Méthodes de réglage de Ziegler-Nichols

Il existe plusieurs méthodes systématiques de réglage des régulateurs PID.

Ces méthodes sont souvent utilisées en pratique comme heuristiques, sans justication. On propose de les re-situer dans le cadre d'analyse de stabi-lité que nous avons présenté, notamment à la Section 2.4.1. Ces règles sont très nombreuses et dièrent par les performances qu'on peut en atteindre en terme de temps de convergence, dépassement prévu, robustesse, etc. His-toriquement, ce sont les règles de Ziegler-Nichols [74, 75] qui sont apparues les premières, elles sont toujours parmi les plus utilisées. On trouve aussi les règles de Cohen-Coon [18], Chien-Hrones-Reswick [17], ou Lee-Park-Lee-Brosilow [45].

Première méthode de Ziegler-Nichols

Pour concevoir un régulateur PID pour un process donné G(s), on réalise l'expérience boucle-ouverte suivante. On enregistre la réponse du système à un échelon d'entrée et on relève les paramètres a et ∆construits à partir de la ligne de plus grande pente de la réponse. On note égalementτ etk tels que représentés sur la Figure 2.18, construits à partir de la valeur asymptotique estimée et du temps de réponse à 1−e⁻¹ = 0.63¹³.

Figure 2.18 Détermination d'un modèle du premier ordre à retard à partir de la réponse à un échelon donné par y(t) =k(1−e^t−∆τ )I^t≥∆.

Les réglages heuristiques de Ziegler-Nichols sont reportés dans le ta-bleau 2.1. Ils permettent de régler au choix un contrôleur P, un P I ou un

13. Un modèle du premier ordre atteint environ 63% de sa valeur nale en un temps égal à1 fois sa constante de tempsτ

P ID.

Contrôleur kP kI kD

P 1/a

PI 0.9/a 0.3/(a∆)

PID 1.2/a 0.6/(a∆) 0.6∆/a

Table 2.1 Réglages de Ziegler-Nichols première méthode.

Seconde méthode de Ziegler-Nichols

La seconde méthode de Ziegler-Nichols nécessite une expérimentation en boucle fermée avec un contrôleur déjà installé dont il sut de modier les gains. On boucle le système avec un régulateurP (en mettant le gain intégral et le gain dérivé à0) dont on fait progressivement augmenter le gain jusqu'à atteindre un régime oscillatoire entretenu. Autrement dit, on atteint la limite de stabilité. Une fois ce régime obtenu, on note k_u le gain proportionnel ultime et la période des oscillations Tu lui correspondant et on règle alors le contrôleur comme expliqué sur le tableau 2.2.

Contrôleur k_P k_I k_D

P 0.5k_u

PI 0.4k_u 0.5k_u/T_u

PID 0.6k_u 1.2k_u/T_u 0.075k_uT_u

Table 2.2 Réglages de Ziegler-Nichols seconde méthode.

Bien que très simple à utiliser, ce mode opératoire de réglage de contrô-leur a le désavantage de nécessiter la presque déstabilisation de l'installation qu'on souhaite contrôler. Cet inconvénient peut être évité. On pourra se re-porter à [70] pour une présentation d'une méthode de réglage aboutissant aux coecients de la seconde méthode de Ziegler-Nichols, sans risque de désta-bilisation. Cette méthode, qui utilise un bloc relai en boucle fermée, consiste à faire apparaître un cycle limite dont on analyse les caractéristiques pour retrouver les paramètres du système à contrôler.

Liens avec les résultats de stabilisation

Il est assez simple de faire un lien entre la seconde méthode de Ziegler-Nichols et le Théorème 20 si on suppose que le système qu'on cherche à

contrôler est eectivement un système du premier ordre à retard stable de la forme (2.10). Ce théorème montre qu'il existe une valeur déstabilisante du gain proportionnel. C'est cette valeur k_u que l'expérience en boucle fermée permet d'estimer sans connaissance des paramètres du modèle. Ensuite, la méthode de Ziegler-Nichols du tableau2.2 propose de réduire ce gain et donc de se retrouver avec un contrôleur proportionnel stabilisant.

Les coecients proposés par la première méthode de Ziegler-Nichols sont en pratique très proches de ceux de la deuxième méthode. Néanmoins, c'est de ces derniers que nous allons prouver une propriété très intéressante. Dans le cas où le système à contrôler est eectivement un système du premier ordre à retard stable de la forme (2.10), un calcul direct montre que le paramètre a tel que déni sur la Figure 2.18 vaut

a=k∆ τ

Notons µ = ∆/τ. Avec cette valeur, les gains proposés dans le tableau 2.1 sont

k_P = 1.2

kµ, k_I = 0.6

kµ²τ, k_D = 0.6τ

k (2.13)

Considérons en premier lieu le gain proportionnel suggéré. Nous allons mon-trer qu'il est toujours acceptable, en d'autres termes, qu'il satisfait toujours les hypothèse du Théorème 22. Pour notre système stable, le gain proposé satisfait k_P >0> ⁻¹_k . En ce qui concerne la borne supérieure indiquée dans le Théorème22, on peut la réécrire

k_max = 1 k

1

µα₁sinα₁ −cosα₁

où α1 est l'unique solution sur ]0, π[ de tanα1 = _1+µ⁻¹ α1. En éliminant µ en fonction de α₁ dans cette dernière équation, on peut établir que

k_max−k_P = 1

kµ(α₁sinα₁−µcosα₁−1.2)

= 1 kµ

cosα1+ α1

sinα₁ −1.2

Par construction, α1 ∈]0, π[. On vérie alors kmax−kP >0. Par conséquent, le gain proportionnel suggéré par la première méthode de Ziegler-Nichols sa-tisfait toujours les hypothèses du Théorème 22 de stabilisation par un PID pour un système du premier ordre à retard. C'est une importante justica-tion de cette méthode heuristique. En outre, on peut montrer par une étude

détaillée (on se reportera à [64]) que les gains k_I et k_D déni dans (2.13) par cette même méthode satisfont également les hypothèses les concernant de ce même théorème. Plus précisément, on peut établir qu'ils les satisfont mais de manière possiblement non robuste lorsque τ devient grand (lorsque le retard∆ devient grand devant la constante de temps τ), i.e. ils sont près des frontières des domaines décrits dans le Théorème22. C'est également un phénomène connu et observé en pratique qui engage souvent à modier un peu les gains au prix de performances moindres.