1. Exemples
Intéressons-nous à deux instruments de mesure particuliers : un chronomètre et un ampèremètre.
Mesure d'une durée avec un chronomètre :
Nous mesurons la durée d d'un phénomène. Nous supposons que l'expérimentateur appuie aux bons moments pour mesurer ce que l'on appelle les dates initiale t1 et finale t2. Pour être un bon expérimentateur il faut avoir une connaissance minimale de ses instruments de mesure. Un chronomètre, du type utilisé ici, fonctionne avec un quartz très précis. La dérive est d'une quinzaine de secondes par an, soit environ 0,00004 secondes sur notre expérience. Ici, nous négligeons la dérive. Nous pou
vons supposer le chronomètre parfait (juste et fidèle). Seule la résolution va intervenir (δ = 1/10 éme de seconde).
3min32,75s < t1 < 3min32,85s 4min55,65s < t2 < 4min55,75s
et d = t2 - t1
Les lois de probabilité de t1 et t2 sont uniformes et celle de d triangulaire (voir article précédent).
D'où9 σd=δ/√6≃0,41δ , Δd ≃ 0,78 δ (tableau page 100),
9 Calculons l'écart-type d'une distribution triangulaire (après recentrage) :2=
∫
d = 82,900 ± 0,078 s et Δd/d≃0,1% avec 95% de confiance.
Maintenant, si le phénomène durait plusieurs mois, l'incertitude la plus grande serait la dérive, le chronomètre ne serait plus juste. Nous voyons que l'ensemble de la situation expérimentale est à prendre en compte et pas seulement l'instrument de mesure.
Nous pourrons incorporer cette incertitude systématique de dérive par la connaissance de la valeur du biais.
Si la dérive n'est pas connue, nous pouvons prendre 100 chronomètres identiques que nous lançons simultanément.
Nous aurons au final une dispersion aléatoire des valeurs qui donne une incertitude liée à la dérive.
Mesure d'un courant avec un ampèremètre :
L'ampèremètre, placé en série dans un circuit, mesure le courant de la branche où il est situé.
Nous choisissons le calibre adapté, ici pour des courants de 20 à 200 mA, et nous mesurons : I = 186,30 mA.
Quelle est l'incertitude sur I ?
Nous pourrions penser, comme pour le chronomètre, qu'elle est sur le dernier digit, en fait la notice indique une plus grande que pour une somme, ou différence, de n grandeurs de même écart-types nous avons σn = √n σ1 . Ici σ2 = √2 σ1 = √2 δ /√12 =
incertitude :
D'où ΔI = 0,7%x186,30mA + 3x10μA.
Pour simplifier nous pouvons considérer que les indications des fabricants sont données avec une confiance de 95% et un profil gaussien.
Alors I = 186,30 ± 1,34 mA avec un niveau de confiance de 95%
(184,96 mA < I < 187,64 mA)
Essayons de retrouver l'erreur systématique donnée par le fabricant en regardant l'erreur aléatoire donnée par 12 ampèremètres de même modèle. Nous les plaçons en série et ainsi ils mesurent tous la même grandeur :
Le calcul de l'écart-type donne : sI = 0,21 mA, le coefficient de Student vaut t = 2,2, d'où ΔI = t . s = 0,45 mA.
Soit I = 186,40 ± 0,45 mA avec un niveau de confiance de 95%
(185,94 mA < I < 186,85 mA).
L'incertitude est ici, à peu près, 3 fois plus faible, ce qui est normal car nous avons une meilleure connaissance de la moyenne (ΔI = t . s / √n = 0,13
I (mA) 186,30 186,40 186,24 186,19 186,39 186,22 186,64 186,40 186,23 186,91 186,36
186,05 186,15 186,25 186,35 186,45 186,55 186,65 186,75 186,85 186,95 187,05
0 1 2 3
Fréquence
mA). Si nous considérons l'ampèremètre pour lequel I=186,91mA, seule l'incertitude systématique plus grande fournie par le constructeur garantie un bon encadrement.
Par ailleurs l'incertitude du constructeur concerne l'ensemble des ampèremètres de ce modèle qu'il produit et pas seulement ceux livrés au lycée. Aussi, nous devons considérer, pour la comparaison des résultats, que les 12 ampèremètres n'ont pas été recalibrés avec un étalon depuis leur achat d'il y a plus de 15 ans.
2. Normes
Pour déterminer rigoureusement l'incertitude, il faudrait que tous les fabricants donnent la confiance de leurs incertitudes et les profils des lois de probabilité.
Pour contribuer à une information complète sur l'expression de l'incertitude et fournir une base pour la comparaison internationale des résultats de mesure Le comité international des poids et mesures et l'Organisation internationale de normalisation ont développés un guide [vii].
Il s'agit de mettre en place des méthodes d'évaluation et d'expression des incertitudes harmonisées pour tous les pays et tous les domaines (de la santé, de la sécurité, industriel, commercial, etc.).
3. Vocabulaire
Que l'on parle avec le vocable de la statistique ou avec celui de la métrologie les notions sont les mêmes. Pour aider à faire la jonction, nous avons synthétisé certaines expressions courantes dans un tableau. Sur une même ligne vous trouverez les termes équivalents.
statistique [vi] [iv] métrologie [v] [vii] [viii]
grandeur à mesurer X mesurande M
mesure action de mesurer mesurage
ensemble des mesures {xi ± Δxi} résultat du mesurage
xi une mesure mi
x moyenne de l'échantillon m ou m
σ : écart-type de la population (souvent inconnu)
s sx écart-type
Δx / x précision (incertitude relative) ΔM / m
Remarques :
• Plus le biais est grand, moins la mesure est juste.
• Plus les mesures sont dispersées, moins la fidélité est bonne.
• L'écart-type de l'échantillon est un estimateur biaisé de l'écart-type de la population.
• Dans ce livre nous avons évité de parler d'erreur, nous avons préféré le terme incertitude. En métrologie, nous parlons de différentes erreurs (erreur de mesure, erreur aléatoire et erreur systématique).
• Nous utilisons le terme écart pour la différence entre la moyenne de la mesure et la valeur attendue (une valeur donnée par le fabricant ou dans les tables).
4. Méthode simplifiée d'évaluation de l'incertitude de type B
Si le fabricant donne des limites et que l'on ne dispose d'aucune autre information, il est raisonnable de supposer la probabilité égale sur l'intervalle et nulle en dehors. Nous utilisons alors les caractéristiques d'une loi uniforme ([vii] p23 et [v] p7) :
Cas : Le constructeur fournit la
classe : ± a a correspond à δ/2
s
x= a
3
Remarques :
• Pour le premier cas nous ne disposons pas d'information du constructeur, dans le second, il fournit ce que l'on appelle la classe a de l'appareil.
• Nous prenons k=2 avec une confiance de 95% comme si nous avions une gaussienne (approximation).
• Si la notice est conçue selon cette norme, nous aurons pour l'ampèremètre (étudié page 106), sI = 1,34 mA et I
= 186,30 ± 2,68 mA à 95%.
• Sur le matériel de verrerie jaugé, la classe est toujours indiquée.
Par exemple, sur une pipette jaugée de 25 mL, nous avons les indications suivantes :
La classe est 0,06 mL, d'où sv = 0,035 mL et V = 25 ± 0,07 mL avec une confiance de 95%. La précision sur le volume est de 0,28%.
• Pour une résistance R de 1000Ω et d'une précision de 5% (brun, noir, rouge, or), nous avons :
R=2. 1000 .5/100/3≃58 à 95% de confiance. f'min=195mm à f'max=203mm. D'où soptique=2,31mm.
sgéométrique=0,29mm (δ de 1mm du banc d'optique) et smodélisation=0,58mm (épaisseur de 2mm de la lentille).
s=
so2sg2sm2 f'=199,0±4,8mm95%