M´ethodes bas´ees lancer de rayons

Le premier algorithme de lancer de rayons a ´et´e propos´e par A. Appel en 1968 pour le calcul d’images de synth`ese [108]. Depuis, les m´ethodes de lancer de rayons sont largement utilis´es dans les domaines de l’informatique graphique et de la simu- lation du canal de propagation radio [109].

Dans le contexte de la simulation du canal de propagation optique sans fil, la premi`ere m´ethode bas´ee lancer de rayons, appel´ee MCA « Monte Carlo Algorithm », a ´et´e propos´ee par L´opez-Hern´andez et. al en 1998 [110], et am´elior´ee par la suite (MMCA « Modified MCA ») dans [88, 93, 95, 111–115].

Bien que cette m´ethode repose sur un mod`ele d´eterministe de l’environnement de simulation et sur une connaissance pr´ecise des principes physiques de la th´eorie de propagation des ondes optiques, elle emploie une technique d’int´egration stochas- tique appel´ee MC « Monte Carlo ». Les principaux avantages de cette m´ethode sont les trois suivants. En premier lieu, la d´ependance lin´eaire de la complexit´e de calcul vis-`a-vis du nombre de r´eflexions, contrairement `a la m´ethode de radiosit´e. Soit la contribution ˆh(k)<sub>(t) d’ordre k `a la r´eponse impulsionnelle, la complexit´e de calcul de</sub>

cette contribution est approximativement proportionnelle au terme k × N, avec N le nombre de rayons lanc´es. En second lieu, un deuxi`eme avantage est la possibilit´e de mod´eliser les r´eflecteurs de l’environnement de simulation avec des mod`eles plus r´ealistes, autres que les mod`eles purement diffus utilis´es obligatoirement dans la m´e- thode de radiosit´e. Et en dernier lieu, cette m´ethode est facilement parall´elisable avec une pr´ecision param´etrable par l’utilisateur et directement li´ee au nombre de rayons lanc´es.

Avant de pr´esenter cette m´ethode, commen¸cons par le principe de fonctionne- ment des algorithmes de lancer de rayons, illustr´e par la figure 1.25. Il consiste `a lancer un certain nombre de rayons dans des directions choisies al´eatoirement dans l’espace 3D. Chaque rayon est caract´eris´e soit par un point de d´epart et un point d’arriv´e, soit par un point et une direction de d´epart.

Chaque trajet de propagation est form´e par les rebonds du rayon lanc´e au d´e- part, avec des directions sont choisis al´eatoirement. `A chaque rebond la puissance lumineuse transport´ee par le rayon est att´enu´ee en faisant intervenir le ph´enom`ene physique de r´eflexion sur les surfaces de la sc`ene, jusqu’`a ce qu’il ait effectu´e un certain nombre de r´eflexions ou qu’il ait atteint le retard maximum fix´e.

Un point de r´eflexion est d´etermin´e `a partir de la premi`ere (la plus proche) in- tersection du rayon avec les objets et les surfaces de la sc`ene (cf. Figure 1.25). Une intersection contient non seulement la position du point d’intersection, mais aussi la normale en ce point et la BRDF associ´ee `a la surface d’intersection. Suivant un principe similaire, les tests de visibilit´e entre deux points sont effectu´es.

En conservant les mˆemes caract´eristiques de l’´emetteur et du r´ecepteur que dans le paragraphe pr´ec´edent, son principe de fonctionnement est le suivant :

La contribution du trajet direct h(0)_{(t, M}

tx, Mrx) est calcul´ee de la mˆeme fa¸con

que pour la m´ethode de radiosit´e.

En consid´erant k r´eflexions, l’estimation de la contribution `a la r´eponse impul- sionnelle ˆh(k)_{(t, M}

1.2. ´ETAT DE L’ART DES M ´ETHODES DE SIMULATION

x

y

y′

Figure _{1.25 – Illustration du principe du lancer de rayons.}

ˆh(k)_{(t, M} tx, Mrx) = 1 N N X s=1 k−1 Y j=1 ρj ! f r(xk, −−→ ωi → −−→ ωr) cos (θ) × rect  θ FOV  1 d2 xk,Mrx Arxδ t − k X j=1 dxj−1,xj c ! −dxj,Mrx c ! , (1.57) avec, ˆh(t, Mtx, Mrx) = r X k=0 ˆh(k)_{(t, M} tx, Mrx).

Cette ´equation, un peu obscure, est sens´ee repr´esenter la r´esolution d’une in- t´egrale par la m´ethode d’int´egration de Monte Carlo. Paradoxalement, l’´equation int´egrale `a l’origine de ce r´esultat et les param`etres stochastiques de la m´ethode de Monte Carlo appliqu´ee ne sont pas clairement d´efinis. C’est pour cette raison prin- cipale que nous proposons dans ce m´emoire, une nouvelle formalisation du probl`eme qui sera `a la base de nos algorithmes de simulation.

Les principales am´eliorations apport´ees `a cette m´ethode sont les suivantes : — Utilisation de la technique NEE « Next Event Estimation », qui consiste `a

tester syst´ematiquement pour chaque rayon lanc´e la visibilit´e entre chaque point de r´eflexion et le r´ecepteur, pour ajouter une ´eventuelle contribution de ce trajet. Cette technique permet de r´eduire la complexit´e de l’algorithme [111–113].

— Utilisation du mod`ele de Phong pour mod´eliser les surfaces directives [88,115]. — Prise en compte de la d´ependance des r´eflecteurs vis-`a-vis de la longueur d’onde

dans le calcul de la r´eponse impulsionnelle [93, 114, 116, 117].

— Utilisation d’une structure acc´el´eratrice bas´ee sur une grille r´eguli`ere pour limiter le nombre de calculs `a effectuer pour chaque test de visibilit´e [93, 114]. — Parall´elisation de l’algorithme et utilisation d’objets au format CAD « Com-

puter-Aided Design » dans l’environnement de simulation [93, 114].

— D´efinition d’un crit`ere d’arrˆet de la propagation d’un rayon en utilisant une technique appel´ee « Russian Roulette » en choisissant al´eatoirement pour cha- que r´eflexion de continuer ou de stopper sa propagation selon la valeur du coefficient de r´eflexion de la surface [118]. Cette m´ethode permet d’´eviter le calcul des trajets qui apportent relativement peu d’´energie `a la r´eponse impul- sionnelle. N´eanmoins, cette optimisation ajoute de la variance au r´esultat de l’estimation.

Bien que cet algorithme soit relativement efficace, son principal inconv´enient est que l’int´egration de Monte Carlo est cach´ee dans l’expression de l’estimation de la r´eponse impulsionnelle. En cons´equence, les techniques de r´eduction de variance uti- lis´es en statistique ne peuvent y ˆetre facilement ajout´ees, alors qu’elles devraient ˆetre tr`es utiles ici pour acc´el´erer sa convergence.

Un algorithme similaire, appel´e PTA « Photon Tracing Algorithm », a ´et´e pro- pos´e dans [119]. Cet algorithme est compos´e de deux ´etapes : premi`erement, dis- tribuer de fa¸con al´eatoire des photons `a travers la sc`ene et stocker les donn´ees g´eom´etriques li´es `a cette distribution (positions des photons, puissance transport´ee, BRDF de la surface d’intersection, etc.). Cette proc´edure est appel´ee construction d’une « photon-map ». Finalement, ex´ecuter une proc´edure traditionnelle de lancer de rayons en assimilant chaque photon `a une nouvelle source virtuelle de lumi`ere. Cette m´ethode a l’avantage d’ˆetre plus rapide que la m´ethode MMCA pour un mˆeme nombre de rayons/photons lanc´es, mais avec moins de pr´ecision comme cela a ´et´e d´emontr´e dans [94].