M´ ecanismes de dispersion en fr´ equence

equivalents non-drain´es [Gassmann, 1951]. Cette ´equation ne repose sur aucune hypoth`ese concernant la microstructure (ex : la g´eom´etrie des inclusions). Cependant en associant cette relation aux th´eories classiques de poro´elasticit´e les modules satur´es basse fr´equence peuvent ˆetre exprim´es en fonction des modules secs :      K_sat^BF=Ksec+ ^β 2K_f Φ + (β − Φ)^Kf K0 G_sat^BF=G_sec (3.3)

O`u φ est la porosit´e totale, K<sub>f</sub> le module d’incompressibilit´e du fluide et β un param`etre sans dimension d´efini par β = 1 − ^Ksec

K₀ ^{. Ksec et Gsec correspondent aux modules secs (´egaux entre HF et BF) et K0} est le module d’incompressibilit´e de la matrice sans inclusion.

3.1.4 M´ecanismes de dispersion en fr´equence

Lors du passage d’une onde au travers d’un solide, une partie de l’´energie de cette onde est perdue durant chaque p´eriode du signal ´elastique. Cette dissipation ´energ´etique est `a l’origine des ph´enom`enes d’att´enuation et de dispersion des ondes. Il existe diff´erents m´ecanismes `a l’origine de ces ph´enom`enes : glissement frictionnel, diffusion et ´ecoulements de fluide. L’un des plus anciens propos´es pour expliquer l’att´enuation est celui du glissement frictionnel entre grains [Walsh, 1966]. Ce m´ecanisme pr´evaut dans le cas de roches s`eches et pour des fr´equences inf´erieures `a 1 KHz. Plus r´ecemment, `a partir de donn´ees exp´erimentales et th´eoriques, Sharma and Tutuncu [1994] ont propos´e un m´ecanisme compl´ementaire d’att´enuation li´e `a l’adh´esion des grains entre eux sans glissement. Quand la longueur d’onde est du mˆeme ordre de grandeur ou plus petite que la taille des inclusions dans la roche, le m´ecanisme de diffusion devient important, en particulier pour des fr´equences sup´erieures `a 100 KHz [Toksoz et al., 1988]. Enfin, d`es lors que le milieu poreux est totalement ou partiellement satur´e en fluide, la majeure partie de l’´energie perdue par l’onde est en fait utilis´ee dans des mouvements d’´ecoulement induit par son passage. En fonction de l’´echelle d’´ecoulement, on distingue diff´erents m´ecanismes : macroscopique, m´esoscopique et microscopique. En plus du m´ecanisme fondamental de Biot, on ne pr´esentera ici que les m´ecanismes macro et micro, l’interm´ediaire n’´etant finalement qu’une extension du m´ecanisme macro vers des ´echelles plus petites [Pride et al., 2004].

i) M´ecanisme de Biot

La th´eorie de la poro´elasticit´e de Biot [Biot, 1956a,b, 1962] pr´evoit une influence de la fr´equence sur la vitesse des ondes ´elastiques.

Le m´ecanisme mis en cause est celui d’un double couplage entre le fluide et le solide, l’un de nature inertielle (force d’inertie diff´erente entre le fluide et le solide) et l’autre de nature visqueuse (force de frottement) [Bourbi´e et al., 1986]. Une augmentation de fr´equence entraˆıne une augmentation de la force d’inertie, le fluide n’arrive plus `a suivre le mouvement de l’ensemble solide + fluide, ce qui tend `a rendre la roche plus rigide et donc `a augmenter la vitesse des ondes ´elastiques [Le Ravalec, 1995]. La limite HF/BF de Biot est donn´ee par la fr´equence caract´eristique suivante :

3.1. G´EN´ERALIT´ES TH´EORIQUES

Roche isotrope porosité connectée

pas de réaction chimique solide / fluide

flux de fluide régi par la loi de Darcy

propagation d'une onde élastique

lg d'onde >> taille des inclusions

Figure 3.8 : Ecoulement li´e au passage d’une onde ´elastique selon les hypoth`eses de la th´eorie de Biot

f_Biot ≈ ^ηΦ

2πκρ_f ^(3.4)

O`u ρ<sub>f</sub> est la masse volumique du fluide. En prenant η = 10−3 Pa.s−1 la viscosit´e du fluide, κ = 10−15 m<sup>2</sup> la perm´eabilit´e du solide, ρ<sub>f</sub> = 1000 kg.m<sup>-3</sup> et Φ = 0.1 (param`etres type basalte), on obtient f_Biot ≈10 MHz. La limite BF de Biot se situe finalement `a une fr´equence tr`es ´elev´ee (except´e pour les roches tr`es perm´eables). Les ´etudes exp´erimentales r´ealis´ees `a la suite de la th´eorie de Biot ont montr´e que la dispersion des vitesses ´etait en r´ealit´e beaucoup plus importante que celle pr´edite par le m´ecanisme de Biot, en particulier dans le cas des roches fissur´ees [Winkler, 1985, 1986]. C’est pourquoi d’autres m´ecanismes de dispersion ont ´et´e introduits pour expliquer les donn´ees exp´erimentales.

ii) M´ecanisme macroscopique, le ’global flow’ ou ’pocket flow’

Le m´ecanisme d’´ecoulement global a ´et´e pour la premi`ere fois th´eoris´e par le mod`ele de [White, 1975]. Il repose sur une h´et´erog´en´eit´e de saturation du milieu. Consid´erons une roche satur´ee avec un m´elange eau - air. Le passage d’une onde ´elastique induit la mise en place d’un gradient de pression : la pression de fluide augmentera davantage dans la partie satur´ee en eau que dans la partie satur´ee en air car la compressibilit´e des deux fluides n’est pas la mˆeme. Ceci induit donc un ´ecoulement ’global’ depuis une zone de la roche vers une autre. Cette approche a ´et´e utilis´ee pour caract´eriser la vitesse des ondes ´

elastiques dans des milieux `a saturation bimodale mais ´egalement pour caract´eriser l’att´enuation BF dans un milieu stratifi´e [Quintal et al., 2009].

Figure 3.9 : Mod`ele de ’pocket flow’, tir´e de [Le Ravalec and Gu´eguen, 1996a].

Il existe une fr´equence caract´eristique f_GF pour laquelle l’att´enuation est maximale en fonction des propri´et´es physiques de la roche. Elle peut ˆetre exprim´ee par [Le Ravalec and Gu´eguen, 1996a] :

f_GF ≈ ^3KpκS

1/3

R2Φη ^(3.5)

O`u K<sub>p</sub> est le module d’incompressibilit´e de l’espace poreux (fonction de la porosit´e, du module d’in-compressibilit´e du fluide et du module effectif), S la saturation en fluide et R un param`etre de taille du domaine de la roche consid´er´e (en prenant le cas simplifi´e d’une sph`ere il s’agit du rayon). En prenant le cas d’une roche basaltique compl`etement satur´ee en eau et un rayon de domaine de 5 mm, on obtient f_GF = 75 kHz . Le ’pocket flow’ est un m´ecanisme tr`es important `a prendre en compte d`es lors que l’on consid`ere un milieu fortement h´et´erog`ene (mixit´e de fluide, milieu stratifi´e, etc...).

iii) M´ecanisme microscopique, le ’local flow’ ou ’squirt-flow’

Un autre m´ecanisme susceptible de venir renforcer le pr´ec´edent est celui du squirt-flow th´eoris´e puis mis en ´evidence sur des roches fissur´ees [Mavko and Nur, 1975, Mavko and Jizba, 1991, Dvorkin and Nur, 1993, Dvorkin et al., 1994, 1995, Diallo et al., 2003]. L’´ecoulement du fluide est consid´er´e dans ce cas `a l’´echelle locale du pore. L’existence d’un gradient de pression de fluide entre les inclusions peut induire un mouvement orient´e du fluide. Les cracks ´etant plus sensibles `a la contrainte que les pores ronds, cet effet est tr`es important dans le cas de roches poreuses fissur´ees. En effet, le fluide se retrouve ´

eject´e des cracks vers les pores ´equants voisins ou vers les cracks pr´esentant une orientation diff´erente (cf. figure 3.10).

Porosité équante

crack orienté perpendiculairement à la contrainte compressive squirt-flow squirt-flow CONTRAINTE COMPRESSIVE crack orienté aléatoirement à la contrainte compressive

Figure 3.10 : Effet de squirt-flow entre cracks et pores et entre cracks et cracks selon leur orientation. Inspir´e de [Mavko and Nur, 1975].

De fa¸con analogue au cas du ’global flow’, il existe une fr´equence caract´eristique f_SF pour l’effet de squirt-flow, dont l’approximation est :

f_SF ≈ ^ξ

3E0

24η ^(3.6)

O`u E₀ est le module de Young de la matrice solide de la roche. En prenant E₀= 70 GP a, ξ = 10−3et η= 10−3 Pa.s−1, on obtient f_SF = 3 kHz , une fr´equence plus petite que la pr´ec´edente. Il est important de souligner que la fr´equence caract´eristique est fortement d´ependante de la g´eom´etrie des fissures.

3.1. G´EN´ERALIT´ES TH´EORIQUES

en compte est la diff´erence entre la longueur d’onde λ de propagation et la longueur caract´eristique de l’´ecoulement L, la th´eorie HF de dispersion n’est valide que si λ >> L [Maultzsch et al., 2003].

Le d´eveloppement th´eorique de la dispersion en fr´equence d´evelopp´e ici ne consid`ere que l’effet local de squirt-flow. L’abandon volontaire du ’pocket flow’ et des autres m´ecanismes d’interactions de grain dans la matrice tient au fait que nous ne consid´erons que le cas d’un milieu poreux enti`erement satur´e en un seul type de fluide (aqueux).