1.2.2 – Méthodes usuelles de détermination des phases
Deux méthodes peuvent être répertoriées comme des méthodes de référence dans le cadre de la détermination des phases. Nous avons fait le choix de conserver les appel-lations anglaises que nous avons employé dans Piel et Chrysos [42] : il s’agit de la Log-Derivative (ld-dérivée logarithmique) et de la Node Seeking (ns-recherche de nœuds).
1.2.2.1 – La Log-Derivative (ld)
La première méthode, la Log-Derivative (ld) ou dérivée logarithmique, est basée sur la forme des Equations (1.1.6), (1.1.7) et (1.1.5) correspondants aux expressions asympto-tiques respectives deul,vletψl. Il s’agit de déterminer tanδl(k) en faisant correspondre deux dérivées logarithmiques asymptotiquement : la première,γ=¡ln¡ψl
r ¢¢0
(0 notifiant la dérivée par rapport àr), étant celle de la fonction d’onde de l’Hamiltonien complet, la seconde étant la fonction d’onde de l’Hamiltonien en absence d’interaction. En calculant ainsi les dérivées de chacune des quantitésul,vletψl, nous pouvons vérifier :
δr el
l (k,r)=arctan k j
0
l(x)−γjl(x)
k y0l(x)−γyl(x), (1.2.1) avecx=kr. jl0¡yl0¢correspond à la dérivée dejl¡yl¢par rapport àx.
Cette procédure de détermination des phases a été explicitée dans de nombreux ou-vrages de référence tels ceux de Joachain [1], Laudau et Lifshitz [43], ou encore récemment dans des travaux liés à la détermination de la section efficace du mélange He–Ne [44]. Une attention particulière doit être portée à la grandeurδr el
l (k,r). La dénominationr elmet en exergue le fait que la phase ainsi calculée est relative :δr el
l (k,r) est restreint au domaine £
−π2,π2¤
à cause de l’ambiguïté inhérente dans la définition de la fonction arctan. Comme nous l’avons évoqué précédemment,δr el
l (k,r) ne posera aucun problème pour détermi-ner les propriétés telles la section efficace, la viscosité et la conductivité thermique. En revanche, le coefficient de Viriel et, par extension, le coefficient de Viriel acoustique, ne pourront être calculés correctement.
1.2.2.2 – La Node Seeking (ns)
La seconde méthode, la Node Seeking (ns) ou recherche des nœuds, est basée sur la détermination précise des nœuds de la fonction d’onde asymptotiquement. Soitrnla po-sition dunieme` nœud de la fonction d’ondeψl(k,r). La formule de base de la ns est alors :
tanδr el
l (k,rn)= jl(krn)
yl(krn). (1.2.2)
Il est aisé de vérifier que l’Equation (1.2.2) est un cas spécial de l’Equation (1.2.1) pour laquelle ψl(rn)= 0 ; la ns peut donc être vue comme un cas particulier de la ld. Bien qu’ayant visiblement évoluées parallèlement au cours des années, ces deux méthodes se sont progressivement imposées comme des méthodes de référence dans leur domaine et
sont encore couramment utilisées de nos jours afin de calculer les phases asymptotiques, en particulier dans le domaine expérimental ou en métrologie [2,7,45–47].
Bien que les utilisateurs des méthodes ld et ns ne s’intéressent en général qu’au com-portement asymptotique, il faut savoir que les Equations (1.2.1) et (1.2.2) restent valables pour tousr, c’est-à-dire quelle que soit la région du potentiel interatomique sondée. Nous reviendrons sur ce point plus longuement au cours de ce chapitre.
1.2.2.3 – Correction des sauts de phase
Au regard des Equations (1.2.1) et (1.2.2), il est clair qu’aucune méthode, ni la ld, ni la ns, ne permet de récupérer une phaseδl(k) intrinsèquement absolue. Une question évidente se pose alors : comment récupérer la phase absolueδlà partir deδr el
l ? Plusieurs approches permettent de réaliser cette étape cruciale. Ces tâches additionnelles prennent cependant la forme de macros implémentées numériquement d’autant plus complexes qu’elles sont des freins pour une détermination simplifiée de la phase asymptotique ab-solueδl(k). Nous énumérerons ci-dessous les différentes options qui s’offrent à nous :
1. assurer queδl soit une fonction continue vis-à-vis de l’énergie. Pour cela, la mé-thode consiste à mettre à profit le théorème de Levinson [48,49]. Ce théorème per-met de relier la valeur de la phase asymptotique pour k =0 etk → ∞ ainsi que le nombre d’états liés du système complet. Concrêtement, le théorème de Levin-son s’écrit généralement sous la forme Nπ=δl(k=0,r→ ∞)−δl(k→ ∞,r→ ∞), N étant le nombre d’états liés. Nous reviendrons plus tard sur certains aspects du théorème de Levinson au cours de ce Chapitre 1. Pour l’heure, notons simplement que dans le cadre de potentiel de courte portée,δl(k→ ∞,r → ∞)→0. Par consé-quent, il est possible de :
(a) déterminerδl(k→ ∞,r→ ∞) et ainsi construire la phase absolue de proche en proche, corrigeant la phase en ajoutant ou retranchantπsuite aux sauts de phase de tan−1de−2π àπ2 [50], tout en laissantktendre vers zéro ;
(b) initialiser correctement δl(k=0,r→ ∞) en fonction du nombre d’états liés à l’aide du théorème de Levinson. C’est d’ailleurs la méthode employée par Hurly et Mehl [45] ;
2. assurer queδl soit une fonction continue vis-à-vis de la distance interatomiquer. En effet, enr =0 le déphasage entre la fonction d’onde et la fonction de référence
régulièreul est nul : par conséquent,δl(k, 0)=0. Il est alors possible de construire
δl(k,r) de proche en proche en laissantr tendre vers l’infini : ce n’est que pour une valeurrsuffisamment grande que la phase convergera vers une constante, la phase asymptotiqueδl(k) (=δl(k,r→ ∞)) ;
3. introduire correctement les formes semiclassiques ou asymptotiques des fonctions d’onde. Il s’agit en fait de déterminer le bon nombre de foismqu’il faut ajouter ou soustraire la phaseπ. De fait, la phase absolue peut être obtenue à partir de la phase relative via la formule simple :
δl(k)=δr el
l (k)+mπ, (1.2.3)
avecmentier.
Bien que simple à comprendre sur le plan théorique, l’Equation (1.2.3) n’est pas si facile à mettre en pratique : déterminer la valeur demde manière analytique ne sera pas une chose aisée. Notons tout d’abord que l’Equation (1.2.1) n’est pas pratique ici car il s’agirait de déterminerm en tous points r. L’Equation (1.2.3) ne pourra donc être utile que dans le cadre de la ns, au niveau des nœuds de la fonction d’onde. Revenons donc sur l’Equation (1.2.2). Sachant queul(k,rn)=krnjl(krn) etvl(k,rn)= −krnyl(krn), nous pouvons réécrire l’Equation (1.2.2) sous la forme équivalente :
δr el l (k) = n>>1δr el l (k,n)= −arctanul(k,rn) vl(k,rn). (1.2.4) La quantitéδr el
l (k,n) tend à être indépendante den lorsquen augmente. Ainsi, les Equations (1.2.3) et (1.2.4) permettent à elles seules de poser le problème de l’ambiguïté de la fonction arctan (arbitrariness problem en anglais). La valeur dempeut être obtenue via la formule m(n)=n− $ θl(k,n)+δr el l (k,n) π + 1 2 % , (1.2.5) avecδr el
l (k,n) la phase relative calculé au niveau dunieme` nœud etθl(k,n) la fonction approchée : θl ≈ x− µ 1 2l+1 4 ¶ π+ κ−1 2 (4x)+(κ−1) (κ−25) 6 (4x)3 +(κ−1)¡ κ2−114κ+1073¢ 5 (4x)5 (1.2.6) +(κ−1)¡5κ3−1535κ2+54703κ−375733¢ 14 (4x)7 +. . .
κ=4l2, x =krn, voir l’Equation 9.2.29 de Abramowitz et Stegun [41]. Des expressions similaires aux Equations (1.2.3) à (1.2.5) ont été mises en jeu dans Bichet al.[3] et Wei et Le Roy [51].
Avant d’aller plus loin, prenons le temps de soulever deux points particulièrement im-portants. Bien qu’avoir des propagateurs performants n’est pas un problème pour des ordinateurs modernes, d’autant plus dans notre cas à un seul canal, la plupart des pro-pagateurs ne peuvent détecter les nœuds qu’à une distancehprès [52],hétant le pas de la grille numérique employée. Cependant, l’Equation (1.2.4) montre clairement qu’elle ne peut être utilisée qu’au niveau des nœuds de la fonction d’onde. Par conséquent, il est né-cessaire de localiser précisément les nœuds, et non seulement de les compter, la moindre erreur commise lors de la détermination de la positionrnengendrant des erreurs surδl(k) (voir également les articles de Bichet al.[3], p.3037 et de Wei et Le Roy [51], p.148).