Méthodes de standardisation

Les méthodes de standardisation font le lien entre l’instrument maître sur lequel le modèle d’étalonnage a été établi et l’instrument esclave pour lequel on veut adapter ce même modèle. La standardisation peut se faire sur les coefficients du modèle de régression, sur les

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valeurs prédites ou encore sur les réponses des capteurs en utilisant un sous-ensemble de données pour faire le lien entre les instruments [Feudale et al. 2002].

IV.4.1 Standardisation des coefficients du modèle

Dans cette catégorie de méthodes de standardisation, le modèle original de l’instrument maître est transformé pour qu’il devienne adéquat pour l’instrument esclave.

On considère que :

• 𝑋₁, 𝑋₂ sont les matrices des données des capteurs de l’instrument maître et de l’instrument esclave respectivement ;

• 𝑌 est le vecteur des valeurs prédites calculées avec un modèle de régression linéaire défini par le vecteur de coefficients de régression 𝐵₁et 𝐵₂ respectivement ;

• 𝑠₁ et 𝑠₂ sont deux sous-ensembles de données de 𝑋₁, 𝑋₂ respectivement. La réponse de l’instrument maître est :

𝒀 = 𝑿_𝟏∗ 𝑩_𝟏 (IV-1)

De même, la réponse de l’instrument esclave est :

𝒀 = 𝑿_𝟐∗ 𝑩_𝟐 (IV-2)

On peut alors écrire

𝒀 = 𝑿_𝟐∗ 𝑩_𝟐= 𝑿_𝟐∗ (𝑩_𝟏+ 𝜟𝒃) (IV-3)

où 𝛥𝑏 est le vecteur de la différence entre 𝐵₁ et 𝐵₂ 𝛥𝑏 peut être exprimé par l’expression suivante :

𝜟𝒃 = 𝑩_𝟐− 𝑩_𝟏= 𝑿_𝟐⁺∗ 𝒀 − 𝑿_𝟏⁺∗ 𝒀 = (𝑿_𝟐⁺− 𝑿_𝟏⁺) ∗ 𝒀 (IV-4)

où 𝑋₁+ et 𝑋₂+ représentent respectivement les matrices inverses de la matrice 𝑋₁et 𝑋₂.

𝛥𝑏 peut également être obtenu à partir des sous-ensembles 𝑠₂ et 𝑠₁ soit: 𝛥𝑏 = (𝑠₂⁺ − 𝑠₁⁺) ∗ 𝑌

On a alors :

𝑩_𝟐= 𝑩_𝟏+ 𝜟𝒃 = 𝑿_𝟏⁺∗ 𝒀 + (𝒔_𝟐⁺− 𝒔_𝟏⁺) ∗ 𝒀 (IV-5)

On peut écrire l’équation VI-5 sous la forme :

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où 𝐵̅̅̅ 𝑒𝑡 𝐵₂ ̅̅̅₁ sont les vecteurs de régression estimés à partir des sous-ensembles 𝑠₂et 𝑠₁ . Cependant la différence entre 𝐵₁𝑒𝑡 𝐵^̅̅̅₁ est négligeable puisque 𝑠₁est un sous ensemble de l’instrument maître 𝑋₁. Ce qui nous permet de dire que le vecteur des coefficients de régression 𝐵₂ est tout simplement calculé à partir du sous ensemble 𝑠₂, autrement dit que nous avons étalonné l’instrument esclave séparément et qu’aucun transfert réel n’a été réalisé.

IV.4.2 Standardisation des valeurs prédites

Cette méthode consiste à corriger les valeurs prédites en se basant sur une relation linéaire entre les valeurs prédites par l’unité maître et par l’unité esclave, et en utilisant le biais et la pente de la droite de régression. Pour cela on calcule tout d’abord les valeurs prédites d’un sous ensemble de chacun des deux instruments, soient 𝑠₂ et 𝑠₁.

𝒚_𝒔𝟏= 𝒔_𝟏∗ 𝒃 (IV-7)

𝒚_𝒔𝟐= 𝒔_𝟐∗ 𝒃 (IV-8)

Ensuite, on calcule la droite de régression entre 𝒚_𝒔𝟏 et 𝒚_𝒔𝟐 en utilisant la régression linéaire. La pente et le biais de cette droite vont permettre par la suite de corriger les valeurs prédites sur l’instrument esclave selon l’équation suivante :

𝒚_{𝟐 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈é𝒆} = 𝒃𝒊𝒂𝒊𝒔 + 𝒑𝒆𝒏𝒕𝒆 ∗ 𝒚_𝟐 (IV-9)

Généralement la standardisation des valeurs prédites est utilisée dans le cas où la différence entre les instruments est linéaire et simple.

IV.4.3 Standardisation des réponses des capteurs

La standardisation des réponses des capteurs a pour but de corriger les réponses des capteurs de l’instrument esclave (instrument 2) pour qu’elles ressemblent à celles de l’instrument maître (instrument 1). On peut distinguer deux manières pour faire la standardisation des réponses des capteurs.

• Standardisation uni-variable

La standardisation uni-variable s’applique à chaque capteur individuellement [HAUGEN et al. 2000]. Elle consiste à corriger la réponse de chaque capteur esclave par une simple régression linéaire.

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𝒓_𝒊,𝟏 = 𝒃_𝒊+ 𝒂_𝒊𝒓_𝒊,𝟐 (IV-10)

où 𝑟_𝑖,1 et 𝑟_𝑖,2 sont les réponses du ième capteur des instruments 1 et 2 respectivement ; et 𝑏_𝑖 et 𝑎_𝑖 sont respectivement le biais et la pente du modèle de correction.

Cette méthode est utilisée dans le cas où les réponses des capteurs ne sont pas corrélées. Dans le cas contraire la standardisation multi-variables notamment la standardisation directe est plus pertinente.

• Standardisation directe

La standardisation directe est une méthode de transfert multivariée. Elle consiste à relier directement la réponse d’un échantillon mesurée avec un instrument, à la réponse obtenue avec un autre instrument. C’est une relation linéaire qui est décrite par la matrice de transformation

F comme suit :

𝒔_𝟏= 𝒔_𝟐∗ 𝑭 (IV-11)

La matrice 𝐹 est calculée par :

𝑭 = 𝒔_𝟐⁺∗ 𝒔_𝟏 (IV-12)

où 𝑠₂⁺ est l’inverse généralisée de 𝑠₂.

Lorsque la matrice de transformation 𝐹 est calculée, il serait possible de projeter les données de l’instrument esclave (instrument 2) dans l’espace de l’instrument maître (instrument 1) et obtenir une nouvelle matrice X2_standardisé :

𝑿_{𝟐_𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓𝒅𝒊𝒔é}= 𝑿_𝟐∗ 𝑭 (IV-13)

La standardisation directe suppose que la relation entre les deux systèmes est linéaire et ne prend pas en considération certaines non-linéarités entre les systèmes. Un autre inconvénient de cette approche est qu’on utilise un nombre très petit d’échantillons pour le calcul de la matrice de transformation F. Ceci conduit à un sur-apprentissage et la matrice F ne représente plus réellement les différences entre les deux systèmes. De plus, le calcul de l’inverse généralisé

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IV.4.4 Conclusion

Dans le cadre de ce travail, nous avons choisi d’utiliser la méthode de standardisation directe pour réaliser le transfert d’étalonnage. A partir de l’analyse présentée en IV.4.3 on peut conclure qu’une méthode de standardisation directe efficace nécessite deux éléments essentiels :

1. Un algorithme qui peut sélectionner un sous-ensemble des échantillons de sorte qu’il soit le plus représentatif pour l'ensemble de données.

2. Une technique de projection qui prend en considération les non-linéarités et qui permet de relier au mieux l’ensemble de données de l’unité esclave à celles de l’unité maître. Pour notre approche, nous proposons l’utilisation de l’algorithme Kernel SPXY pour sélectionner un sous-ensemble d’échantillons et la régression SVM pour faire la projection des données de l’instrument esclave dans l’espace de l’ensemble de données de l’instrument maître.