

EXERCICE 1

Soit d le chiffre des dizaines et u celui des unités. Si le nombre a quatre chiffres, pour qu’il soit un palindrome il faut que le chiffre des centaines soit d et celui des unités de mille soit u.

Il est donc de la forme P = uddu avec 0 u 9 et 0 d 9.

P est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres l'est.

Donc si u + d + d + u = 9 k avec k ; donc nécessairement pair. Les valeurs possibles pour k sont donc 0 ; 2 ou 4 .

Etudions chaque cas :

D'où les dix solutions possibles :

9009 ; 8118 ; 7227 ; 6336 ; 5445 ; 4554 ; 3663 ; 2772 ; 1881 ; 9999 EXERCICE 2

1. Soit x le nombre de kilomètres parcourus pour la semaine de location.

Formule 1 :

Quel que soit le nombre de kilomètres parcourus, le client paye 5 500 F par semaine donc : f(x) = 5 500

Formule 2 :

Si le client parcourt 2 000 kilomètres ou moins, il paye 4 550 F donc : si x 2 000 g(x) = 4 550

S'il parcourt plus de 2 000 kilomètres, il paye 4 550 F auxquels il faut ajouter 1,60 F par kilomètre à partir du 2001^ième. Donc il doit payer :

4 550 + 1,60( x – 2 000)

si x 2000 g(x) = 1350 + 1,6 x Formule 3 :

Le client paye 350 F par jour pendant sept jours et 1,50 F par kilomètre, donc il doit payer :

7 x 350 + 1,5 x h(x) = 2 450 + 1,5x

2. Représentation graphique des trois formules

3. a) Résolution graphique:

On repère la formule la plus avantageuse sur la représentation graphique, quand sa courbe est située en dessous des deux autres. Ainsi on voit que:

Si x 1400 la formule 3 est plus avantageuse Si 1 400 x 2 600 la formule 2 est plus avantageuse

Si x 2 600 la formule 1 est plus avantageuse

b) Par le calcul la formule la plus avantageuse est déterminée par l'étude des trois inéquations suivantes :

Comparaison de g et h

4- Les formules proposées sont valables pour une semaine. Aucune information n'est donnée sur des tarifs pour deux semaines consécutives. Donc la correction envisage plusieurs solutions même si ces solutions sembles invraisemblables dans la réalité. Il est improbable que le loueur de voiture vérifie le nombre de kilomètres parcourus au bout d'une semaine.

Pour 4500 kilomètres parcourus sur deux semaines, les formules 1 et 3 donnent les prix à payer suivants :

Formule 1 : 2 x 5500 = 11 000 F

Formule 3 : 350 x 14 + 1,5 x 4 500 = 11 650 F

Pour la formule 2 voici plusieurs raisonnements:

- Soit on considère que pour deux semaines le client bénéficie d'un crédit de 4 000 kilomètres pour la somme de 2 x 4550 F et que les 500 kilomètres supplémentaires sont payés à 1,60F le kilomètre. On obtient ainsi la somme totale à payer :

2 x 4550 + 500 x 1,6 = 9 900 F

- Soit on considère qu'il parcourt plus que 2000 kilomètres sur chacune des deux semaines. Si on appelle x le nombre de kilomètres parcourus la première semaine, on obtient alors :

1350 + 1,6 x + 1350 + 1,6 (4500 – x )

soit 2700 + 1,6x 4500 = 9 900 F

- Soit on considère qu'il a parcouru 2000 kilomètres la première semaine et 2500 kilomètres la deuxième semaine et dans ce cas on obtient :

4550 + 1350 + 1,6x2500 = 9 900 F

Donc trois raisonnement qui aboutissent à la conclusion où la formule 2 est plus avantageuse pour deux semaines.

Faisons l'étude du cas où le trajet d’une des deux semaines est inférieur à 2000 kilomètres et celui de l’autre semaine est alors nécessairement supérieur à 2000 kilomètres.

Cherchons le cas limite le plus défavorable qui correspond à 0 kilomètre dans une semaine et 4500 kilomètres dans l’autre semaine. Ce prix est le maximum possible en formule 2.

Le prix à payer est ainsi majoré par

4550 + 1350 + 1,6 x 4500 = 5900 + 7200 = 13 100 F

On ne peut donc pas être certain que la formule 2 soit la plus avantageuse.

Cherchons la condition sur la répartition de la distance parcourue selon les semaines pour que la formule 2 soit la plus avantageuse.

Si la distance parcourue en une semaine est moins de 2000 km et dans l’autre semaine est x >

2000, le prix à payer est 4550 + 1350 + 1,6 x

Ce prix sera inférieur à 11 000 (prix le plus avantageux entre formule 1 et 3) si 4550 + 1350 + 1,6 x < 11000

soit si x < 3187,5

soit un trajet de plus de 1312,5 km en première semaine et de moins de 3187,5 km en deuxième semaine.

Remarque : la réponse est faite en fonction de l'hypothèse qu'il garde la même formule pour les deux semaines.

EXERCICE 3 1°)

(AH) est une hauteur issue A , elle est donc perpendiculaire au côté [BC] . Avec le théorème de Pythagore utilisé dans le triangle AHB rectangle en H, on a :

AB² = AH² + HB²

3°)

Avec le réciproque du théorème de Thalès utilisé dans le triangle CHA (les points H, D, C d'une part et H, E, A d'autre part étant disposés respectivement dans cet ordre), on peut affirmer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles.

b) 1^ère méthode :

Le théorème de Pythagore utilisé dans le triangle rectangle EHD permet d'écrire : ED = EH² HD² = 17 (en cm)

2^ème méthode :

Dans le triangle AHC, E un point du segment [AH] et D un point du segment [HC], les droites (ED) et (AC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès :

17

Donc ED = 17 cm.

c)

Le théorème de Pythagore utilisé dans le triangle rectangle BHE permet d'écrire : EB² = HB² + HE² =(

2

17 )² + 16 = 4

81 ; donc EB = 4,5 (cm)

DEUXIEME EPREUVE (4 POINTS) ANALYSE DE TRAVAUX D’ELEVES